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連続型の確率分布

2つの連続型確率変数の独立性

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2つの確率変数の独立性

問題としている試行に関する確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が独立であることを、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。これは、2つの事象\(A,B\)の一方が起きているかどうかが他方の事象が起こる確率に影響を与えないことを意味します。以上を踏まえた上で、2つの確率変数が独立であることの意味を定義します。

問題としている試行に関する同時確率変数\begin{equation*}
\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が与えられている状況を想定します。集合\(A,B\subset \mathbb{R} \)を選んだとき、「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属する」という事象は、\begin{equation}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}であり、「確率変数\(Y\)の値が集合\(B\)に属する」という事象は、\begin{equation}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ Y\left( \omega \right) \in B\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}です。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)の積事象は「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属するとともに確率変数\(Y\)の値が集合\(B\)に属する」という事象ですが、これは、\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\wedge Y\left(
\omega \right) \in B\right\}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \in A\times B\right\}
\end{equation*}です。したがって、事象の独立性の定義より、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)が独立であることとは、\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \in A\times B\right\}
=P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\right\}
\right) \cdot P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ Y\left( \omega \right)
\in B\right\} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) =P\left( X\in A\right) \cdot
P\left( X\in B\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

以上を踏まえた上で、任意の集合\(A,B\subset \mathbb{R} \)に対して「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属する」という事象と「確率変数\(Y\)の値が集合\(B\)に属する」という事象が独立である場合(もしくは独立であることを仮定する場合)には、すなわち、\begin{equation*}\forall A,B\subset \mathbb{R} :P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) =P\left( X\in A\right) \cdot
P\left( X\in B\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、確率変数である\(X\)と\(Y \)は独立である(independent)と言います。一方、確率変数\(X,Y\)が独立でない場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists A,B\subset \mathbb{R} :P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) \not=P\left( X\in A\right)
\cdot P\left( X\in B\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)と\(Y\)は従属である(dependent)と言います。

 

2つの連続型確率変数の独立性

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられている状況において、連続型の同時確率変数\begin{equation*}\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}の同時確率分布が同時確率密度関数\begin{equation*}
f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}によって記述されているものとします。つまり、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値が区間の直積\(I\times J\subset \mathbb{R} ^{2}\)に属する確率は、\begin{equation}P\left( \left( X,Y\right) \in I\times J\right) =\int \int_{\left( x,y\right)
\in I\times J}f_{XY}\left( x,y\right) dxdy \quad \cdots (3)
\end{equation}であるということです。同時確率密度関数\(f_{XY}\)を周辺化することにより個々の確率変数\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}の周辺確率分布を記述する周辺確率密度関数\begin{eqnarray*}
f_{X} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
f_{Y} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が得られます。周辺確率密度関数の定義より、区間\(I,J\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray}P\left( X\in I\right) &=&\int_{x\in I}f_{X}\left( x\right) dx \quad \cdots (2) \\
P\left( Y\in J\right) &=&\int_{y\in J}f_{Y}\left( y\right) dy \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}という関係が成り立つことに注意してください。

先に定義したように、確率関数\(X,Y\)が独立であることは、\begin{equation*}\forall A,B\subset \mathbb{R} :P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) =P\left( X\in A\right) \cdot
P\left( Y\in B\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただ、確率変数\(X,Y\)が連続型である場合の\(X\left( \Omega \right) \)および\(Y\left( \Omega \right) \)は区間もしくは互いに素な区間の和集合であるため、\(X\)と\(Y\)が独立であるためには、\begin{equation*}\forall I,J\subset \mathbb{R} :P\left( \left( X,Y\right) \in I\times J\right) =P\left( X\in I\right) \cdot
P\left( Y\in J\right)
\end{equation*}が満たされていれば十分です。ただし、\(I,J\)は区間です。\(\left( 1\right) ,\left(2\right) ,\left( 3\right) \)を用いると、これを、\begin{equation*}\forall I,J\subset \mathbb{R} :\int \int_{\left( x,y\right) \in I\times J}f_{XY}\left( x,y\right)
dxdy=\int_{x\in I}f_{X}\left( x\right) dx\cdot \int_{y\in J}f_{Y}\left(
y\right) dy
\end{equation*}と表現できます。そこで、以上の条件によって連続型の確率変数\(X,Y\)の独立性の定義とします。

連続型確率変数の独立性を以下のように表現することもできます。

命題(連続型確率変数の独立性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられており、さらに\(\left( X,Y\right) \)の同時確率分布が連続な同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとする。また、個々の確率変数\(X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の周辺確率分布が周辺確率密度関数\(f_{X},f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとする。このとき、以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :f_{XY}\left( x,y\right) =f_{X}\left( x\right) \cdot f_{Y}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)と\(Y\)が独立であるための必要十分条件である。
証明

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例(連続型確率変数の独立性)
連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] ^{2}
\end{equation*}であるとともに、\(\left(X,Y\right) \)の同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
4xy & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。確率変数\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、周辺確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\left( \Omega\right) \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{X}\left( x\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }f_{XY}\left( x,y\right) dy
\\
&=&\int_{0}^{1}\left( 4xy\right) dy \\
&=&\left[ 2xy^{2}\right] _{0}^{1} \\
&=&2x
\end{eqnarray*}である一方、\(x\not\in X\left( \Omega\right) \)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =0
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation}
f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
2x & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}です。確率変数\(Y\)の値域は、\begin{equation*}Y\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、周辺確率密度関数\(f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(y\in Y\left( \Omega\right) \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{Y}\left( y\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }f_{XY}\left( x,y\right) dx
\\
&=&\int_{0}^{1}\left( 4xy\right) dx \\
&=&\left[ 2x^{2}y\right] _{0}^{1} \\
&=&2y
\end{eqnarray*}である一方、\(y\not\in Y\left( \Omega\right) \)を満たす任意の\(y\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{Y}\left( y\right) =0
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation}
f_{Y}\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
2y & \left( if\ y\in Y\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{equation}です。\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \in \left( X\times Y\right) \left( \Omega \right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}f_{XY}\left( x,y\right) &=&4xy\quad \because \left( 1\right) \\
&=&2x\cdot 2y \\
&=&f_{X}\left( x\right) \cdot f_{Y}\left( y\right) \quad \because \left(
2\right) ,\left( 3\right)
\end{eqnarray*}が成り立ち、\(\left( x,y\right) \not\in\left( X\times Y\right) \left( \Omega \right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}f_{XY}\left( x,y\right) &=&0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0\cdot 0 \\
&=&f_{X}\left( x\right) \cdot f_{Y}\left( y\right) \quad \because \left(
2\right) ,\left( 3\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため\(X\)と\(Y\)は独立です。

確率変数どうしは独立であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(連続型確率変数の独立性)
連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] ^{2}
\end{equation*}であるとともに、\(\left(X,Y\right) \)の同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x+y & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。確率変数\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、周辺確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\left( \Omega\right) \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{X}\left( x\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }f_{XY}\left( x,y\right) dy
\\
&=&\int_{0}^{1}\left( x+y\right) dy \\
&=&\left[ xy+\frac{1}{2}y^{2}\right] _{0}^{1} \\
&=&x+\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}である一方、\(x\not\in X\left( \Omega\right) \)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =0
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation}
f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x+\frac{1}{2} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}です。確率変数\(Y\)の値域は、\begin{equation*}Y\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、周辺確率密度関数\(f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(y\in Y\left( \Omega\right) \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{Y}\left( y\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }f_{XY}\left( x,y\right) dx
\\
&=&\int_{0}^{1}\left( x+y\right) dx \\
&=&\left[ xy+\frac{1}{2}y^{2}\right] _{0}^{1} \\
&=&y+\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}である一方、\(y\not\in Y\left( \Omega\right) \)を満たす任意の\(y\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{Y}\left( y\right) =0
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation}
f_{Y}\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
y+\frac{1}{2} & \left( if\ y\in Y\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{equation}です。点\(\left( \frac{1}{4},\frac{1}{4}\right) \in\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \)に注目したとき、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) ,\left(3\right) \)より、\begin{eqnarray*}f_{XY}\left( \frac{1}{4},\frac{1}{4}\right) &=&\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \\
f_{X}\left( \frac{1}{4}\right) &=&\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4} \\
f_{Y}\left( \frac{1}{4}\right) &=&\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
f_{XY}\left( \frac{1}{4},\frac{1}{4}\right) \not=f_{X}\left( \frac{1}{4}\right) \cdot f_{Y}\left( \frac{1}{4}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(X\)と\(Y \)は独立ではないこと、すなわち従属であることが明らかになりました。

 

分布関数を用いた連続型確率変数の独立性の表現

確率変数の独立性は分布関数を用いて表現することもできます。具体的には以下の通りです。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられている状況において、連続型の同時確率変数\begin{equation*}\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}の同時確率分布が同時分布関数\begin{equation*}
F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}によって記述されているものとします。つまり、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値がベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)以下である確率は、\begin{equation*}P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right) =F_{XY}\left( x,y\right) =\int_{-\infty
}^{x}\int_{-\infty }^{y}f_{XY}\left( s,t\right) dsdt
\end{equation*}です。同時分布関数\(F_{XY}\)を周辺化することにより個々の確率変数\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}の周辺確率分布を記述する周辺分布関数\begin{eqnarray*}
F_{X} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
F_{Y} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が得られます。周辺分布関数の定義より、点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}F_{X}\left( x\right) &=&P\left( X\leq x\right) =\int_{-\infty
}^{x}f_{X}\left( s\right) ds \\
F_{Y}\left( x\right) &=&P\left( Y\leq y\right) =\int_{-\infty
}^{y}f_{Y}\left( t\right) dt
\end{eqnarray*}という関係が成り立つことに注意してください。以上を踏まえたとき、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :F_{XY}\left( x,y\right) =F_{X}\left( x\right) \cdot F_{Y}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)と\(Y\)が独立であるための必要十分条件になります。

命題(連続型確率変数の独立性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられており、さらに\(\left( X,Y\right) \)の同時確率分布が連続な同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとする。\(\left(X,Y\right) \)の同時分布関数が\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)であり、個々の確率変数\(X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の周辺分布関数が\(F_{X},F_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとする。このとき、以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :F_{XY}\left( x,y\right) =F_{X}\left( x\right) \cdot F_{Y}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)と\(Y\)が独立であるための必要十分条件である。
証明

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例(連続型確率変数の独立性)
同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] ^{2}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}y+\frac{1}{2}xy^{3} & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right)
\\
\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^{3} & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right)
\\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、周辺分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{equation*}Y\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、周辺分布関数\(F_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F_{Y}\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ y<0\right) \\
\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^{3} & \left( if\ 0\leq y\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ y>1\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{equation}を定めます。点\(\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に注目したとき、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)より、\begin{eqnarray*}F_{XY}\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}\left( \frac{1}{2}\right) +\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\right)
\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}=\frac{3}{32} \\
F_{X}\left( \frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\right) =\frac{3}{8} \\
F_{Y}\left( \frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\right) +\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}=\frac{5}{16}
\end{eqnarray*}であり、さらに、\begin{eqnarray*}
F_{X}\left( \frac{1}{2}\right) \cdot F_{Y}\left( \frac{1}{2}\right) &=&\frac{3}{8}\cdot \frac{5}{16} \\
&=&\frac{15}{128} \\
&\not=&F_{XY}\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(X\)と\(Y\)は独立ではないこと、すなわち従属であることが明らかになりました。

 

演習問題

問題(連続型確率変数の独立性)
連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] ^{2}
\end{equation*}であるとともに、\(\left(X,Y\right) \)の同時確率関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega \right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)と\(Y\)は独立でしょうか。議論してください。
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問題(連続型確率変数の独立性)
連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\wedge x+y\leq 1\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(\left(X,Y\right) \)の同時確率関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
24xy & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)と\(Y\)は独立でしょうか。議論してください。
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有限個(3個以上)の離散型確率変数が独立であることの意味を定義するとともに、有限個の離散型確率変数が独立であることを判定する方法について解説します。

2つの確率変数の独立性

2つの確率変数が生成するσ代数どうしが独立である場合、それらの確率変数は独立であると言います。2つの独立変数が独立であることを様々な形で表現するとともに、独立性を判定する方法について解説します。

連続型の確率変数

それぞれの標本点に対して実数を1つずつ割り当てる写像を確率変数と呼びます。値域が区間もしくは互いに素な区間の和集合であるような確率変数を連続型の確率変数と呼びます。

連続型確率変数の期待値

連続型の確率変数の値と確率密度関数の値の積を全区間上で積分することにより得られる値を確率変数の期待値と呼びます。期待値は確率変数の実現値の見込みの値を表す指標です。

連続型確率変数の分散と標準偏差

連続型の確率変数がとり得るそれぞれの値と期待値の差の平方をとった上で、得られた平方を積分すると分散と呼ばれる指標が得られます。分散の正の平方根を標準偏差と呼びます。

有限個の確率変数の独立性

有限個の確率変数が生成するσ代数どうしが独立である場合、それらの確率変数は独立であると言います。有限個の独立変数が独立であることを様々な形で表現するとともに、独立性を判定する方法について解説します。

有限個の連続型確率変数の独立性

有限個(3個以上)の連続型確率変数が独立であることの意味を定義するとともに、有限個の連続型確率変数が独立であることを判定する方法について解説します。