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DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTION

離散型の確率分布

OVERVIEW

離散型の確率分布

確率に関して定量的な分析を行うために確率変数を用いて標本点を数値化します。特に、試行において起こり得る結果が有限個ないし可算個である場合には離散型の確率変数を利用します。

TABLE OF CONTENTS

目次

DISCRETE RANDOM VARIABLE

離散型の確率分布

取り得る値からなる集合が有限集合もしくは可算集合であるような確率変数を離散型の確率変数と呼びます。

離散型の確率変数

それぞれの標本点に対して実数を1つずつ割り当てる写像を確率変数と呼びます。値域が有限集合または可算集合であるような確率変数を離散型の確率変数と呼びます。

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離散型確率変数の期待値

確率変数がとり得るそれぞれの値に対して、その値が実現する確率との積をとった上で、得られた積の総和をとると期待値と呼ばれる指標が得られます。

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離散型確率変数の分散と標準偏差

離散型の確率変数がとり得るそれぞれの値に対して、その値と期待値の差の平方をとった上で、得られた平方の総和をとると分散と呼ばれる指標が得られます。分散の正の平方根を標準偏差と呼びます。

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離散型確率変数の中央化・標準化・正規化

期待値が0になるように確率変数を変換する操作を中央化と呼び、期待値が0で分散が1になるように確率変数を変換する操作を標準化と呼び、確率変数がとり得る値の範囲が0以上1以下になるように確率変数を変換する操作を正規化と呼びます。

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JOINT PROBABILITY DISTRIBUTION

離散型の同時確率分布

問題としている試行において複数の確率変数を同時に扱う必要がある場合、それを同時確率変数として表現します。

離散型同時確率変数の期待値

離散型の同時確率変数の期待値を定義するとともに、同時確率変数と2変数関数の合成関数として定義される確率変数の期待値を求める方法を解説します。また、独立な確率変数の積の期待値は個々の確率変数の期待値の積と一致することを示します。

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離散型同時確率変数の分散

離散型の同時確率変数の分散を定義するとともに、同時確率変数と2変数関数の合成関数として定義される確率変数の分散を求める方法を解説します。また、独立な確率変数の和の分散は個々の確率変数の分散の和と一致することを示します。

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2つの離散型確率変数の相関係数

2つの離散型確率変数の値の分布の関連性を表現する指標として共分散と呼ばれる指標を定義しましたが、共分散の水準は確率変数の値の単位に依存して変化してしまいます。このような欠点を克服する指標が相関係数です。

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離散型確率変数の条件付き分布関数

2つの離散型確率変数の一方が特定の値をとるという条件のもとでの他方の確率変数の確率分布を条件付き確率分布と呼びます。条件付き確率分布は条件付き分布関数によって表現することもできます。

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MULTIVARIATE RANDOM VARIABLE

離散型の多変量確率分布

準備中です。

EXAMPLES OF DISCRETE RANDOM VARIABLE

離散型確率分布の具体例

代表的な確率分布とその性質について解説します。

ベルヌーイ分布

ある確率変数が1と0の二つの値のみをとり得るとともに、1を値としてとる確率がpで、0を値としてとる確率が1-pである場合には、その確率変数はパラメーターpのベルヌーイ分布にしたがうと言います。

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離散型の一様分布

離散型の確率変数がすべての値を等しい確率でとる場合、そのような確率変数は離散型の一様分布にしたがうと言います。離散型一様分布にしたがう確率変数を定義するとともに、その期待値と分散を求めます。

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RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

本節を学ぶ上で必要な前提知識は以下の通りです。

集合の濃度

有限個の要素を持つ集合については、その要素の個数は有限な自然数として表現されます。一方、無限個の要素を持つ集合については、すべての要素を数え尽くすことができないため、要素の個数を自然数として表現できません。集合の濃度とは要素の個数を一般化した概念であり、これを用いることにより無限どうしを比較できるようになります。

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1変数関数

関数に関するテキストと演習問題です。実数の点集合上に定義され実数を値としてとる関数について、収束の概念や連続性の概念を中心に解説します。

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確率

公理主義的な確率論について解説します。具体的には、確率空間や確率関数などの概念を定義した上で、確率空間の公理をもとに、確率空間が満たす基本的な性質を証明します。

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ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。

連続型の確率分布

確率に関して定量的な分析を行うために確率変数を用いて標本点を数値化します。特に、試行において起こり得る結果が非可算個である場合には連続型の確率変数を利用します。

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