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離散型の確率分布

二項分布(ベルヌーイ試行)

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ベルヌーイ分布

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ベルヌーイ試行

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に対して確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が定義されており、その値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であるものとします。つまり、\(X\)は\(0\)か\(1\)の2つの値のみをとり得る離散型の確率変数であるということです。この場合、問題としている試行をベルヌーイ試行(Bernoulli trial)と呼びます。標本点\(\omega \in \Omega \)のもとで、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =1
\end{equation*}が成り立つ場合には、そのことを成功(success)と呼びます。一方、標本点\(\omega \in \Omega \)のもとで、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、そのことを失敗(failure)と呼びます。したがって、\(X\left( \omega \right) \)の値は標本点\(\omega \)のもとで「成功」が起こる回数に相当します。

ベルヌーイ試行を表す確率関数\(X\)の確率分布が確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているものとします。その上で、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}0\leq p\leq 1
\end{equation*}を満たす定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
p & \left( if\ x=1\right) \\
1-p & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、ベルヌーイ試行において「成功」が起こる確率は\(p\)であり、「失敗」が起こる確率が\(1-p\)であるということです。以上の条件が満たされる場合、確率変数\(X\)はパラメータ\(p\)のベルヌーイ分布にしたがうといい、そのことを、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,p\right)
\end{equation*}で表記します。

例(ベルヌーイ試行)
「1枚のコインを投げて出た面を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}です。表が出る回数を与える確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega =\text{表}\right) \\
0 & \left( if\ \omega =\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。このような確率変数\(X\)に注目する場合、先の試行はベルヌーイ試行とみなされます。「成功」は表が出ることであり、「失敗」は裏が出ることです。仮に、コインに歪みがなく表と裏が等確率で出るのであれば、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}となります。

例(ベルヌーイ試行)
「コンピュータにある難易度の計算処理を一定時間内で行わせる」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{処理は成功},\text{処理は失敗}\right\}
\end{equation*}です。成功する回数を与える確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega =\text{処理は成功}\right) \\
0 & \left( if\ \omega =\text{処理は失敗}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。このような確率変数\(X\)に注目する場合、先の試行はベルヌーイ試行とみなされます。「成功」は計算処理が成功することであり、「失敗」は計算処理が失敗することです。仮に、\(90\)パーセントの確率で計算処理が成功するのであれば、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{9}{10}\right)
\end{equation*}となります。

例(ベルヌーイ試行)
「\(1\)から\(5\)までの整数の中から1つの整数をランダムに選ぶ」という試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5\right\}
\end{equation*}です。確率関数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega \text{が偶数}\right) \\
0 & \left( if\ \omega \text{が奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このような確率変数\(X\)に注目する場合、先の試行はベルヌーイ試行とみなされます。「成功」は偶数が選ばれることであり、「失敗」は奇数が選ばれることです。標本空間\(\Omega \)に含まれる偶数は\(2\)個、奇数は\(3\)個であるため、すべての整数が等しい確率で出るのであれば、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{2}{5}\right)
\end{equation*}となります。

「ベルヌーイ試行を有限\(n\)回繰り返し行う」という試行が確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)として表されているものとします。\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)回目のベルヌーイ試行のもとで実現する標本点を\(\omega _{i}\)で表記するのであれば、この試行の標本点を、\begin{equation*}\omega =\left( \omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right) \in \Omega _{1}\times
\cdots \times \Omega _{n}=\Omega
\end{equation*}と表現できます。\(i\)回目のベルヌーイ試行が確率変数\begin{equation*}X_{i}:\Omega _{i}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表されているものとします。ベルヌーイ試行の定義より、\begin{equation*}
X_{i}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}です。さらに、以下の2つの条件が成り立つ状況を想定します。

1つ目の条件は、\(n\)回のベルヌーイ試行が同一の条件のもとで行われるということです。これは、\begin{equation*}\forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\Omega _{i}=\Omega _{j}
\end{equation*}が成り立つとともに、すべての確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)は同一の確率分布にしたがうことを意味します。つまり、\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)はいずれも共通のパラメータ\(p\)のもとでのベルヌーイ分布にしたがうということです。言い換えると、\(0\leq p\leq 1\)を満たすある実数\(p\in \mathbb{R} \)が存在して、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :X_{i}\sim Bi\left( 1,p\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

2つ目の条件は、\(n\)回のベルヌーイ試行が独立しているということです。つまり、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立であるということです。

以上の条件がすべて満たされる場合、「ベルヌーイ試行を有限\(n\)回繰り返し行う」という試行を\(n\)回のベルヌーイ試行(Bernoulli experiment with \(n\) trials)や\(n\)ベルヌーイ試行(\(n\) Bernoulli trial)などと呼びます。

例((n)回のベルヌーイ試行)
「1枚のコインを投げて出た面を観察する」という試行を有限\(n\)回行います。\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)回目の試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega _{i}=\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}です。\(i\)回目に表が出る回数を与える確率変数\(X_{i}:\Omega _{i}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega _{i}\in \Omega _{i}\)に対して、\begin{equation*}X_{i}\left( \omega _{i}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega _{i}=\text{表}\right) \\
0 & \left( if\ \omega _{i}=\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。コインに歪みがなく各回において表と裏が等確率で出るものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :X_{i}\sim Bi\left( 1,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。さらに、\(n\)回のコイン投げが独立している場合には、すなわち\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立である場合には、これは\(n\)回のベルヌーイ試行です。
例((n)回のベルヌーイ試行)
「コンピュータにある難易度の計算処理を一定時間内で行わせる」という試行を有限\(n\)回行います。\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)回目の試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega _{i}=\left\{ \text{処理は成功},\text{処理は失敗}\right\}
\end{equation*}です。\(i\)回目に処理が成功する回数を与える確率変数\(X_{i}:\Omega _{i}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega _{i}\in \Omega _{i}\)に対して、\begin{equation*}X_{i}\left( \omega _{i}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega _{i}=\text{成功}\right) \\
0 & \left( if\ \omega _{i}=\text{失敗}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。各回の計算処理の難易度と制限時間が同一であり、各回において\(90\)パーセントの確率で計算処理が成功するのであれば、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} : X\sim Bi\left( 1,\frac{9}{10}\right)
\end{equation*}となります。さらに、\(n\)回の計算処理が独立している場合には、すなわち\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立である場合には、これは\(n\)回のベルヌーイ試行です。
例((n)回のベルヌーイ試行)
「\(1\)から\(5\)までの整数の中から1つの整数をランダムに選ぶ」という試行を有限\(n\)回行います。\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)回目の試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega _{i}=\left\{ 1,2,3,4,5\right\}
\end{equation*}です。確率関数\(X_{i}:\Omega_{i}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega _{i}\in \Omega _{i}\)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega _{i}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega _{i}\text{が偶数}\right) \\
0 & \left( if\ \omega _{i}\text{が奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。各回においてすべての整数が等確率で選ばれるのであれば、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :X\sim Bi\left( 1,\frac{2}{5}\right)
\end{equation*}となります。さらに、\(n\)回の試行が独立している場合には、すなわち\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立である場合には、これは\(n\)回のベルヌーイ試行です。

 

二項分布

\(n\)回のベルヌーイ試行が確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)として表されているものとします。加えて、各回のベルヌーイ試行を表す確率変数\(X_{i}:\Omega _{i}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(0\leq p\leq 1\)を満たすある実数\(p\in \mathbb{R} \)のもとで、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :X_{i}\sim Bi\left( 1,p\right)
\end{equation*}が成り立つとともに、\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)は独立であるということです。このとき、それぞれの\(\omega =\left( \omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right) \in \Omega _{1}\times\cdots \times \Omega _{n}=\Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =X_{1}\left( \omega _{1}\right) +\cdots +X_{n}\left(
\omega _{n}\right)
\end{equation*}を定める新たな確率関数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(X_{i}\left( \omega_{i}\right) \)は\(i\)回目のベルヌーイ試行において「成功」が起こる回数であるため、\(X\left( \omega \right) \)は\(n\)回のベルヌーイ試行において「成功」が起こる回数に相当します。以上の条件が満たされる場合、確率変数\(X\)は試行パラメーター\(n\)と成功パラメーター\(p\)の二項分布(binomial distribution with trial parameter \(n\) and success parameter \(p\))にしたがうといい、そのことを、\begin{equation*}X\sim B_{i}\left( n,p\right)
\end{equation*}で表記します。

二項分布の確率分布は以下のような確率関数によって描写されます。

命題(二項分布の確率関数)
確率変数\(X\)が試行パラメータ\(n\in \mathbb{N} \)と成功パラメータ\(p\in \left[0,1\right] \)の二項分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim B_{i}\left( n,p\right)
\end{equation*}である場合には、\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(X\)の確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dbinom{n}{x}p^{x}\left( 1-p\right) ^{n-x} & \left( if\ x\in X\left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。ただし、\(\dbinom{n}{x}\)は\(n\)個から\(x\)個を選ぶ場合の組合せの個数であり、\begin{equation*}\binom{n}{x}=\frac{n!}{\left( n-x\right) !x!}
\end{equation*}である。

証明

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例(二項分布)
「1枚のコインを投げて出た面を観察する」という試行を有限\(n\)回行います。\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)回目の試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega _{i}=\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}です。\(i\)回目に表が出る回数を与える確率変数\(X_{i}:\Omega _{i}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega _{i}\in \Omega _{i}\)に対して、\begin{equation*}X_{i}\left( \omega _{i}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega _{i}=\text{表}\right) \\
0 & \left( if\ \omega _{i}=\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。コインに歪みがなく各回において表と裏が等確率で出るものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :X_{i}\sim Bi\left( 1,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。さらに、\(n\)回のコイン投げが独立している場合には、すなわち\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立である場合には、これは\(n\)回のベルヌーイ試行です。それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =X_{1}\left( \omega _{1}\right) +\cdots +X_{n}\left(
\omega _{n}\right)
\end{equation*}を定める確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\begin{equation*}X\sim Bi\left( n,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。先の命題より、\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(X\)の確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dbinom{n}{x}\left( \frac{1}{2}\right) ^{n} & \left( if\ x\in X\left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

例(二項分布)
「コンピュータにある難易度の計算処理を一定時間内で行わせる」という試行を有限\(n\)回行います。\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)回目の試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega _{i}=\left\{ \text{処理は成功},\text{処理は失敗}\right\}
\end{equation*}です。\(i\)回目に処理が成功する回数を与える確率変数\(X_{i}:\Omega _{i}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega _{i}\in \Omega _{i}\)に対して、\begin{equation*}X_{i}\left( \omega _{i}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega _{i}=\text{成功}\right) \\
0 & \left( if\ \omega _{i}=\text{失敗}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。各回の計算処理の難易度と制限時間が同一であり、各回において\(90\)パーセントの確率で計算処理が成功するのであれば、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{9}{10}\right)
\end{equation*}となります。さらに、\(n\)回の計算処理が独立している場合には、すなわち\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立である場合には、これは\(n\)回のベルヌーイ試行です。それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =X_{1}\left( \omega _{1}\right) +\cdots +X_{n}\left(
\omega _{n}\right)
\end{equation*}を定める確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\begin{equation*}X\sim Bi\left( n,\frac{9}{10}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。先の命題より、\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(X\)の確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dbinom{n}{x}\left( \frac{9}{10}\right) ^{x}\left( \frac{1}{10}\right) ^{n-x}
& \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

例(二項分布)
「\(1\)から\(5\)までの整数の中から1つの整数をランダムに選ぶ」という試行を有限\(n\)回行います。\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)回目の試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega _{i}=\left\{ 1,2,3,4,5\right\}
\end{equation*}です。確率関数\(X_{i}:\Omega_{i}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega _{i}\in \Omega _{i}\)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega _{i}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega _{i}\text{が偶数}\right) \\
0 & \left( if\ \omega _{i}\text{が奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。各回においてすべての整数が等確率で選ばれるのであれば、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :X\sim Bi\left( 1,\frac{2}{5}\right)
\end{equation*}となります。さらに、\(n\)回の試行が独立している場合には、すなわち\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立である場合には、これは\(n\)回のベルヌーイ試行です。それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =X_{1}\left( \omega _{1}\right) +\cdots +X_{n}\left(
\omega _{n}\right)
\end{equation*}を定める確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\begin{equation*}X\sim Bi\left( n,\frac{2}{5}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。先の命題より、\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(X\)の確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dbinom{n}{x}\left( \frac{2}{5}\right) ^{x}\left( \frac{3}{5}\right) ^{n-x}
& \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

二項分布にしたがう確率変数の確率関数が確率関数の公理を満たすことを確認しておきます。

命題(二項分布の確率関数)
確率変数\(X\)が試行パラメータ\(n\in \mathbb{N} \)と成功パラメータ\(p\in \left[0,1\right] \)の二項分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim B_{i}\left( n,p\right)
\end{equation*}である場合には、\(X\)の確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{x\in X\left( \Omega \right) }f\left( x\right) =1
\end{eqnarray*}をともに満たす。

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二項分布にしたがう確率変数の分布関数

二項分布にしたがう確率変数の分布関数は以下の通りです。

命題(二項分布の分布関数)
確率変数\(X\)が試行パラメータ\(n\in \mathbb{N} \)と成功パラメータ\(p\in \left[0,1\right] \)の二項分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim B_{i}\left( n,p\right)
\end{equation*}である場合には、\(X\)の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\sum\limits_{y=0}^{k}\dbinom{n}{y}p^{y}\left( 1-p\right) ^{n-y} & \left( if\
k\leq x<k+1\wedge k\in \left\{ 0,1,\cdots ,n-1\right\} \right) \\
1 & \left( if\ x\geq n\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。ただし、\(\dbinom{n}{y}\)は\(n\)個から\(y\)個を選ぶ場合の組合せの個数であり、\begin{equation*}\binom{n}{y}=\frac{n!}{\left( n-y\right) !y!}
\end{equation*}である。

証明

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以上の結果を具体的に表現すると、\begin{equation*}
F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\sum\limits_{y=0}^{0}\dbinom{n}{y}p^{y}\left( 1-p\right) ^{n-y} & \left( if\
0\leq x<1\right) \\
\sum\limits_{y=0}^{1}\dbinom{n}{y}p^{y}\left( 1-p\right) ^{n-y} & \left( if\
1\leq x<2\right) \\
\vdots & \\
\sum\limits_{y=0}^{n-1}\dbinom{n}{y}p^{y}\left( 1-p\right) ^{n-y} & \left(
if\ n-1\leq x<n\right) \\
1 & \left( if\ x\geq n\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

例(二項分布の分布関数)
先のコイン投げの事例において、\(n\)回において表が出る枚数を表す確率変数\(X\)は、\begin{equation*}X\sim Bi\left( n,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}を満たします。先の命題より、\(X\)の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\sum\limits_{y=0}^{k}\dbinom{n}{y