離散型確率変数の特性関数

離散型確率変数の特性関数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。加えて、\(X\)の確率分布が確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されているものとします。つまり、確率変数\(X\)が値\(x\in \mathbb{R} \)をとる確率は、\begin{equation*}P\left( X=x\right) =f_{X}\left( x\right)
\end{equation*}であり、確率変数\(X\)の値が集合\(A\subset \mathbb{R} \)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =\sum_{x\in A}f_{X}\left( x\right)
\end{equation*}であるということです。

実数\(t\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、変数\(x\in \mathbb{R} \)に関する複素数値関数\begin{equation*}e^{itx}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}を定義します。ただし、\(i\in \mathbb{C} \)は虚数単位です。関数\(e^{itx}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であるため、これと先の確率変数\(X\)を用いることにより、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の複素数\begin{equation*}e^{itX\left( \omega \right) }\in \mathbb{C} \end{equation*}を値として定める新たな複素数値関数\begin{equation*}
e^{itX}:\Omega \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。つまり、\(e^{itX}\)は\(X\)と\(e^{itx}\)の合成関数です。この関数\(e^{itX}\)は複素数を値としてとり得ますが、これもまた確率変数とみなした上で、その期待値を、\begin{equation}E\left( e^{itX}\right) =\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }\left[
e^{itx}\cdot f_{X}\left( x\right) \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義します。

オイラーの等式より、任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}e^{itX\left( \omega \right) }=\cos \left( tX\left( \omega \right) \right)
+i\sin \left( tX\left( \omega \right) \right)
\end{equation*}となるため、\begin{equation}
e^{itX}=\cos \left( tX\right) +i\sin \left( tX\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。したがって、\begin{eqnarray*}
E\left( e^{itX}\right) &=&\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }\left[
e^{itx}\cdot f_{X}\left( x\right) \right] \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }\left\{ \left[ \cos \left( tX\right)
+i\sin \left( tX\right) \right] \cdot f_{X}\left( x\right) \right\} \quad
\because \left( 2\right) \\
&=&\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }\left[ \cos \left( tX\right) \cdot
f_{X}\left( x\right) \right] +i\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }\left[
\sin \left( tX\right) \cdot f_{X}\left( x\right) \right] \\
&=&E\left( \cos \left( tX\right) \right) +iE\left( \sin \left( tX\right)
\right) \quad \because \text{LOTUS}
\end{eqnarray*}を得ます。正弦関数および余弦関数は\(\left[ -1,1\right] \)上の値をとる有界関数であるため\(E\left( \cos \left(tX\right) \right) \)および\(E\left( \sin \left( tX\right)\right) \)は有限な実数として定まり、したがって\(E\left( \cos \left( tX\right) \right) +iE\left( \sin \left(tX\right) \right) \)すなわち\(E\left( e^{itX}\right) \)は1つの複素数として定まることが保証されます。任意の\(t\in \mathbb{R} \)について同様の議論が成立します。

このような事情を踏まえると、離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた場合には、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\varphi _{X}\left( t\right) =E\left( e^{itX}\right)
\end{equation*}を値として定める複素数値関数\begin{equation*}
\varphi _{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。これを確率変数\(X\)の特性関数（characteristic function of \(X\)）と呼びます。

特性関数とモーメントの関係

特性関数はモーメントと深い関係があります。モーメントについて簡単に復習した上で、特性関数との関係を以下で解説します。

離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。自然数\(m\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X^{m}\left( \omega \right) =\left[ X\left( \omega \right) \right] ^{m}
\end{equation*}を定める新たな確率変数\(X^{m}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。この確率変数\(X^{m}\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X^{m}\right) =\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }x^{m}f_{X}\left(
x\right) \quad \because \text{LOTUS}
\end{equation*}となりますが、これを確率変数\(X\)の\(m\)次のモーメントと呼びます。

確率変数\(X\)の特性関数\(\varphi _{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \)が与えられた状況を想定します。さらに、自然数\(m\in \mathbb{N} \)について、確率変数\(X\)の\(m\)次のモーメント\(E\left(X^{m}\right) \)が有限な実数として定まる場合には、それは特性関数\(\varphi _{X}\)の点\(0\)における\(m\)次の微分係数と\(\frac{1}{i^{m}}\)の積と一致することが保証されます。つまり、以下の関係\begin{equation*}E\left( X^{m}\right) =\frac{1}{i^{m}}\cdot \left. \frac{d^{m}\varphi
_{X}\left( t\right) }{dt^{m}}\right\vert _{t=0}
\end{equation*}が成り立つということです。

特性関数による確率分布の特徴づけ

確率変数の確率分布は特性関数によって特徴づけられます。つまり、2つの確率変数が同一の特性関数を持つことと、それらの確率変数が同一の確率分布にしたがうことは必要十分です。順番に解説します。

2つの離散型の確率変数\(X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率質量関数\(f_{X},f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)としてそれぞれ表現されているものとします。加えて、これらの確率変数\(X,Y\)の特性関数が\(\varphi _{X},\varphi _{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \)であるものとします。このとき、\(f_{X}\)と\(f_{Y}\)が一致することと\(\varphi _{X}\)と\(\varphi _{Y}\)が一致することは必要十分になります。

離散型確率変数の確率分布は分布関数によって表現することもできるため、上の命題より以下を得ます。

多くの場合、2つの確率変数の確率分布が一致することを示すことよりも、それらの特性関数が一致することを示すことの方が容易です。上の命題は、2つの確率変数が同一の確率分布にしたがうことを示す代わりに、それらの特性関数が一致することを示してもよいことを保証します。

離散型確率変数との合成関数の特性関数

離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されているものとします。連続関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}Y\left( \omega \right) &=&\left( g\circ X\right) \left( \omega \right) \\
&=&g\left( X\left( \omega \right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義}
\end{eqnarray*}を定める新たな関数\begin{equation*}
Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。確率変数と連続関数の合成関数は確率変数であるため\(Y\)は確率変数です。\(Y\)の特性関数\(\varphi_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\varphi _{Y}\left( t\right) =E\left( e^{itg\left( X\right) }\right)
\end{equation*}を定めます。

離散型定数確率変数の特性関数

離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているとともに、これがそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して定める値が、ある実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(X\)は定数関数であるということです。定数関数は確率変数であることに注意してください。この場合、\(X\)の確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は必然的に、\begin{equation*}f_{X}\left( c\right) =1
\end{equation*}を満たします。さらに、\(X\)の特性関数\(\varphi _{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \)は任意の\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\varphi _{X}\left( t\right) =e^{itc}
\end{equation*}を定めます。

離散型確率変数の定数倍の特性関数

離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( cX\right) \left( \omega \right) =cX\left( \omega \right)
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
cX:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。確率変数の定数倍は確率変数であるため\(cX\)は確率変数です。さらに、\(X\)の特性関数\(\varphi _{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \)と\(Y\)の特性関数\(\varphi _{cX}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \)に関して、任意の\(t\in \mathbb{R} \)について以下の関係\begin{equation*}\varphi _{cX}\left( t\right) =\varphi _{X}\left( ct\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

離散型確率変数の1次スケーリングの特性関数

離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c,d\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( cX+d\right) \left( \omega \right) =cX\left( \omega \right) +d
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
cX+d:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。確率変数の定数倍は確率変数であり、定数関数は確率変数であり、確率変数どうしの和は確率変数であるため\(cX+d\)は確率変数です。さらに、\(X\)の特性関数\(\varphi _{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \)と\(cX+d\)の特性関数\(\varphi _{cX+d}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \)に関して、任意の\(t\in \mathbb{R} \)について以下の関係\begin{equation*}\varphi _{cX+d}\left( t\right) =e^{idt}\cdot \varphi _{X}\left( ct\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

演習問題