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離散型の確率分布

離散型確率変数の分布関数から導かれる確率

目次

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確率分布としての分布関数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f_{X}\)がそれぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\(X\)が値\(x\)をとる確率\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =P\left( X=x\right)
\end{equation*}です。さらに、集合\(A\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =\sum_{x\in A}f_{X}\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、確率質量関数\(f_{X}\)が与えられれば離散型の確率変数\(X\)の確率分布を総体的に記述できるということです。

離散型の確率変数\(X\)の確率分布を描写する手段は確率質量関数\(f_{X}\)に限定されず、その代替的な手法として分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を導入しました。つまり、\(F_{X}\)がそれぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\(X\)が\(x\)以下の値をとる確率\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =P\left( X\leq x\right)
\end{equation*}です。加えて、分布関数\(F_{X}\)と確率質量関数\(f_{X}\)の間には以下の関係\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\sum_{x_{i}\leq x}f_{X}\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が成立します。実際、分布関数\(F_{X}\)によって離散型の確率変数\(X\)の確率分布を総体的に記述できるのでしょうか。分布関数\(F_{X}\)は確率変数\(X\)の分布に関する豊富な情報を含んでいるため、そこから様々な確率を導くことができます。以下で順番に解説します。

 

確率変数がある値より大きい値をとる確率

確率変数がある値よりも大きい値をとる確率は以下のようにして導出できます。

命題(確率変数がある値より大きい値をとる確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}P\left( X>x\right) =1-F_{X}\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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例(確率変数がある値より大きい値をとる確率)
離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{2}{5} & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
\frac{7}{10} & \left( if\ 2\leq x<3\right) \\
\frac{9}{10} & \left( if\ 3\leq x<4\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 4\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( X>0\right) &=&1-F_{X}\left( 0\right) \\
&=&1-0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X>3\right) &=&1-F_{X}\left( 3\right) \\
&=&1-\frac{9}{10}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{1}{10}
\end{eqnarray*}となります。

 

確率変数の値が区間におさまる確率

確率変数の値が区間におさまる確率は以下のようにして導出できます。

命題(確率変数の値が区間におさまる確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、\(x_{1}<x_{2}\)を満たす\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( x_{1}<X\leq x_{2}\right) =F_{X}\left( x_{2}\right) -F_{X}\left(
x_{1}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(確率変数の値が区間におさまる確率)
離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{2}{5} & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
\frac{7}{10} & \left( if\ 2\leq x<3\right) \\
\frac{9}{10} & \left( if\ 3\leq x<4\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 4\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( 2<X\leq 4\right) &=&F_{X}\left( 4\right) -F_{X}\left( 2\right)
\quad \because P\left( x_{1}<X\leq x_{2}\right) =F_{X}\left( x_{2}\right)
-F_{X}\left( x_{1}\right) \\
&=&1-\frac{7}{10}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{3}{10}
\end{eqnarray*}となります。

 

確率変数がある値より小さい値をとる確率

確率変数がある値より小さい値をとる確率は以下のようにして導出できます。

命題(確率変数がある値より小さい値をとる確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( X<x\right) =\lim_{y\rightarrow x-}F_{X}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(確率変数がある値より小さい値をとる確率)
離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{2}{5} & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
\frac{7}{10} & \left( if\ 2\leq x<3\right) \\
\frac{9}{10} & \left( if\ 3\leq x<4\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 4\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、先の命題より、\begin{eqnarray*}
P\left( X<2\right) &=&\lim_{y\rightarrow 2-}F_{X}\left( y\right) \\
&=&\lim_{y\rightarrow 2-}\frac{2}{5}\quad \because F_{X}\text{の定義} \\
&=&\frac{2}{5}
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X<\frac{5}{2}\right) &=&\lim_{y\rightarrow \frac{5}{2}-}F_{X}\left(
y\right) \\
&=&\lim_{y\rightarrow \frac{5}{2}-}\frac{7}{10}\quad \because F_{X}\text{の定義} \\
&=&\frac{7}{10}
\end{eqnarray*}となります。

 

確率変数がある値をとる確率

確率変数がある値をとる確率は以下のようにして導出できます。

命題(確率変数がある値をとる確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}P\left( X=x\right) &=&F_{X}\left( x\right) -\lim_{y\rightarrow
x-}F_{X}\left( y\right) \\
&=&\lim_{y\rightarrow x+}F_{X}\left( y\right) -\lim_{y\rightarrow
x-}F_{X}\left( y\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

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例(確率変数がある値をとる確率)
離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{2}{5} & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
\frac{7}{10} & \left( if\ 2\leq x<3\right) \\
\frac{9}{10} & \left( if\ 3\leq x<4\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 4\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、先の命題より、\begin{eqnarray*}
P\left( X=3\right) &=&F_{X}\left( 3\right) -\lim_{y\rightarrow
3-}F_{X}\left( y\right) \\
&=&F_{X}\left( 3\right) -\lim_{y\rightarrow 3-}\left( \frac{7}{10}\right)
\quad \because F_{X}\text{の定義} \\
&=&\frac{9}{10}-\frac{7}{10} \\
&=&\frac{1}{5}
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X=\frac{5}{2}\right) &=&F_{X}\left( \frac{5}{2}\right)
-\lim_{y\rightarrow \frac{5}{2}-}F_{X}\left( y\right) \\
&=&F_{X}\left( \frac{5}{2}\right) -\lim_{y\rightarrow \frac{5}{2}-}\left(
\frac{7}{10}\right) \\
&=&\frac{7}{10}-\frac{7}{10} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

以上の命題より、分布関数が存在する場合には、そこから確率質量関数が導出可能であることが明らかになりました。

命題(分布関数と確率質量関数の関係)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{X}\left( x\right) &=&F_{X}\left( x\right) -\lim_{y\rightarrow
x-}F_{X}\left( y\right) \\
&=&\lim_{y\rightarrow x+}F_{X}\left( y\right) -\lim_{y\rightarrow
x-}F_{X}\left( y\right)
\end{eqnarray*}である。

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演習問題

問題(分布関数から導かれる確率)
離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3,\cdots \right\}
\end{equation*}であり、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2^{x}} & \left( if\ x=1,2,3,\cdots \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めた上で、以下の確率\begin{eqnarray*}&&P\left( 2<X\leq 5\right) \\
&&P\left( X>4\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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問題(確率変数がある値以上の値をとる確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}P\left( X>x\right) =1-F_{X}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを本文中で明らかにしました。加えて、\begin{equation*}
P\left( X\geq x\right) =1-\lim_{y\rightarrow x-}F_{X}\left( y\right)
\end{equation*}もまた成り立つことを示してください。

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問題(確率変数の値が区間におさまる確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、\(x_{1}<x_{2}\)を満たす\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( x_{1}<X\leq x_{2}\right) =F_{X}\left( x_{2}\right) -F_{X}\left(
x_{1}\right)
\end{equation*}が成り立つことを本文中で明らかにしました。加えて、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ P\left( x_{1}\leq X<x_{2}\right) &=&\lim_{y\rightarrow
x_{2}-}F_{X}\left( y\right) -\lim_{y\rightarrow x_{1}-}F_{X}\left( y\right)
\\
\left( b\right) \ P\left( x_{1}\leq X\leq x_{2}\right) &=&F_{X}\left(
x_{2}\right) -\lim_{y\rightarrow x_{1}-}F_{X}\left( y\right) \\
\left( c\right) \ P\left( x_{1}<X<x_{2}\right) &=&\lim_{y\rightarrow
x_{2}-}F_{X}\left( y\right) -F_{X}\left( x_{1}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立つことを示してください。

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問題(確率変数がある値以上の値をとる確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}P\left( X>x\right) =1-F_{X}\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを本文中で明らかにしました。加えて、\begin{equation*}
P\left( X\geq x\right) =1-\lim_{y\rightarrow x-}F_{X}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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