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離散型の確率分布

離散型の多変量確率変数(確率ベクトル)

目次

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多変量確率変数

問題としている試行に関する2つの確率変数\begin{eqnarray*}
X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、これらの同時確率変数とは、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、2次元のベクトル\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を1つずつ定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}として定義されます。3個以上の確率変数に関しても、それらの同時確率変数を考えることができます。

問題としている試行に関する有限\(n\)個の確率変数\begin{eqnarray*}X_{1} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\vdots \\
X_{n} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられている状況を想定します。これらの確率変数はそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}X_{1}\left( \omega \right) &\in &\mathbb{R} \\
&&\vdots \\
X_{n}\left( \omega \right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}を1つずつ定めます。さて、\(n\)個の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が与えられれば、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\(n\)次元のベクトル\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \omega \right) =\left( X_{1}\left(
\omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を1つずつ定めるベクトル値関数が定義可能です。これを確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の多変量確率変数(multivariate random variable)や確率ベクトル(random vector)などと呼びます。

例(多変量確率変数)
「\(100\)世帯の中から\(1\)世帯をランダムに抽出する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \text{世帯}1,\cdots ,\text{世帯}100\right\}
\end{equation*}となります。抽出した世帯の「世帯当たり人員」と「世帯年収」と「世帯平均年齢」の関係性を分析したい場合には、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}X\left( \omega \right) &=&\omega \text{の世帯当たり人員} \\
Y\left( \omega \right) &=&\omega \text{の世帯年収} \\
X\left( \omega \right) &=&\omega \text{の世帯平均年齢}
\end{eqnarray*}を定める3つの確率変数\(X,Y,Z:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を導入することになります。言い換えると、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X,Y,Z\right) \left( \omega \right) &=&\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) ,Z\left( \omega \right) \right) \\
&=&\left( \omega \text{の世帯当たり人員},\omega \text{の世帯年収},\omega \text{の世帯平均年齢}\right)
\end{eqnarray*}を定める多変量確率変数\(\left( X,Y,Z\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を用いるということです。

 

離散型の多変量確率変数

問題としている試行に関する有限\(n\)個の確率変数\begin{eqnarray*}X_{1} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\vdots \\
X_{n} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がいずれも離散型であるものとします。つまり、これらの値域\begin{eqnarray*}
X_{1}\left( \Omega \right) &=&\left\{ X_{1}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&&\vdots \\
X_{n}\left( \Omega \right) &=&\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{eqnarray*}がいずれも有限集合ないし可算集合であるということです。この場合、これらの確率変数の多変量確率変数\begin{equation*}
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を離散型の多変量確率変数(discrete multivariate random variable)や離散型の確率ベクトル(discrete random vector)などと呼びます。多変量確率変数の定義より、\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)がそれぞれの標本点\(\omega \in\Omega \)に対して定めるベクトルは、\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \omega \right) =\left( X_{1}\left(
\omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right) \right)
\end{equation*}です。

表記の簡略化のため、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の多変量確率変数を、\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表記することもできます。つまり、任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \omega
\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(X\)を定義するということです。

例(離散型の多変量確率変数)
「コインを\(n\)回投げる」という試行を行います。\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)回目に出た面を\(\omega _{i}\)で表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( \omega _{i}\right) _{i=1}^{n}\ |\ \forall i\in
\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\} \right\}
\end{equation*}です。各回において表が出た場合にはポイント\(1\)を得て、裏が出た場合にはポイント\(1\)を失うものとします。「各回に得るポイント」の関係性を分析したい場合には、それぞれの回に得るポイントを特定する確率変数どうしの多変量確率変数を利用することになります。具体的には、「\(i\)回目に得るポイント」を特定する確率変数\(X_{i}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega =\left( \omega_{i}\right) _{i=1}^{n}\in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{i}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega _{i}=\text{表}\right) \\
-1 & \left( if\ \omega _{i}=\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるため、多変量確率変数\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(\omega =\left( \omega_{i}\right) _{i=1}^{n}\in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \omega \right) =\left( X_{1}\left(
\omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right) \right)
\end{equation*}を定めます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \text{表},\text{表},\cdots ,\text{表}\right) &=&\left( 1,1,\cdots ,1\right) \\
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \text{表},\text{表},\cdots ,\text{裏}\right) &=&\left( 1,1,\cdots ,-1\right) \\
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \text{表},\text{裏},\cdots ,\text{裏}\right) &=&\left( 1,-1,\cdots ,-1\right) \\
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \text{裏},\text{裏},\cdots ,\text{裏}\right) &=&\left( -1,-1,\cdots ,-1\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(離散型の多変量確率変数)
「サイコロを3回投げる」という試行を行います。\(i\ \left( =1,2,3\right) \)回目に出た目を\(\omega _{i}\)で表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \ |\
\forall i\in \left\{ 1,2,3\right\} :\omega _{i}\in \left\{
1,2,3,4,5,6\right\} \right\}
\end{equation*}です。「1投目に出る目」と「最初の2投の目の合計」と「3投の目の合計」の関係性を分析したい場合には、それらを特定する3つの確率変数の多変量確率変数を利用することになります。具体的には、「1投目に出る目」を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) =\omega _{1}
\end{equation*}を定め、「最初の2投の目の合計」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) =\omega _{1}+\omega _{2}
\end{equation*}を定め、「3投の目の合計」を特定する確率変数\(Z:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Z\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) =\omega _{1}+\omega
_{2}+\omega _{3}
\end{equation*}を定めるため、同時確率変数\(\left( X_{1},X_{2},X_{3}\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( \omega_{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X_{1},X_{2},X_{3}\right) \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) &=&\left( X_{1}\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) ,X_{2}\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right)
,X_{3}\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \right) \quad
\because \left( X_{1},X_{2},X_{3}\right) \text{の定義} \\
&=&\left( \omega _{1},\omega _{1}+\omega _{2},\omega _{1}+\omega _{2}+\omega
_{3}\right) \quad \because X_{1},X_{2},X_{3}\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。

 

多変量確率変数の値域

多変量確率変数\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \omega \right) &=&\left(
X_{1}\left( \omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right) \right) \quad
\because \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \text{の定義} \\
&\in &X_{1}\left( \Omega \right) \times \cdots \times X_{n}\left( \Omega
\right) \quad \because X_{1},\cdots ,X_{n}\text{の定義}
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)の値域は、\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \Omega \right) \subset X_{1}\left(
\Omega \right) \times \cdots \times X_{n}\left( \Omega \right)
\end{equation*}を満たします。つまり、\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値域はそれぞれの確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の値域の直積の部分集合です。ちなみに、\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \Omega \right) =X_{1}\left( \Omega
\right) \times \cdots \times X_{n}\left( \Omega \right)
\end{equation*}という関係は成立するとは限りません。

確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)がいずれも離散型である場合、それらの多変量確率変数\(X\)もまた有限集合または可算集合になることが保証されます。

命題(離散型の多変量確率変数)
確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)がいずれも離散型であるならば、それらの多変量確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)もまた離散型である。
証明

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演習問題

問題(離散型の同時確率変数)
「コインを\(9\)回投げて出た面を観察する」という試行において、「最初の3投において表が出た回数」と「続く3投において表が出た回数」と「最後の3投において表が出た回数」の関係性を分析するためにはどのような多変量確率変数を利用すればよいでしょうか。定式化してください。また、その値域を明らかにしてください。
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問題(離散型の同時確率変数)
「5人の学生の成績を観察する」という試行において、「5人の数学の成績の平均」と「5人の英語の成績の平均」と「5人の歴史の成績の平均」の関係性を分析するためにはどのような多変量確率変数を利用すればよいでしょうか。定式化してください。また、その値域を明らかにしてください。ただし、各教科とも成績は\(1,2,3,4,5\)の5段階評価であり、それぞれの評価を与えられる人数に制約はないものとします(例えば、全員に\(5\)を与えることも可能)。
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問題(離散型の同時確率変数)
「52枚のトランプを4人に対して13枚ずつ配る」という試行において、4人それぞれに配られるスペードの枚数の関係性を分析するためにはどのような同時確率変数を利用すればよいでしょうか。定式化してください。また、その値域を明らかにしてください。

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DISCUSSION

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