WIIS

離散型の確率分布

離散型の確率ベクトル(多変量確率変数)

目次

関連知識

Mailで保存
Xで共有

離散型の確率ベクトル

「コインを1回投げる」という試行標本空間が、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}であるように、試行において起こり得る標本点は数値であるとは限りません。確率に関して定量的な分析を行うためには、それぞれの標本点を数値として表現できれば何かと便利です。そこで、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して実数\(X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定める確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}という概念を導入しました。

確率変数を利用すれば標本点が持つ特定の属性を数値化できます。ただ、確率変数はそれぞれの標本点に対して実数を1つずつ定めるルールであるため、標本点が持つ複数の属性を同時に扱うことはできません。標本点が持つ複数の属性の関係性を分析するためには複数の確率変数を同時に扱う必要があります。2つの確率変数を同時に扱うために同時確率変数という概念を導入しましたが、以降では3個以上の確率変数を同時に扱う方法について解説します。

問題としている試行に関する有限\(n\)個の離散型確率変数\begin{eqnarray*}X_{1} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\vdots \\
X_{n} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられている状況を想定します。つまり、これらの値域\begin{eqnarray*}
X_{1}\left( \Omega \right) &=&\left\{ X_{1}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&&\vdots \\
X_{n}\left( \Omega \right) &=&\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{eqnarray*}がいずれも有限集合ないし可算集合であるということです。これらの確率変数はそれぞれの標本点\(\omega \in\Omega \)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}X_{1}\left( \omega \right) &\in &\mathbb{R} \\
&&\vdots \\
X_{n}\left( \omega \right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}を1つずつ定めます。以上の\(n\)個の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が与えられれば、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\(n\)次元ベクトル\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \omega \right) =\left( X_{1}\left(
\omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を1つずつ定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。これを確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の離散型の確率ベクトル(discrete random vector)や多変量確率変数(multivariate random variable)などと呼びます。

表記の簡略化のため、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の確率ベクトルを、\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表記することもできます。つまり、任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \omega
\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(X\)を定義するということです。

例(離散型の多変量確率変数)
「コインを\(n\)回投げる」という試行を行います。\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)回目に出た面を\(\omega _{i}\)で表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( \omega _{i}\right) _{i=1}^{n}\ |\ \forall i\in
\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\} \right\}
\end{equation*}です。各回において表が出た場合にはポイント\(1\)を得て、裏が出た場合にはポイント\(1\)を失うものとします。「各回に得るポイント」の関係性を分析したい場合には、それぞれの回に得るポイントを特定する確率変数に関する確率ベクトルを利用することになります。「\(i\)回目に得るポイント」を特定する確率変数\(X_{i}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\omega =\left( \omega _{i}\right) _{i=1}^{n}\in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{i}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega _{i}=\text{表}\right) \\
-1 & \left( if\ \omega _{i}=\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。この確率変数の値域は、\begin{equation*}
X_{i}\left( \Omega \right) =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}という有限集合であるため、\(X_{i}\)は離散型の確率変数です。したがって、\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)は離散型の確率ベクトルであり、これはそれぞれの\(\omega =\left( \omega _{i}\right)_{i=1}^{n}\in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \omega \right) =\left( X_{1}\left(
\omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right) \right)
\end{equation*}を定めます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \text{表},\text{表},\cdots ,\text{表}\right) &=&\left( 1,1,\cdots ,1\right) \\
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \text{表},\text{表},\cdots ,\text{裏}\right) &=&\left( 1,1,\cdots ,-1\right) \\
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \text{表},\text{裏},\cdots ,\text{裏}\right) &=&\left( 1,-1,\cdots ,-1\right) \\
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \text{裏},\text{裏},\cdots ,\text{裏}\right) &=&\left( -1,-1,\cdots ,-1\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。この確率ベクトルの値域は、\begin{eqnarray*}
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \Omega \right) &=&\left\{
1,-1\right\} ^{n} \\
&=&X_{1}\left( \Omega \right) \times \cdots \times X_{n}\left( \Omega
\right)
\end{eqnarray*}です。

例(離散型の多変量確率変数)
「サイコロを3回投げる」という試行を行います。\(i\ \left( =1,2,3\right) \)回目に出た目を\(\omega _{i}\)で表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \ |\
\forall i\in \left\{ 1,2,3\right\} :\omega _{i}\in \left\{
1,2,3,4,5,6\right\} \right\}
\end{equation*}です。「1投目に出る目」と「最初の2投の目の合計」と「3投の目の合計」の関係性を分析したい場合には、それらを特定する3つの確率変数の確率ベクトルを利用することになります。「1投目に出る目」を特定する確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) =\omega _{1}
\end{equation*}を定めます。この確率変数の値域は、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}という有限集合であるため、\(X\)は離散型の確率変数です。「最初の2投の目の合計」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( \omega _{1},\omega_{2},\omega _{3}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) =\omega _{1}+\omega _{2}
\end{equation*}を定めます。この確率変数の値域は、\begin{equation*}
Y\left( \Omega \right) =\left\{ 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\right\}
\end{equation*}という有限集合であるため、\(Y\)は離散型の確率変数です。「3投の目の合計」を特定する確率変数\(Z:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( \omega _{1},\omega_{2},\omega _{3}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Z\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) =\omega _{1}+\omega
_{2}+\omega _{3}
\end{equation*}を定めます。この確率変数の値域は、\begin{equation*}
Z\left( \Omega \right) =\left\{
3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18\right\}
\end{equation*}という有限集合であるため、\(Z\)は離散型の確率変数です。したがって、\(\left( X,Y,Z\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)は離散型の確率ベクトルであり、これはそれぞれの\(\left( \omega _{1},\omega_{2},\omega _{3}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X,Y,Z\right) \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right)
&=&\left( X\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) ,Y\left( \omega
_{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) ,Z\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) \right) \quad \because \left( X,Y,Z\right) \text{の定義} \\
&=&\left( \omega _{1},\omega _{1}+\omega _{2},\omega _{1}+\omega _{2}+\omega
_{3}\right) \quad \because X_{1},X_{2},X_{3}\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。この確率ベクトルの値域は、\begin{eqnarray*}
\left( X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) &=&\left\{ \left( x,y,z\right)
\in \mathbb{Z} ^{3}\ |\ 1\leq x\leq 6\wedge 2\leq y\leq 12\wedge 3\leq z\leq 18\right\} \\
&=&X\left( \Omega \right) \times Y\left( \Omega \right) \times Z\left(
\Omega \right)
\end{eqnarray*}です。

 

確率ベクトルの値域

確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \omega \right) &=&\left(
X_{1}\left( \omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right) \right) \quad
\because \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \text{の定義} \\
&\in &X_{1}\left( \Omega \right) \times \cdots \times X_{n}\left( \Omega
\right) \quad \because X_{1},\cdots ,X_{n}\text{の定義}
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)の値域は、\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \Omega \right) \subset X_{1}\left(
\Omega \right) \times \cdots \times X_{n}\left( \Omega \right)
\end{equation*}を満たします。つまり、\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値域はそれぞれの確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の値域の直積の部分集合です。ちなみに、\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \Omega \right) =X_{1}\left( \Omega
\right) \times \cdots \times X_{n}\left( \Omega \right)
\end{equation*}という関係は成立するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(離散型確率ベクトルの値域)
「52枚のトランプを4人に対して13枚ずつ配る」という試行を行います。標本空間\(\Omega \)はトランプのすべての配り方からなる集合です。4人のプレイヤーを\(1,2,3,4\)とそれぞれ呼びます。「それぞれのプレイヤー\(i\ \left( =1,2,3,4\right) \)に配られるスペードの枚数」の関係を分析したい場合には、それらを特定する4個の確率変数の確率ベクトルを利用することになります。「プレイヤー\(i\)に配られるスペードの枚数」を特定する確率変数\(X_{i}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{i}\left( \omega \right) =\left\{ \omega \text{において}i\text{が得るスペードの枚数}\right\}
\end{equation*}を定めますが、スペードのカードは全部で13枚あるため、その値域は、\begin{equation*}
X_{i}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,\cdots ,13\right\}
\end{equation*}です。確率ベクトル\(\left( X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{4}\)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right) \left( \omega \right) =\left( \omega
\text{において}i\text{が得るスペードの枚数}\right) _{i=1}^{4}
\end{equation*}を定めますが、スペードのカードは全部で13枚あり、また、すべてのカードを4人に配る場合にはすべてのスペードもまた4人に配られるため、\(\left(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right) \)の値域は、\begin{eqnarray*}&&\left( X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right) \left( \Omega \right) \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) \in \mathbb{R} ^{4}\ |\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=13\wedge \forall i\in \left\{
1,2,3,4\right\} :x_{i}\in \left\{ 0,1,\cdots ,13\right\} \right\}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{equation*}
\left( X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right) \left( \Omega \right) \subset
X_{1}\left( \Omega \right) \times X_{3}\left( \Omega \right) \times
X_{3}\left( \Omega \right) \times X_{4}\left( \Omega \right)
\end{equation*}は成り立つ一方で、\begin{equation*}
\left( X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right) \left( \Omega \right) =X_{1}\left(
\Omega \right) \times X_{3}\left( \Omega \right) \times X_{3}\left( \Omega
\right) \times X_{4}\left( \Omega \right)
\end{equation*}は成り立ちません。4人に合計13枚より多いスペードを配ることはできないからです。

 

演習問題

問題(離散型の同時確率変数)
「コインを\(9\)回投げて出た面を観察する」という試行において、「最初の3投において表が出た回数」と「続く3投において表が出た回数」と「最後の3投において表が出た回数」の関係性を分析するためにはどのような確率ベクトルを利用すればよいでしょうか。定式化してください。また、その値域を明らかにしてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(離散型の同時確率変数)
「5人の学生の成績を観察する」という試行において、「5人の数学の成績の平均」と「5人の英語の成績の平均」と「5人の歴史の成績の平均」の関係性を分析するためにはどのような確率ベクトルを利用すればよいでしょうか。定式化してください。また、その値域を明らかにしてください。ただし、各教科とも成績は\(1,2,3,4,5\)の5段階評価であり、それぞれの評価を与えられる人数に制約はないものとします(例えば、全員に\(5\)を与えることも可能)。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録