確認テスト I（離散型の確率分布）

離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\mathbb{N} \end{equation*}であるものとします。さらに、関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{c}{2^{x}} & \left( if\ x\in \mathbb{N} \right) \\
0 & \left( otherwise\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。以下の問いに答えてください（各5点）。

1. \(f_{X}\)が確率質量関数であるために\(c\)が満たすべき条件を明らかにしてください。
2. \(X\)の実現値が\(1\)より大きい確率を求めてください。
3. \(X\)のモードを特定してください。
4. \(X\)の実現値が偶数である確率を求めてください。

離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\mathbb{N} \end{equation*}であるものとします。さらに、関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{c}{x2^{x}} & \left( if\ x\in \mathbb{N} \right) \\
0 & \left( otherwise\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。以下の問いに答えてください（各5点）。

1. \(f_{X}\)が確率質量関数であるために\(c\)が満たすべき条件を明らかにしてください。
2. \(X\)の実現値が\(1\)より大きい確率を求めてください。
3. \(X\)のモードを特定してください。
4. \(X\)の実現値が偶数である確率を求めてください。

\(n\in \mathbb{N} \)とします。\(n\)枚の硬貨を投げます。それぞれの硬貨について、表が出る確率が\(p\in \left(0,1\right) \)であるものとします。加えて、それぞれの硬貨について、どちらの面が出るかは独立に決定されるものとします。先に投げた\(n\)枚のうち、表が出た硬貨だけを拾い、それらを再び投げます。その結果として表が出る硬貨の枚数を表す確率変数を\(X\)で表記します。\(X\)の確率質量関数を特定してください。

1枚の硬貨を1回だけ投げた場合、表が出る確率が\(p\in \left( 0,1\right) \)であるものとします。また、コインを繰り返し投げる場合、各回の結果は独立に決定されるものとします。以下の問いに答えてください。

1. 1枚の硬貨を1回だけ投げます。表が出る回数を表す確率変数を\(X\)で表記し、裏が出る回数を表す確率変数を\(Y\)で表記します。\(X\)と\(Y\)が独立ではないことを示してください（20点）。
2. 1枚の硬貨を\(N\in \mathbb{Z} _{+}\)回だけ投げます。表が出る回数を表す確率変数を\(X\)で表記し、裏が出る回数を表す確率変数を\(Y\)で表記します。\(N\)は離散型の確率変数であり、確率質量関数\(f_{N}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(n\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、正の定数\(\lambda >0\)を用いて、\begin{equation*}f_{N}\left( n\right) =\left\{ \begin{array}{cc}
   \frac{\lambda ^{n}}{n!}e^{-\lambda } & \left( if\ n\in \mathbb{Z} _{+}\right) \\
   0 & \left( if\ n\not\in \mathbb{Z} _{+}\right)
   \end{array}\right.
   \end{equation*}と表されるものとします。\(X\)と\(Y\)が独立であることを示してください（20点）。