離散型同時確率変数の同時モーメント母関数（同時積率母関数）

離散型同時確率変数の同時モーメント母関数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\begin{equation*}\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(\left( X,Y\right) \)の同時分布が同時確率質量関数\begin{equation*}f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}によって記述されているものとします。つまり、\(\left( X,Y\right) \)の実現値がベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と一致する確率は、\begin{equation*}P\left( X=x\wedge Y=y\right) =f_{XY}\left( x,y\right)
\end{equation*}であり、\(\left( X,Y\right) \)の実現値が集合\(A\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in A\right) =\sum_{\left( x,y\right) \in
A}f_{XY}\left( x,y\right)
\end{equation*}であるということです。

ベクトル\(\left( t_{1},t_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、変数\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に関する2変数関数\begin{equation*}e^{t_{1}x+t_{2}y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。この関数\(e^{t_{1}x+t_{2}y}\)の定義域は\(\mathbb{R} ^{2}\)であるため、これと先の同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)を用いることにより、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}e^{t_{1}X\left( \omega \right) +t_{2}Y\left( \omega \right) }\in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定める確率変数\begin{equation*}
e^{t_{1}X+t_{2}Y}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。つまり、\(e^{t_{1}X+t_{2}Y}\)は\(\left( X,Y\right) \)と\(e^{t_{1}x+t_{2}y}\)の合成関数として定義される確率変数です。この確率変数の期待値は、\begin{equation*}E\left( e^{t_{1}X+t_{2}Y}\right) =\sum_{\left( x,y\right) \in \left(
X,Y\right) \left( \Omega \right) }e^{t_{1}x+t_{2}y}f_{XY}\left( x,y\right)
\quad \because \text{LOTUS}
\end{equation*}であることに注意してください。\(\left( t_{1},t_{2}\right) \)の値が変われば確率変数\(e^{t_{1}X+t_{2}Y}\)の形状も変化し、それに応じて期待値\(E\left( e^{t_{1}X+t_{2}Y}\right) \)もまた変化します。また、そもそも確率変数\(e^{t_{1}X+t_{2}Y}\)の期待値は有限な実数として定まるとは限りません。ただ、\(\left( t_{1},t_{2}\right) \)がとり得る値の範囲をベクトル\(\left( 0,0\right) \)を中心とする\(\mathbb{R} ^{2}\)上の開区間\begin{equation*}N_{\varepsilon _{1}}\left( 0\right) \times N_{\varepsilon _{2}}\left(
0\right) =\left( -\varepsilon _{1},\varepsilon _{1}\right) \times \left(
-\varepsilon _{2},\varepsilon _{2}\right)
\end{equation*}に制限したとき、十分小さい\(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}>0\)のもとでは、この開区間に属する任意の値\(\left( t_{1},t_{2}\right) \in N_{\varepsilon _{1}}\left( 0\right) \times N_{\varepsilon _{2}}\left( 0\right) \)について期待値\(E\left( e^{t_{1}X+t_{2}Y}\right) \)が有限な値として定まることが保証されるのであれば、それぞれの\(\left( t_{1},t_{2}\right) \in N_{\varepsilon _{1}}\left( 0\right) \times N_{\varepsilon _{2}}\left( 0\right) \)に対して、\begin{equation*}M_{XY}\left( t_{1},t_{2}\right) =E\left( e^{t_{1}X+t_{2}Y}\right)
\end{equation*}を定める2変数関数\begin{equation*}
M_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\supset N_{\varepsilon _{1}}\left( 0\right) \times N_{\varepsilon
_{2}}\left( 0\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。このような関数\(M_{XY}\)が存在する場合、これを同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時モーメント母関数（joint moment generating function of \(\left(X,Y\right) \)）や同時積率母関数と呼びます。

同時モーメント母関数とクロスモーメントの関係

同時モーメント母関数はクロスモーメントと深い関係があります。クロスモーメントについて簡単に復習した上で、同時モーメント母関数との関係を以下で解説します。

離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時分布が同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。2つの非負の整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} _{+}\)を任意に選んだとき、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( X^{z_{1}}Y^{z_{2}}\right) \left( \omega \right) =X^{z_{1}}\left(
\omega \right) \cdot Y^{z_{2}}\left( \omega \right)
\end{equation*}を定める新たな確率変数\begin{equation*}
X^{z_{1}}Y^{z_{2}}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能です。ただし、\begin{eqnarray*}
X^{0} &=&1 \\
Y^{0} &=&1
\end{eqnarray*}と定めます。LOTUSを用いると、この確率変数\(X^{z_{1}}Y^{z_{2}}\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X^{z_{1}}Y^{z_{2}}\right) =\sum_{\left( x,y\right) \in \left(
X,Y\right) \left( \Omega \right) }\left[ x^{z_{1}}\cdot y^{z_{2}}\cdot
f_{XY}\left( x,y\right) \right] \end{equation*}となります。そこで、\begin{equation*}
z=z_{1}+z_{2}
\end{equation*}である場合、この期待値\(E\left( X^{z_{1}}Y^{z_{2}}\right) \)を同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の\(z\)次のクロスモーメントと呼びます。

同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時モーメント母関数\(M_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\supset N_{\varepsilon _{1}}\left( 0\right) \times N_{\varepsilon_{2}}\left( 0\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、任意の非負の整数\(z_{1},z_{2}\)についてクロスモーメント\(E\left( X^{z_{1}}Y^{z_{2}}\right) \)が有限な実数として定まることが保証されるとともに、以下の関係\begin{equation*}E\left( X^{z_{1}}Y^{z_{2}}\right) =\left. \frac{\partial
^{z_{1}+z_{2}}M_{XY}\left( t_{1},t_{2}\right) }{\partial
t_{1}^{z_{1}}\partial t_{2}^{z_{2}}}\right\vert _{\left( t_{1},t_{2}\right)
=\left( 0,0\right) }
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、クロスモーメントは同時モーメント母関数の点\(\left( 0,0\right) \)における偏微分係数と一致するということです。

同時モーメント母関数による同時確率分布の特徴づけ

同時確率変数の同時確率分布は同時モーメント分布関数によって特徴づけられます。つまり、2つの同時確率変数が同一の同時モーメント母関数を持つことと、それらの同時確率変数が同一の同時確率分布にしたがうことは必要十分です。順番に解説します。

2つの離散型の同時確率変数\(\left( X_{1},Y_{1}\right) ,\left(X_{2},Y_{2}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時確率分布が同時確率密度関数\(f_{X_{1}Y_{1}},f_{X_{2}Y_{2}}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)としてそれぞれ表現されているものとします。加えて、これらの同時確率変数の同時モーメント母関数\(M_{X_{1}Y_{1}},M_{X_{2}Y_{2}}:\mathbb{R} ^{2}\supset N_{\varepsilon _{1}}\left( 0\right) \times N_{\varepsilon_{2}}\left( 0\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。このとき、\(f_{X_{1}Y_{1}}\)と\(f_{X_{2}Y_{2}}\)が一致することと\(M_{X_{1}Y_{1}}\)と\(M_{X_{2}Y_{2}}\)が一致することは必要十分になります。

離散型同時確率変数の同時確率分布は同時分布関数によって表現することもできるため、上の命題より以下を得ます。

多くの場合、2つの同時確率変数の同時確率分布が一致することを示すことよりも、それらの同時モーメント母関数が一致することを示すことの方が容易です。上の命題は、2つの同時確率変数が同一の同時確率分布にしたがうことを示す代わりに、それらの同時モーメント母関数が一致することを示してもよいことを保証します。