離散型確率変数のモード
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、確率変数\(X\)の確率分布が確率質量関数\begin{equation*}f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}によって記述されているものとします。つまり、確率変数\(X\)が値\(x\in \mathbb{R} \)をとる確率は、\begin{equation*}P\left( X=x\right) =f_{X}\left( x\right)
\end{equation*}であり、確率変数\(X\)の値が集合\(A\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =\sum_{x\in A}f_{X}\left( x\right)
\end{equation*}であるということです。
離散型の確率変数\(X\)に対して実数\(m\in \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :P\left( X=m\right) \geq P\left( X=x\right)
\end{equation*}を満たす場合には、すなわち、\(X\)の実現値の中でも\(m\)が最も高い確率で実現する場合には、\(m\)を\(X\)のモード（mode）と呼びます。
実数\(m\in \mathbb{R} \)が離散型確率変数\(X\)のモードであることと、以下の条件\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :f_{X}\left( m\right) \geq f_{X}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。
\end{equation*}が成り立つことは、\(m\)が\(X\)のモードであるための必要十分条件である。
\end{equation*}であるとともに、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{x^{2}}{90} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。具体的には、\begin{equation*}
f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{4}{90} & \left( if\ x=2\right) \\
\frac{9}{90} & \left( if\ x=3\right) \\
\frac{16}{90} & \left( if\ x=4\right) \\
\frac{25}{90} & \left( if\ x=5\right) \\
\frac{36}{90} & \left( if\ x=6\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となるため、\(x=6\)のもとで\(f_{X}\left( x\right) \)は最大化されます。したがって、\(X\)のモードは\(6\)です。
離散型確率変数のモードの存在
離散型確率変数のモードは必ず存在します。
離散型確率変数のモードの個数
離散型確率変数のモードは一意的に定まるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}であるとともに、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{5} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(1,2,3,4,5\)はいずれも\(X\)のモードです。
演習問題
\end{equation*}であるとともに、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{5} & \left( if\ x=1\right) \\
\frac{1}{10} & \left( if\ x=2\right) \\
\frac{1}{10} & \left( if\ x=3\right) \\
\frac{3}{10} & \left( if\ x=4\right) \\
\frac{3}{10} & \left( if\ x=5\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)のモードを求めてください。
\end{equation*}であるとともに、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}0<\lambda <1
\end{equation*}を満たす定数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{\lambda ^{x}}{x!}e^{-\lambda } & \left( if\ x\in X\left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。\(X\)のモードを求めてください。
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