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離散型の確率分布

離散型の確率変数

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確率変数とその分布および分布関数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて写像\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、もとの可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)において標本点\(\omega \in \Omega \)が実現した場合、その事実をもう一方の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)上に存在する実数\(X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \)に変換して表現する状況を想定するということです。ただし、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族です。

写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が確率変数(random variable)であることとは、以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in B\right\}
\in \mathcal{F}
\end{equation*}を満たすこととして定義されます。つまり、変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)において可測な集合、すなわちボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が集合\(B\)に属する」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(X\)を確率変数と呼ぶということです。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、「確率変数\(X\)の実現値が\(B\)に属する」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\in B\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in B\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\begin{equation*}\mu _{X}\left( B\right) =P\left( X\in B\right)
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
\mu _{X}\left( B\right) :\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを確率変数\(X\)の分布(distribution)と呼びます。

写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が確率変数であるために満たすべき先の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in B\right\}
\in \mathcal{F}
\end{equation*}は、以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\right\} \in
\mathcal{F}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が\(x\)以下になる」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(X\)を確率変数と呼ぶということです。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、「確率変数\(X\)の実現値が\(x\)以下になる」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\leq x\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left(
\omega \right) \leq x\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =P\left( X\leq x\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを確率変数\(X\)の分布関数(distribution function)と呼びます。

 

離散型の確率変数

確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が取り得る値の個数が有限ないし可算である場合には、すなわち、\(X\)の値域\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{equation*}が有限集合または可算集合である場合には、\(X\)を離散型の確率変数(discrete random variable)と呼びます。

例(離散型の確率変数)
「コインを1回投げて出た面を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}です。事象空間を、\begin{eqnarray*}
\mathcal{F} &=&2^{\Omega } \\
&=&\left\{ \phi ,\left\{ \text{表}\right\} ,\left\{ \text{裏}\right\} ,\Omega \right\}
\end{eqnarray*}と定めた上で、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{eqnarray*}P\left( \phi \right) &=&0 \\
P\left( \left\{ \text{表}\right\} \right) &=&p \\
P\left( \left\{ \text{裏}\right\} \right) &=&1-p \\
P\left( \Omega \right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとして定めます。ただし、\(p\in \left( 0,1\right) \)です。以上の\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。「コインの表が出る回数」に興味がある場合には、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega =\text{表}\right) \\
0 & \left( if\ \omega =\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を導入することになります。\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\right\}
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<0\right) \\
\left\{ \text{裏}\right\} & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
\Omega & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(X\)は確率変数です。加えて、\(X\)の値域は、\begin{eqnarray*}X\left( \Omega \right) &=&\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&=&\left\{ 0,1\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは有限集合であるため、\(X\)は離散型の確率変数です。
例(離散型の確率変数)
「コインを1回投げて出た面を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}です。事象空間を、\begin{eqnarray*}
\mathcal{F} &=&2^{\Omega } \\
&=&\left\{ \phi ,\left\{ \text{表}\right\} ,\left\{ \text{裏}\right\} ,\Omega \right\}
\end{eqnarray*}と定めた上で、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{eqnarray*}P\left( \phi \right) &=&0 \\
P\left( \left\{ \text{表}\right\} \right) &=&p \\
P\left( \left\{ \text{裏}\right\} \right) &=&1-p \\
P\left( \Omega \right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとして定めます。ただし、\(p\in \left( 0,1\right) \)です。以上の\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。「表が出れば1万円をもらえる一方で裏が出れば1万円を支払う」に興味がある場合には、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
10000 & \left( if\ \omega =\text{表}\right) \\
-10000 & \left( if\ \omega =\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める写像\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を導入することになります。\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ Y\left( \omega \right) \leq x\right\}
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<-10000\right) \\
\left\{ \text{裏}\right\} & \left( if\ -10000\leq x<10000\right) \\
\Omega & \left( if\ x\geq 10000\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(Y\)は確率変数です。加えて、\(Y\)の値域は、\begin{eqnarray*}Y\left( \Omega \right) &=&\left\{ Y\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&=&\left\{ 10000,-10000\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは有限集合であるため、\(Y\)は離散型の確率変数です。

以上の2つの例が示唆するように、同一の試行に対して定義され得る確率変数は1種類だけであるとは限りません。この例に関して言えば、表が出る回数に興味がある場合には確率変数\(X\)を採用し、ギャンブルの結果に興味がある場合には確率変数\(Y\)を採用することになります。目的に応じて適切な確率変数を導入することが重要です。

例(定数確率変数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられた状況において定値写像\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、\(X\)が任意の標本点\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =c
\end{equation*}と表されるということです。定値写像\(X\)は確率変数であるとともに、その値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ c\right\}
\end{equation*}ですが、これは有限集合であるため、\(X\)は離散型の確率変数です。
例(指示関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられた状況において事象\(E\in \mathcal{F}\)を選び、その上で\(E\)に関する指示関数\begin{equation*}1_{E}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、\(1_{E}\)がそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{equation*}1_{E}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega \in E\right) \\
0 & \left( if\ \omega \not\in E\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。可測な事象に関する指示関数\(1_{E}\)は確率変数であるとともに、その値域は、\begin{equation*}1_{E}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}ですが、これは有限集合であるため、\(1_{E}\)は離散型の確率変数です。

これまで例として挙げた離散型確率変数の値域は有限集合ですが、以下は値域が可算集合であるような離散型確率変数の例です。

例(離散型の確率変数)
「表が出るまでコインを投げ続ける」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{\text{表},\text{裏表},\text{裏裏表},\text{裏裏裏表},\cdots \}
\end{equation*}となります。「\(n\)回目にはじめて表が出る」という標本点を\(\omega _{n}\)で表記するのであれば、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\omega _{4},\cdots
\right\}
\end{equation*}となります。事象空間を、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}と定めた上で、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) =\frac{1}{2^{n}}
\end{equation*}を満たすものとして定義します(各回において表と裏が同じ割合で出る)。以上の\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。「何回目にはじめて表が出るか」に興味がある場合には、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega \text{において初めて表が出た回数}
\end{equation*}を定める写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を導入することになります。例えば、\begin{eqnarray*}X\left( \text{表}\right) &=&X\left( \omega _{1}\right) =1 \\
X\left( \text{裏表}\right) &=&X\left( \omega _{2}\right) =2 \\
X\left( \text{裏裏表}\right) &=&X\left( \omega
_{3}\right) =3
\end{eqnarray*}などとなります。\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\right\}
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<1\right) \\
\left\{ \omega _{1}\right\} & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
\left\{ \omega _{1},\omega _{2}\right\} & \left( if\ 2\leq x<3\right) \\
\vdots &
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(X\)は確率変数です。加えて、\(X\)の値域は、\begin{eqnarray*}X\left( \Omega \right) &=&\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&=&\left\{ 1,2,3,\cdots \right\} \\
&=&\mathbb{N} \end{eqnarray*}ですが、これは可算集合であるため、\(X\)は離散型の確率変数です。

 

確率変数は離散型であるとは限らない

確率変数は離散型であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(離散型ではない確率変数)
「電球の寿命を測定する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =[0,+\infty )
\end{equation*}となります。「何回目にはじめて表が出るか」に興味がある場合には、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を定める写像\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を導入することになります。例えば、\begin{eqnarray*}X\left( 0\right) &=&0 \\
X\left( 10\right) &=&10 \\
X\left( 111\right) &=&111
\end{eqnarray*}などとなります。事象空間を、\begin{eqnarray*}
\mathcal{F} &=&\sigma \left( X\right) \\
&=&\left\{ X^{-1}(-\infty ,x]\ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}と定めた上で、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を適当に定めれば確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が得られるとともに、\(X\)は確率変数になります。この確率変数の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =[0,+\infty )
\end{equation*}ですが、これは非可算集合であるため、\(X\)は離散型の確率変数ではありません。

 

離散型確率変数の標準形(指示関数を用いた離散型確率変数の表現)

離散型確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域は有限集合または可算集合であるため、それを、\begin{eqnarray*}X\left( \Omega \right) &=&\left\{ x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \right\} \\
&=&\left\{ x_{n}\right\} _{n\in N}
\end{eqnarray*}と表現します。\(X\left( \Omega\right) \)が有限集合である場合には\(N\)は有限集合であり、\(X\left( \Omega \right) \)が可算集合である場合には\(N=\mathbb{N} \)です。

値域に属するそれぞれの値\(x_{n}\in X\left( \Omega \right) \)に対して、\(X\)の実現値が\(x_{n}\)と一致するような標本点からなる集合\begin{eqnarray*}\left\{ X=x_{n}\right\} &=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) =x_{n}\right\} \\
&=&X^{-1}\left( \left\{ x_{n}\right\} \right)
\end{eqnarray*}をとります。1点集合\(\left\{ x_{n}\right\} \)はボレル集合であるため、すなわち\(\left\{ x_{n}\right\} \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)であるため、確率変数の定義より、\begin{equation*}X^{-1}\left( \left\{ x_{n}\right\} \right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ X=x_{n}\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\left\{ X=x_{n}\right\} \)は可測な事象です。その上で、この事象に関する指示関数\begin{equation*}1_{\left\{ X=x_{n}\right\} }:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、\(1_{\left\{ X=x_{n}\right\} }\)がそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}1_{\left\{ X=x_{n}\right\} }\left( \omega \right) &=&\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega \in \left\{ X=x_{n}\right\} \right) \\
0 & \left( if\ \omega \not\in \left\{ X=x_{n}\right\} \right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ X\left( \omega \right) =x_{n}\right) \\
0 & \left( if\ X\left( \omega \right) \not=x_{n}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。先の議論より\(\left\{ X=x_{n}\right\} \)は可測な事象であるため、それに関する指示関数\(1_{\left\{X=x_{n}\right\} }\)は確率変数であることに注意してください。

以上を踏まえた上で、写像\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{N}\left( x_{n}\cdot 1_{\left\{ X=x_{n}\right\} }\right) :\Omega
\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これはそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \sum_{n=1}^{N}\left( x_{n}\cdot 1_{\left\{ X=x_{n}\right\} }\right)
\right) \left( \omega \right) &=&\sum_{n=1}^{N}\left( x_{n}\cdot 1_{\left\{
X=x_{n}\right\} }\right) \left( \omega \right) \\
&=&\sum_{n=1}^{N}\left[ x_{n}\cdot 1_{\left\{ X=x_{n}\right\} }\left( \omega
\right) \right] \\
&=&x_{1}\cdot 1_{\left\{ X=x_{1}\right\} }\left( \omega \right) +\cdots
+x_{N}\cdot 1_{\left\{ X=x_{n}\right\} }\left( \omega \right)
\end{eqnarray*}を定めます。この関数は確率変数の定数倍の和として定義されるため確率変数です。加えて、この関数はもとの確率変数\(X\)と一致することが保証されます。この関数を確率変数\(X\)の標準形(canonical representation of \(X\))と呼びます。

まずは以下の補題を示します。

命題(標本空間の分割)

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ x_{n}\right\} _{n\in N}
\end{equation*}であるものとする。それぞれの値\(x_{n}\in X\left( \Omega\right) \)に対して、\begin{equation*}\left\{ X=x_{n}\right\} =\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) =x_{n}\right\}
\end{equation*}と定める。この場合、標本空間\(\Omega \)は集合\(\left\{ X=x_{n}\right\} \ \left( n\in N\right) \)の非交和として表される。すなわち、\begin{equation*}\Omega =\bigsqcup\limits_{n\in N}\left\{ X=X_{n}\right\}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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以上の補題を踏まえた上で、離散型の確率変数は可算個の指示関数の定数倍の和として表すことができることを示します。

命題(離散型確率変数の標準形)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ x_{n}\right\} _{n\in N}
\end{equation*}であるものとする。それぞれの値\(x_{n}\in X\left( \Omega\right) \)に対して、\begin{equation*}\left\{ X=x_{n}\right\} =\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) =x_{n}\right\}
\end{equation*}と定めた上で、写像\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{N}\left( x_{n}\cdot 1_{\left\{ X=x_{n}\right\} }\right) :\Omega
\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義する。このとき、\begin{equation*}
X=\sum_{n=1}^{N}\left( x_{n}\cdot 1_{\left\{ X=x_{n}\right\} }\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(定数確率変数の標準形)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて定数確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)が任意の標本点\(\omega\in \Omega \)に対して定める値は、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =c
\end{equation*}と表されるということです。定値写像\(X\)は確率変数であるとともに、その値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ c\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\left\{ X=c\right\} &=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) =c\right\} \\
&=&\Omega
\end{eqnarray*}と定めれば、\(X\)の標準形が、\begin{equation*}c\cdot 1_{\left\{ X=c\right\} }:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として得られるとともに、先の命題より、これは\(X\)と一致します。実際、\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( c\cdot 1_{\left\{ X=c\right\} }\right) \left( \omega \right)
&=&c\cdot 1_{\left\{ X=c\right\} }\left( \omega \right) \\
&=&c\cdot 1_{\Omega }\left( \omega \right) \\
&=&c\cdot \left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega \in \Omega \right) \\
0 & \left( if\ \omega \not\in \Omega \right)
\end{array}\right. \\
&=&c\cdot 1 \\
&=&c \\
&=&X\left( \omega \right) \quad \because X\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

演習問題

問題(離散型の確率変数)
「コインを3回投げて表が出た回数を観察する」という試行において、1回目に出た面を\(\omega _{1}\)で、2回目に出た面を\(\omega _{2}\)で、3回目に出た面を\(\omega _{3}\)でそれぞれ表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \ |\
\forall i\in \left\{ 1,2,3\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\} \right\}
\end{equation*}となります。事象空間を、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}と定めた上で、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を適当に定めれば確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が得られます。「表が出る回数」を表す確率変数と、「表が連続で出る回数」を表す確率変数をそれぞれ定式化した上で、それらが離散型であることを確認してください。
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問題(確率変数)
「コインを\(10\)回投げて表が出た回数を数える」という試行において、表が出た回数を与える確率変数を定式化してください。また、その値域を明らかにしてください。
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問題(確率変数)
「あるディーラーにおいて1カ月間で売れた車の台数を観察する」という試行において、売れた車の台数を特定する確率変数を定式化してください。

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問題(確率変数)
「5人の学生の成績を観察する」という試行において、5人の成績の平均を与える確率変数を定式化してください。また、その値域を明らかにしてください。ただし、成績は\(1,2,3,4,5\)の5段階評価であるものとします。
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問題(確率変数)
スタジアムで2つのチーム\(A,B\)が試合を行っています。それぞれの観客はどちらか一方のチームを応援しているものとします。以上の仮定のもと、「3人の観客をランダムに選んだ上でどちらのチームを応援しているか確認する」という試行において、チーム\(A\)を応援している人数を与える確率変数を定式化してください。また、その値域を明らかにしてください。
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問題(確率変数)
ルーレットは\(1\)から\(36\)までのすべての整数に加えて\(0\)と\(00\)の合計\(38\)マスに入るボールを予想するゲームです。「ボールが\(36\)のマスに入るまでルーレットを繰り返しまわす」という試行において、はじめてボールが\(36\)のマスに入った回数を与える確率変数を定式化してください。また、その値域を明らかにしてください。
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