離散型確率変数のモーメント（積率）

離散型確率変数のモーメント

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。加えて、\(X\)の確率分布が確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されているものとします。つまり、確率変数\(X\)が値\(x\in \mathbb{R} \)をとる確率は、\begin{equation*}P\left( X=x\right) =f_{X}\left( x\right)
\end{equation*}であり、確率変数\(X\)の値が集合\(A\subset \mathbb{R} \)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =\sum_{x\in A}f_{X}\left( x\right)
\end{equation*}であるということです。

自然数\(m\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X^{m}\left( \omega \right) =\left[ X\left( \omega \right) \right] ^{m}
\end{equation*}を定める新たな確率変数\(X^{m}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。LOTUSを用いると、この確率変数\(X^{m}\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X^{m}\right) =\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }x^{m}f_{X}\left(
x\right)
\end{equation*}と定まりますが、これを確率変数\(X\)の\(m\)次のモーメント（\(m\) th moment）や原点まわりの\(m\)次のモーメント（\(m\) th moment about the origin）などと呼びます。モーメントを積率（moment）と呼ぶ場合もあります。

確率変数の\(1\)次のモーメントは期待値と一致します。

モーメントが存在するための条件（絶対値モーメント）

確率変数\(X\)の\(1\)次のモーメントは期待値と一致することが明らかになりました。確率変数の期待値は有限な実数として定まるとは限らないため、モーメントもまた有限な実数として定まるとは限らないということになります。モーメントが有限な実数として定まるための条件を明らかにします。

繰り返しになりますが、確率変数\(X\)の\(m\)次のモーメントとは、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X^{m}\left( \omega \right) =\left[ X\left( \omega \right) \right] ^{m}
\end{equation*}を定める確率変数\(X^{m}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の期待値\begin{equation*}E\left( X^{m}\right) =\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }x^{m}f_{X}\left(
x\right)
\end{equation*}として定義されます。その一方で、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left\vert X\right\vert ^{m}\left( \omega \right) =\left\vert X\left( \omega
\right) \right\vert ^{m}
\end{equation*}を定める確率変数\(\left\vert X\right\vert ^{m}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、その期待値、すなわち\(m\)次のモーメントは、\begin{equation*}E\left( \left\vert X\right\vert ^{m}\right) =\sum_{x\in X\left( \Omega
\right) }\left\vert x\right\vert ^{m}f_{X}\left( x\right) \quad \because
\text{LOTUS}
\end{equation*}として定まります。これを\(X\)の\(m\)次の絶対値モーメント（\(m\) th absolute value moment）と呼びます。

確率変数の\(m\)次の絶対値モーメントが有限な実数として定まる場合、\(m\)次のモーメントもまた有限な実数として定まることが保証されます。

確率変数\(X\)の\(m\)次の絶対値モーメントが有限な実数として定まる場合、\(m\)次以下の任意の絶対値モーメントもまた有限な実数として定まることが保証されます。

以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。

特定の値のまわりのモーメント

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。加えて、\(X\)の確率分布が確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。自然数\(m\in \mathbb{N} \)と実数\(a\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( X-a\right) ^{m}\left( \omega \right) =\left[ X\left( \omega \right) -a\right] ^{m}
\end{equation*}を定める新たな確率変数\(\left( X-a\right) ^{m}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。この確率変数\(\left( X-a\right) ^{m}\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( \left( X-a\right) ^{m}\right) =\sum_{x\in X\left( \Omega \right)
}\left( x-a\right) ^{m}f_{X}\left( x\right) \quad \because \text{LOTUS}
\end{equation*}となりますが、これを確率変数\(X\)の\(a\)まわりの\(m\)次のモーメント（\(m\) th moment about the point \(a\)）と呼びます。

離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。\(X\)の期待値\begin{equation*}E\left( X\right) =\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }xf_{X}\left( x\right)
\end{equation*}が有限な実数として定まる場合、\(X\)の期待値\(E\left( X\right) \)周りの\(m\)次のモーメント\begin{equation*}E\left( \left[ X-E\left( X\right) \right] ^{m}\right) =\sum_{x\in X\left(
\Omega \right) }\left[ x-E\left( X\right) \right] ^{m}f_{X}\left( x\right)
\quad \because \text{LOTUS}
\end{equation*}をとることができます。これを確率変数\(X\)の\(m\)次の中心モーメント（\(m\) the central moment）と呼びます。

確率変数の\(2\)次の中心モーメントは分散と一致します。

確率変数\(X\)の\(a\)まわりの\(2\)次のモーメント\(E\left(\left( X-a\right) ^{2}\right) \)の水準は\(a\)の値に依存して変化しますが、その値は\(a=E\left(X\right) \)のもとで最小化されます。つまり、点\(a\)のまわりの\(2\)次のモーメントどうしを比べたとき、その中でも、\(2\)次の中心モーメントが最小になることが保証されます。加えて、先の命題より、それは分散と一致します。

演習問題