連続型の一様分布
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に対して確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が定義されており、その値域\(X\left( \Omega \right) \)が\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間\begin{eqnarray*}X\left( \Omega \right) &=&\left[ a,b\right] \\
&=&\left\{ X\in \mathbb{R} \ |\ a\leq X\leq b\right\}
\end{eqnarray*}であるものとします。つまり、\(X\)は連続型の確率変数です。その上で、\(X\)の確率分布を描写する確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{b-a} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。以上の定義は、\(f_{X}\)は\(X\left( \Omega \right) \)上において一定の値\(\frac{1}{b-a}\)をとる定数関数であることを意味します。以上の条件が満たされる場合、確率変数\(X\)はパラメータ\(a,b\)の連続型一様分布（continuous uniform distribution with parameter \(a,b\)）にしたがうといい、そのことを、\begin{equation*}X\sim U\left( a,b\right)
\end{equation*}で表記します。
例（標準一様分布）
確率変数\(X\)がパラメータ\(0,1\)の連続型一様分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,1\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)は標準一様分布（standard uniform distribution）にしたがうと言います。この場合、\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)は標準一様分布（standard uniform distribution）にしたがうと言います。この場合、\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
例（連続型一様分布）
「エレベータが到着するのを待つ」という試行において、待ち時間が\(0\)秒以上\(60\)秒以下であるならば、標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left[ 0,60\right]
\end{equation*}となります。待ち時間を与える確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を定めるため、その値域は、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\Omega =\left[ 0,60\right] \end{equation*}です。したがって\(X\)は連続型の確率変数です。エレベータの現在位置を知る術がなく、確率変数\(X\)はパラメータ\(0,60\)の一様分布にしたがうものと仮定します。つまり、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,60\right)
\end{equation*}を仮定します。この場合、確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{60} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。したがって、例えば、待ち時間が\(30\)秒以下である確率は、\begin{eqnarray*}P\left( 0\leq X\leq 30\right) &=&\int_{0}^{30}f_{X}\left( x\right) dx \\
&=&\int_{0}^{30}\frac{1}{60}dx\quad \because f_{X}\text{の定義} \\
&=&\left[ \frac{x}{60}\right] _{0}^{30}\quad \because \text{定数関数の積分} \\
&=&\frac{30}{60}-\frac{0}{60} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。また、待ち時間が\(15\)秒以上\(30\)秒以下である確率は、\begin{eqnarray*}P\left( 15\leq X\leq 30\right) &=&\int_{15}^{30}f_{X}\left( x\right) dx \\
&=&\int_{15}^{30}\frac{1}{60}dx\quad \because f_{X}\text{の定義} \\
&=&\left[ \frac{x}{60}\right] _{15}^{30}\quad \because \text{定数関数の積分} \\
&=&\frac{30}{60}-\frac{15}{60} \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるため、その値域は、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\Omega =\left[ 0,60\right] \end{equation*}です。したがって\(X\)は連続型の確率変数です。エレベータの現在位置を知る術がなく、確率変数\(X\)はパラメータ\(0,60\)の一様分布にしたがうものと仮定します。つまり、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,60\right)
\end{equation*}を仮定します。この場合、確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{60} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。したがって、例えば、待ち時間が\(30\)秒以下である確率は、\begin{eqnarray*}P\left( 0\leq X\leq 30\right) &=&\int_{0}^{30}f_{X}\left( x\right) dx \\
&=&\int_{0}^{30}\frac{1}{60}dx\quad \because f_{X}\text{の定義} \\
&=&\left[ \frac{x}{60}\right] _{0}^{30}\quad \because \text{定数関数の積分} \\
&=&\frac{30}{60}-\frac{0}{60} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。また、待ち時間が\(15\)秒以上\(30\)秒以下である確率は、\begin{eqnarray*}P\left( 15\leq X\leq 30\right) &=&\int_{15}^{30}f_{X}\left( x\right) dx \\
&=&\int_{15}^{30}\frac{1}{60}dx\quad \because f_{X}\text{の定義} \\
&=&\left[ \frac{x}{60}\right] _{15}^{30}\quad \because \text{定数関数の積分} \\
&=&\frac{30}{60}-\frac{15}{60} \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}となります。
連続型の一様分布にしたがう確率変数の確率密度関数が確率密度関数としての性質を満たすことを確認しておきます。
命題（連続型一様分布の確率密度関数）
確率変数\(X\)がパラメータ\(a,b\)の連続型一様分布にしたがう場合には、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)の確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :f_{X}\left( x\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \int_{-\infty }^{+\infty }f_{X}\left( x\right) dx=1
\end{eqnarray*}をともに満たす。
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)の確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :f_{X}\left( x\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \int_{-\infty }^{+\infty }f_{X}\left( x\right) dx=1
\end{eqnarray*}をともに満たす。
連続型一様分布にしたがう確率変数の分布関数
確率変数\(X\)が連続型一様分布にしたがう場合の分布関数は以下の通りです。
命題（連続型一様分布の分布関数）
確率変数\(X\)がパラメータ\(a,b\)の連続型一様分布にしたがう場合には、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<a\right) \\
\frac{x-a}{b-a} & \left( if\ a\leq x\leq b\right) \\
1 & \left( if\ x>b\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<a\right) \\
\frac{x-a}{b-a} & \left( if\ a\leq x\leq b\right) \\
1 & \left( if\ x>b\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。
例（標準一様分布の分布関数）
確率変数\(X\)が標準一様分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,1\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、上の命題より、\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}が成り立つ場合には、上の命題より、\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
例（連続型一様分布の分布関数）
確率変数\(X\)はパラメータ\(0,60\)の連続型一様分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,60\right)
\end{equation*}です。上の命題より、\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{x}{60} & \left( if\ 0\leq x\leq 60\right) \\
1 & \left( if\ x>60\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。したがって、例えば、待ち時間が\(30\)秒以下である確率は、\begin{eqnarray*}P\left( 0\leq X\leq 30\right) &=&F\left( 30\right) \\
&=&\frac{30}{60} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、また、待ち時間が\(15\)秒以上\(30\)秒以下である確率は、\begin{eqnarray*}P\left( 15\leq X\leq 30\right) &=&F\left( 30\right) -F\left( 15\right) \\
&=&\frac{30}{60}-\frac{15}{60} \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}です。上の命題より、\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{x}{60} & \left( if\ 0\leq x\leq 60\right) \\
1 & \left( if\ x>60\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。したがって、例えば、待ち時間が\(30\)秒以下である確率は、\begin{eqnarray*}P\left( 0\leq X\leq 30\right) &=&F\left( 30\right) \\
&=&\frac{30}{60} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、また、待ち時間が\(15\)秒以上\(30\)秒以下である確率は、\begin{eqnarray*}P\left( 15\leq X\leq 30\right) &=&F\left( 30\right) -F\left( 15\right) \\
&=&\frac{30}{60}-\frac{15}{60} \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}となります。
連続型一様分布にしたがう確率変数の期待値
確率変数\(X\)が連続型一様分布にしたがう場合の期待値は以下の通りです。
命題（連続型一様分布の期待値）
確率変数\(X\)がパラメータ\(a,b\)の連続型一様分布にしたがう場合には、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\frac{a+b}{2}
\end{equation*}となる。
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\frac{a+b}{2}
\end{equation*}となる。
例（標準一様分布の期待値）
確率変数\(X\)が標準一様分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,1\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、上の命題より、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}となります。
\end{equation*}が成り立つ場合には、上の命題より、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}となります。
例（連続型一様分布の期待値）
確率変数\(X\)はパラメータ\(0,60\)の連続型一様分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,60\right)
\end{equation*}です。上の命題より、\(X\)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&\frac{0+60}{2} \\
&=&30
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}です。上の命題より、\(X\)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&\frac{0+60}{2} \\
&=&30
\end{eqnarray*}となります。
連続型一様分布にしたがう確率変数の分散
確率変数\(X\)が連続型一様分布にしたがう場合の分散は以下の通りです。
命題（連続型一様分布の分散）
確率変数\(X\)がパラメータ\(a,b\)の連続型一様分布にしたがう場合には、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)の分散は、\begin{equation*}\mathrm{Var}\left( X\right) =\frac{\left( b-a\right) ^{2}}{12}
\end{equation*}となる。
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)の分散は、\begin{equation*}\mathrm{Var}\left( X\right) =\frac{\left( b-a\right) ^{2}}{12}
\end{equation*}となる。
例（標準一様分布の分散）
確率変数\(X\)が標準一様分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,1\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、上の命題より、\(X\)の分散は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Var}\left( X\right) &=&\frac{\left( 1-0\right) ^{2}}{12} \\
&=&\frac{1}{12}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}が成り立つ場合には、上の命題より、\(X\)の分散は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Var}\left( X\right) &=&\frac{\left( 1-0\right) ^{2}}{12} \\
&=&\frac{1}{12}
\end{eqnarray*}となります。
例（連続型一様分布の分散）
確率変数\(X\)はパラメータ\(0,60\)の連続型一様分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,60\right)
\end{equation*}です。上の命題より、\(X\)の分散は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Var}\left( X\right) &=&\frac{\left( 60-0\right) ^{2}}{12} \\
&=&300
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}です。上の命題より、\(X\)の分散は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Var}\left( X\right) &=&\frac{\left( 60-0\right) ^{2}}{12} \\
&=&300
\end{eqnarray*}となります。
連続型一様分布にしたがう確率変数のモーメント母関数
確率変数\(X\)が連続型一様分布にしたがう場合のモーメント母関数は以下の通りです。
命題（連続型一様分布にしたがう確率変数のモーメント母関数）
確率変数\(X\)がパラメータ\(a,b\)の連続型一様分布にしたがう場合には、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、モーメント母関数\(M_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}M_{X}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{e^{tb}-e^{ta}}{t\left( b-a\right) } & \left( if\ t\not=0\right) \\
1 & \left( if\ t=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。
\end{equation*}が成り立つ場合には、モーメント母関数\(M_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}M_{X}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{e^{tb}-e^{ta}}{t\left( b-a\right) } & \left( if\ t\not=0\right) \\
1 & \left( if\ t=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。
例（標準一様分布にしたがう確率変数のモーメント母関数）
確率変数\(X\)が標準一様分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,1\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、上の命題より、モーメント母関数\(M_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}M_{X}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{e^{t}-1}{t} & \left( if\ t\not=0\right) \\
1 & \left( if\ t=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}が成り立つ場合には、上の命題より、モーメント母関数\(M_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}M_{X}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{e^{t}-1}{t} & \left( if\ t\not=0\right) \\
1 & \left( if\ t=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
例（連続型一様分布にしたがう確率変数のモーメント母関数）
確率変数\(X\)はパラメータ\(0,60\)の連続型一様分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,60\right)
\end{equation*}です。上の命題より、モーメント母関数\(M_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}M_{X}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{e^{60t}-1}{60t} & \left( if\ t\not=0\right) \\
1 & \left( if\ t=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}です。上の命題より、モーメント母関数\(M_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}M_{X}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{e^{60t}-1}{60t} & \left( if\ t\not=0\right) \\
1 & \left( if\ t=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
演習問題
問題（連続型一様分布）
エレベーターを呼び出すボタンを押すと、その時点から数えて\(10\)秒以上かつ\(30\)秒以下の間にエレベーターが到着することが判明しているものとします。加えて、エレベーターが到着するまでの時間は連続型の一様分布にしたがうものとします。以上を前提とした上で、エレベーターが到着するまでの待ち時間の期待値と標準偏差をともに求めてください。
問題（連続型一様分布）
あなたがバス停が到着した時点を出発点として、そこから\(15\)分以内にバスが到着することは分かっているものとします。ただし、正確な待ち時間は分かりません。バスが到着するまでの時間は連続型の一様分布にしたがうものとします。以上を前提とした上で、待ち時間が\(8\)分より長い確率を求めてください。
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