互いに排反とは限らない事象どうしの和事象の確率に関しては、加法定理と呼ばれる命題が成り立ちます。

加法定理

確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)が与えられたとき、確率論の公理より確率関数\(P\)は\(\sigma \)-加法性を満たします。つまり、互いに排反な可算個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots \in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、それらの和事象の確率は、\begin{equation*}
P\left( \bigcup_{i=1}^{\infty }A_{i}\right) =\sum_{i=1}^{\infty }P\left(
A_{i}\right)
\end{equation*}を満たします。また、やはり確率論の公理より、\(P\)は有限加法性を満たします。つまり、互いに排反な有限個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、それらの和事象の確率は、\begin{equation*}
P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}を満たします。

確率論の公理について復習する 有限加法性について復習する

以上の性質は互いに排反な事象どうしの和事象に関するものですが、互いに排反であるとは限らない事象どうしの和事象の確率に関してはどのようなことが言えるでしょうか。まずは、2 つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)の和事象の確率\(P\left( A\cup B\right) \)について考えます。ただし、\(A\)と\(B\)は互いに排反であるとは限りません。

和事象は\(A\cup B=(A\cap B^{c})\cup (A\cap B)\cup (A^{c}\cap B)\)という形で、互いに排反な 3 つの事象の\(A\cap B^{c},A\cap B,A^{c}\cap B\)の和事象として表現可能です。なお、\(\sigma \)-代数である事象空間\(\mathcal{F}\)は余事象\(c\)や積事象\(\cap \)について閉じているため、これら 3 つの事象はいずれも\(\mathcal{F}\)の要素です。すると、\(P\)の有限加法性を繰り返し適用することにより、\begin{align}
P(A\cup B)& =P((A\cap B^{c})\cup (A\cap B)\cup (A^{c}\cap B)) \notag \\
& =P(A\cap B^{c})+P(A\cap B)+P(A^{c}\cap B) \tag{1}
\end{align}を得ます。さらに\(A=(A\cap B^{c})\cup (A\cap B)\)と表現できますが、\(A\cap B^{c}\)と\(A\cap B\)は互いに排反ですので、やはり\(P\)の加法性より、\begin{align}
P(A)& =P((A\cap B^{c})\cup (A\cap B)) \notag \\
& =P(A\cap B^{c})+P(A\cap B) \tag{2}
\end{align}を得ます。同様に、\(B=(A^{c}\cap B)\cup (A\cap B)\)についても、\(A^{c}\cap B\)と\(A\cap B\)は互いに排反であることから、\(P\)の加法性より、\begin{align}
P(B)& =P((A^{c}\cap B)\cup (A\cap B)) \notag \\
& =P(A^{c}\cap B)+P(A\cap B) \tag{3}
\end{align}を得ます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)より、\begin{align*}
P(A)+P(B)& =P(A\cap B^{c})+P(A\cap B)+P(A^{c}\cap B)+P(A\cap B)\quad
\because (2),(3) \\
& =P(A\cup B)+P(A\cap B)\quad \because (1)
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
P(A\cup B)=P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap B\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。これを加法定理(addition theorem)と呼びます。

命題(加法定理)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
P(A\cup B)=P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap B\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

つまり、互いに排反であるとは限らない事象\(A,B\)の和事象\(A\cup B\)の確率は、\(A\)の確率と\(B\)の確率の和から、積事象\(A\cap B\)の確率を引くことにより得られます。

特に、\(A\)と\(B\)が排反である場合には\(P\left( A\cap B\right) =P\left( \phi \right) =0\)となるため、加法定理は、\begin{equation*}
P(A\cup B)=P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}となります。これは\(n=2\)の場合の有限加法性に他なりません。したがって、加法定理は有限加法性の一般化です。

 

加法定理の拡張

加法定理は 3 個以上の事象の和事象に関しても拡張可能です。証明では\(n\)に関する数学的帰納法を使います。

命題(加法定理の拡張)

確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、有限\(n\)個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、\begin{align*}
P\left( \bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}\right) & =\sum_{i=1}^{n}P(A_{i}) \\
& -\sum_{1\leq i<j\leq n}P(A_{i}\cap A_{j}) \\
& +\sum_{1\leq i<j<k\leq n}P(A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}) \\
& -\cdots \\
& +(-1)^{n+1}\cdot P(A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n})
\end{align*}が成り立つ。

証明を見る(プレミアム会員限定)

このままでは分かりづらいため、\(n\)に具体的な数を入れてみましょう。

例(加法定理)
3 個の事象\(A_{1},A_{2},A_{3}\)について、加法定理より、\begin{eqnarray*}
P\left( A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\right) &=&P\left( A_{1}\right) +P\left(
A_{2}\right) +P\left( A_{3}\right) \\
&&-P\left( A_{1}\cap A_{2}\right) -P\left( A_{1}\cap A_{3}\right) -P\left(
A_{2}\cap A_{3}\right) \\
&&+P\left( A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
例(加法定理)
4 個の事象\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\)について、加法定理より、\begin{eqnarray*}
P\left( A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\right) &=&P\left( A_{1}\right)
+P\left( A_{2}\right) +P\left( A_{3}\right) +P\left( A_{4}\right) \\
&&-P\left( A_{1}\cap A_{2}\right) -P\left( A_{1}\cap A_{3}\right) -P\left(
A_{1}\cap A_{4}\right) -P\left( A_{2}\cap A_{3}\right) -P\left( A_{2}\cap
A_{4}\right) -P\left( A_{3}\cap A_{4}\right) \\
&&+P\left( A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\right) +P\left( A_{1}\cap A_{2}\cap
A_{4}\right) +P\left( A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\right) \\
&&-P\left( A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

つまり、有限\(n\)個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\)の和事象の確率を求めるためには、まず、\(n\)個の事象の確率を足し、次に、\(n\)個の事象から\(2\)個を選んでできる積事象(このような積事象は\(\binom{n}{2}\)個存在する)の確率の総和を引き、次に、\(n\)個の事象の中から\(3\)個を選んでできる積事象(このような積事象は\(\binom{n}{3}\)個存在する)の確率の総和を足し、次に、\(n\)個の事象の中から\(4\)個を選んでできる積事象(このような積事象は\(\binom{n}{4}\)個存在する)の確率の総和を引き、\(\cdots \)という作業を続け、最終的に、\(n\)が奇数ならば\(n\)個の事象の積事象の確率を足し、\(n\)が偶数ならば\(n\)個の事象の積事象の確率を引けばよいということです。

互いに排反であるとは限らない有限個の事象の和事象を求める方法が以上で明らかになりましたが、可算個の事象の和事象に関しても加法定理は成り立つのでしょうか。互いに排反であるとは限らない可算個の事象の和事象に関しては、列加法性と呼ばれる性質が成り立ちます。

次回は劣加法性について解説します。

次へ進む 質問・コメントを投稿する 演習問題(プレミアム会員限定)

ワイズをさらに活用するための会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。さらに、有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。
会員サービス

ディスカッションに参加しますか?

質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。
ログイン

アカウント
ログイン