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有限個の事象の独立性(ペア独立性・相互独立性)

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3個の事象の独立性

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が独立であることを、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。これは、2つの事象\(A,B\)の一方が起きているかどうかが他方の事象が起こる確率に影響を与えないことを意味します。では、3個以上の事象の独立性をどのように定義すればよいでしょうか。まずは3つの事象の独立性を定義した上で、後に議論を一般化します。

3つの事象\(A,B,C\in \mathcal{F}\)が独立であることをどのように定義すればよいでしょうか。試しに、3つの事象\(A,B,C\)の中から異なる2つを任意に選んだときにそれらが独立であることとして、3つの事象\(A,B,C\)が独立であることの定義とするとどうなるでしょうか。つまり、\(A\)と\(B\)が独立であり、\(A\)と\(C\)が独立であり、\(B\)と\(C\)が独立であること、すなわち、\begin{eqnarray*}P\left( A\cap B\right) &=&P\left( A\right) \cdot P\left( B\right) \\
P\left( A\cap C\right) &=&P\left( A\right) \cdot P\left( C\right) \\
P\left( B\cap C\right) &=&P\left( B\right) \cdot P\left( C\right)
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つ状況を想定するということです。以上の条件が満たされる場合、3つの事象\(A,B,C\)はペア独立(pairwise independent)であると言います。ただ、ペア独立性は3個の事象の独立性の定義として不十分です。以下の例より明らかです。

例(3つの事象の独立性)
「歪みのないサイコロを2回振り出た目を記録する」という試行について考えます。1回目に出た目を\(x_{1}\)で、2回目に出た目を\(x_{2}\)でそれぞれ表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ \forall i\in 1,2:x_{i}\in
\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} \right\}
\end{equation*}となります。「1回目に\(3\)が出る」という事象\(A\)は、\begin{equation*}A=\left\{ \left( 3,1\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
3,4\right) ,\left( 3,5\right) ,\left( 3,6\right) \right\}
\end{equation*}であり、「2回目に\(4\)が出る」という事象\(B\)は、\begin{equation*}B=\left\{ \left( 1,4\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 3,4\right) ,\left(
4,4\right) ,\left( 5,4\right) ,\left( 6,4\right) \right\}
\end{equation*}であり、「2回の目の合計が\(7\)である」という事象\(C\)は、\begin{equation*}C=\left\{ \left( 1,6\right) ,\left( 2,5\right) ,\left( 3,4\right) ,\left(
4,3\right) ,\left( 5,2\right) ,\left( 6,1\right) \right\}
\end{equation*}となります。歪みのないサイコロを想定しているため、\begin{equation*}
P\left( A\right) =P\left( B\right) =P\left( C\right) =\frac{6}{36}=\frac{1}{6}
\end{equation*}となります。さて、\begin{equation*}
A\cap B=A\cap C=B\cap C=\left\{ \left( 3,4\right) \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\right) =P\left( A\cap C\right) =P\left( B\cap C\right) =\frac{1}{36}
\end{equation*}となります。したがって、以下の関係\begin{eqnarray*}
P\left( A\cap B\right) &=&P\left( A\right) \cdot P\left( B\right) \\
P\left( A\cap C\right) &=&P\left( A\right) \cdot P\left( C\right) \\
P\left( B\cap C\right) &=&P\left( B\right) \cdot P\left( C\right)
\end{eqnarray*}がいずれも成立しているため、事象\(A,B,C\)はペア独立であることが明らかになりました。ただ、積事象\(A\cap B\)と事象\(C\)に注目した場合、\(A\cap B\)が起きている場合には\(C\)が起きることが確定するため、\begin{equation*}P\left( C|A\cap B\right) =\frac{P\left( A\cap B\cap C\right) }{P\left( A\cap
B\right) }=1
\end{equation*}となり、したがって、\begin{equation*}
P\left( C\right) \not=P\left( C|A\cap B\right)
\end{equation*}を得ます。以上の事実は、事象\(C\)と事象\(A\cap B\)が独立ではないことを意味します。言い換えると、事象\(A\cap B\)が起きているかどうかが事象\(C\)の起こりやすさに影響を与えるということであり、このような状況において\(A,B,C\)が独立であると評価するのは困難です。したがって、ペア独立性は事象の独立性の定義として不十分です。

以上の例が示唆するように、3つの事象\(A,B,C\)が独立であることの定義としてペア独立性を採用した場合、すなわち、\begin{eqnarray*}P\left( A\cap B\right) &=&P\left( A\right) \cdot P\left( B\right) \\
P\left( A\cap C\right) &=&P\left( A\right) \cdot P\left( C\right) \\
P\left( B\cap C\right) &=&P\left( B\right) \cdot P\left( C\right)
\end{eqnarray*}を採用した場合、2つの事象から生成される積事象\(A\cap B\)が残りの事象\(C\)と従属であるような状況が起こる可能性を排除できません。このような可能性を排除するためには、\(A\cap B\)と\(C\)もまた独立であることを要求する必要があります。具体的には、\begin{equation*}P\left( \left( A\cap B\right) \cap C\right) =\left[ P\left( A\right) \cdot
P\left( B\right) \right] \cdot P\left( C\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\cap C\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right) \cdot
P\left( C\right)
\end{equation*}を条件に加える必要があるということです。

例(3つの事象の独立性)
「歪みのないサイコロを2回振り出た目を記録する」という試行について考えます。標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ \forall i\in 1,2:x_{i}\in
\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} \right\}
\end{equation*}です。以下の3つの事象\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ \left( 3,1\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
3,4\right) ,\left( 3,5\right) ,\left( 3,6\right) \right\} \\
B &=&\left\{ \left( 1,4\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 3,4\right) ,\left(
4,4\right) ,\left( 5,4\right) ,\left( 6,4\right) \right\} \\
C &=&\left\{ \left( 1,6\right) ,\left( 2,5\right) ,\left( 3,4\right) ,\left(
4,3\right) ,\left( 5,2\right) ,\left( 6,1\right) \right\}
\end{eqnarray*}に注目したとき、先に確認したように、\begin{eqnarray*}
P\left( A\cap B\right) &=&P\left( A\right) \cdot P\left( B\right) \\
P\left( A\cap C\right) &=&P\left( A\right) \cdot P\left( C\right) \\
P\left( B\cap C\right) &=&P\left( B\right) \cdot P\left( C\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。その一方で、\begin{equation*}
A\cap B\cap C=\left\{ \left( 3,4\right) \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\cap C\right) =\frac{1}{36}
\end{equation*}となります。その一方で、\begin{equation*}
P\left( A\right) \cdot P\left( B\right) \cdot P\left( C\right) =\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{216}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\cap C\right) \not=P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\cdot P\left( C\right)
\end{equation*}であり、新たな定義のもとでは\(A,B,C\)は独立とは判定されません。

以上の議論を踏まえた上で、確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、3つの事象\(A,B,C\in \mathcal{F}\)に対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left(
B\right) \\
&&\left( b\right) \ P\left( A\cap C\right) =P\left( A\right) \cdot P\left(
C\right) \\
&&\left( c\right) \ P\left( B\cap C\right) =P\left( B\right) \cdot P\left(
C\right) \\
&&\left( d\right) \ P\left( A\cap B\cap C\right) =P\left( A\right) \cdot
P\left( B\right) \cdot P\left( C\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合、事象\(A,B,C\)は独立である(independent)とか相互独立である(mutual independent)などと言います。一方、3つの事象\(A,B,C\in \mathcal{F}\)が独立ではない場合には、すなわち、以上の4つの条件の中の少なくとも1つが成り立たない場合には、事象\(A,B,C\)は従属である(dependent)と言います。

ちなみに、3つの事象\(A,B,C\)の独立性の定義として\(\left( d\right) \)だけを採用した場合、独立性の定義としては不十分です。つまり、\(\left( d\right) \)が成り立つ場合に\(\left(a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)は成り立つとは限らないということです。以下の例より明らかです。

例(3つの事象の独立性)
「歪みのないサイコロを1回振り出た目を記録する」という試行について考えます。問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}です。以下の3つの事象\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ 1,2,3,4\right\} \\
B &=&\left\{ 4,5,6\right\} \\
C &=&\left\{ 4,5,6\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。歪みのないサイコロを想定しているため、\begin{eqnarray*}
P\left( A\right) &=&\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \\
P\left( B\right) &=&P\left( C\right) =\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。さて、\begin{equation*}
A\cap B\cap C=\left\{ 4\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\cap C\right) =\frac{1}{6}
\end{equation*}となります。したがって、以下の関係\begin{equation*}
P\left( A\cap B\cap C\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right) \cdot
P\left( C\right)
\end{equation*}が成立しています。その一方で、事象\(B\)と事象\(C\)に注目したとき、これらは等しいため一方が起きている場合には他方も起きていることが確定するため、\begin{equation*}P\left( B|C\right) =\frac{P\left( B\cap C\right) }{P\left( C\right) }=1
\end{equation*}となり、したがって、\begin{equation*}
P\left( B\right) \not=P\left( B|C\right)
\end{equation*}を得ます。以上の事実は、事象\(B\)と事象\(C\)が独立ではないことを意味します。

以下は独立な3つの事象の例です。

例(独立な3つの事象)
「歪みのないコインを3回投げて出た面を記録する」という試行について考えます。\(i\ \left( =1,2,3\right) \)回目のコイン投げの結果を\(\omega _{i}\)で表記した上で、標本点を、\begin{equation*}\omega =\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right)
\end{equation*}で表現します。標本空間は、\begin{eqnarray*}
\Omega &=&\left\{ \text{表},\text{裏}\right\} ^{3} \\
&=&\left\{ \left( \text{表},\text{表},\text{表}\right)
,\cdots ,\left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right)
\right\}
\end{eqnarray*}です。以下の3つの事象\begin{eqnarray*}
A &=&1\text{回目に表が出る} \\
B &=&2\text{回目に表が出る} \\
C &=&3\text{回目に表が出る}
\end{eqnarray*}に注目します。歪みのないコインを想定しているため、\begin{equation*}
P\left( A\right) =P\left( A\right) =P\left( B\right) =\frac{4}{8}=\frac{1}{2}
\end{equation*}です。また、\begin{eqnarray*}
A\cap B &=&1\text{回目と}2\text{回目に表が出る} \\
B\cap C &=&2\text{回目と}3\text{回目に表が出る} \\
A\cap C &=&1\text{回目と}3\text{回目に表が出る}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\right) =P\left( B\cap C\right) =P\left( A\cap C\right) =\frac{2}{8}=\frac{1}{4}
\end{equation*}です。また、\begin{equation*}
A\cap B\cap C=\text{3回とも表が出る}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\cap C\right) =\frac{1}{8}
\end{equation*}です。すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left(
B\right) \\
&&\left( b\right) \ P\left( A\cap C\right) =P\left( A\right) \cdot P\left(
C\right) \\
&&\left( c\right) \ P\left( B\cap C\right) =P\left( B\right) \cdot P\left(
C\right) \\
&&\left( d\right) \ P\left( A\cap B\cap C\right) =P\left( A\right) \cdot
P\left( B\right) \cdot P\left( C\right)
\end{eqnarray*}がいずれも成立しているため、\(A,B,C\)は独立です。

 

有限個の事象の独立性(相互独立性)

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、3つの事象\(A_{1},A_{2},A_{3}\in \mathcal{F}\)が独立(相互独立)であることを、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ P\left( A_{1}\cap A_{2}\right) =P\left( A_{1}\right)
\cdot P\left( A_{2}\right) \\
&&\left( b\right) \ P\left( A_{1}\cap A_{3}\right) =P\left( A_{1}\right)
\cdot P\left( A_{3}\right) \\
&&\left( c\right) \ P\left( A_{2}\cap A_{3}\right) =P\left( A_{2}\right)
\cdot P\left( A_{3}\right) \\
&&\left( d\right) \ P\left( A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\right) =P\left(
A_{1}\right) \cdot P\left( A_{2}\right) \cdot P\left( A_{3}\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして定義しました。議論の一般化を見据えて以上の条件を一般的な形で表現すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ P\left( \bigcap_{i\in \left\{ 1,2\right\} }A_{i}\right)
=\prod_{i\in \left\{ 1,2\right\} }P\left( A_{i}\right) \\
&&\left( b\right) \ P\left( \bigcap_{i\in \left\{ 1,3\right\} }A_{i}\right)
=\prod_{i\in \left\{ 1,3\right\} }P\left( A_{i}\right) \\
&&\left( c\right) \ P\left( \bigcap_{i\in \left\{ 2,3\right\} }A_{i}\right)
=\prod_{i\in \left\{ 2,3\right\} }P\left( A_{i}\right) \\
&&\left( d\right) \ P\left( \bigcap_{i\in \left\{ 1,2,3\right\}
}A_{i}\right) =\prod_{i\in \left\{ 1,2,3\right\} }P\left( A_{i}\right)
\end{eqnarray*}となります。さらに、\begin{eqnarray*}
&&\left( e\right) \ P\left( A_{1}\right) =P\left( A_{1}\right) \\
&&\left( f\right) \ P\left( A_{2}\right) =P\left( A_{2}\right) \\
&&\left( g\right) \ P\left( A_{3}\right) =P\left( A_{3}\right)
\end{eqnarray*}は明らかに成り立ちますが、これらは、\begin{eqnarray*}
&&\left( e\right) \ \left( \bigcap_{i\in \left\{ 1\right\} }A_{i}\right)
=\prod_{i\in \left\{ 1\right\} }P\left( A_{i}\right) \\
&&\left( f\right) \ \left( \bigcap_{i\in \left\{ 2\right\} }A_{i}\right)
=\prod_{i\in \left\{ 2\right\} }P\left( A_{i}\right) \\
&&\left( g\right) \ \left( \bigcap_{i\in \left\{ 3\right\} }A_{i}\right)
=\prod_{i\in \left\{ 3\right\} }P\left( A_{i}\right)
\end{eqnarray*}と表現されます。したがって、\(\left( a\right) \)から\(\left( g\right) \)までの条件がすべて成り立つことを、\begin{equation*}\forall J\subset \left\{ 1,2,3\right\} :P\left( \bigcap_{i\in J}A_{i}\right)
=\prod_{i\in J}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}と表現できます。3つの事象\(A_{1},A_{2},A_{3}\)が独立であることを上のように簡潔に表現できるということです。

以上を踏まえた上で、有限かつ任意個の事象の独立性を定義します。具体的には、確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、有限\(n\)個の事象\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathcal{F}\)に対して以下の条件\begin{equation*}\forall J\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in
J}A_{i}\right) =\prod_{i\in J}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、事象\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)は独立である(independent)とか相互独立である(mutual independent)などと言います。同じことを、事象族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が独立であると言うこともできます。一方、事象\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)が独立ではない場合には、すなわち、先の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists J\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in
J}A_{i}\right) \not=\prod_{i\in J}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、事象\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)は従属である(dependent)と言います。同じことを、事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が従属であると言うこともできます。

例(有限個の事象の独立性)
3つの事象\(A_{1},A_{2},A_{3}\in \mathcal{F}\)が独立であるとともに、それぞれの確率が、\begin{eqnarray*}P\left( A_{1}\right) &=&\frac{3}{10} \\
P\left( A_{2}\right) &=&\frac{2}{5} \\
P\left( A_{3}\right) &=&\frac{4}{5}
\end{eqnarray*}であるものとします。\(A_{1},A_{2},A_{3}\)がすべて起こる確率は、\begin{eqnarray*}P\left( A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\right) &=&P\left( A_{1}\right) \cdot
P\left( A_{2}\right) \cdot P\left( A_{3}\right) \quad \because
A_{1},A_{2},A_{3}\text{は独立} \\
&=&\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{4}{5} \\
&=&\frac{12}{125}
\end{eqnarray*}となります。また、\(A_{1},A_{2}\)がともに起こる確率は、\begin{eqnarray*}P\left( A_{1}\cap A_{2}\right) &=&P\left( A_{1}\right) \cdot P\left(
A_{2}\right) \quad \because A_{1},A_{2},A_{3}\text{は独立}
\\
&=&\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{5} \\
&=&\frac{3}{25}
\end{eqnarray*}となります。

 

有限個の事象のペア独立性

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて有限\(n\)個の事象\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathcal{F}\)が与えられたとき、その中の任意の異なる2つが独立である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left[ i\not=j\Rightarrow
P\left( A_{i}\cap A_{j}\right) =P\left( A_{i}\right) \cdot P\left(
A_{j}\right) \right] \end{equation*}が成り立つ場合には、事象\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)はペア独立である(pairwise independent)と言います。

有限個の事象が独立(相互独立)である場合、それらの事象はペア独立です。

命題(相互独立な事象はペア独立)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて有限\(n\)個の事象\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathcal{F}\)が与えられているものとする。これらの事象\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)が独立(相互独立)であるならば、\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)はペア独立である。
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先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、有限個の事象がペア独立である場合、それらの事象は独立(相互独立)であるとは限りません。

例(ペア独立だが相互独立ではない事象)
「歪みのないサイコロを2回振り出た目を記録する」という試行について考えます。標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ \forall i\in 1,2:x_{i}\in
\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} \right\}
\end{equation*}です。以下の3つの事象\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ \left( 3,1\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
3,4\right) ,\left( 3,5\right) ,\left( 3,6\right) \right\} \\
B &=&\left\{ \left( 1,4\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 3,4\right) ,\left(
4,4\right) ,\left( 5,4\right) ,\left( 6,4\right) \right\} \\
C &=&\left\{ \left( 1,6\right) ,\left( 2,5\right) ,\left( 3,4\right) ,\left(
4,3\right) ,\left( 5,2\right) ,\left( 6,1\right) \right\}
\end{eqnarray*}に注目したとき、先に確認したように、\begin{eqnarray*}
P\left( A\cap B\right) &=&P\left( A\right) \cdot P\left( B\right) \\
P\left( A\cap C\right) &=&P\left( A\right) \cdot P\left( C\right) \\
P\left( B\cap C\right) &=&P\left( B\right) \cdot P\left( C\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、事象\(A,B,C\)はペア独立です。その一方で、やはり先に確認したように、\begin{equation*}P\left( A\cap B\cap C\right) \not=P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\cdot P\left( C\right)
\end{equation*}が成り立つため、事象\(A,B,C\)は独立(相互独立)ではありません。

 

独立な事象族の部分集合の独立性

以降において「独立」という場合、それは「ペア独立」ではなく「相互独立」を指すものと定めます。

有限個の独立な事象の中から有限個の事象を任意に選んだ場合、選ばれた事象どうしもまた独立になることが保証されます。

命題(独立な有限事象族の部分集合の独立性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとする。有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\subset \mathcal{F}\)が独立であるならば、その任意の部分集合もまた独立である。すなわち、\(I\subset \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)を任意に選んだとき、事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in I}\)は独立である。
証明

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例(独立な事象族の部分集合の独立性)
事象族\(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \subset \mathcal{F}\)が独立である場合、先の命題より、以下の事象族\begin{eqnarray*}&&\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} , \\
&&\left\{ A_{1},A_{2}\right\} ,\left\{ A_{1},A_{3}\right\} ,\left\{
A_{1},A_{3}\right\} , \\
&&\left\{ A_{1}\right\} ,\left\{ A_{2}\right\} ,\left\{ A_{3}\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも独立です。

 

独立な有限事象族と余事象

有限\(n\)個の事象を要素として持つ事象族\(\left\{A_{1},,\cdots ,A_{n}\right\} \)が独立であるものとします。この\(n\)個の事象の中から\(m\)個(\(m\leq n\))の事象を任意に選び、それらを\(A_{1},\cdots ,A_{m}\)で表記します。もとの事象族\(\left\{ A_{1},,\cdots,A_{n}\right\} \)において先に選んだ\(m\)個の事象を余事象\(A_{1}^{c},\cdots ,A_{m}^{c}\)におきかえれば新たな事象族\begin{equation*}\left\{ A_{1}^{c},\cdots ,A_{m}^{c},A_{m+1},\cdots ,A_{n}\right\}
\end{equation*}が得られますが、この事象族もまた独立になることが保証されます。

命題(独立な有限事象族と余事象)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\subset \mathcal{F}\)が独立であるものとする。\(n\)以下の自然数\(m\)を任意に選んだ上で、\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の中から\(m\)個の事象\(A_{1},\cdots ,A_{m}\)を任意に選び、その\(m\)個の事象を余事象\(A_{1}^{c},\cdots ,A_{m}^{c}\)に置き換える。こうして得られる事象族\begin{equation*}\left\{ A_{1}^{c},\cdots ,A_{m}^{c},A_{m+1},\cdots ,A_{n}\right\}
\end{equation*}は独立である。

証明

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例(独立な有限事象族と余事象)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、事象族\(\left\{A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \subset \mathcal{F}\)が独立であるものとします。すると先の命題より、以下の事象族\begin{eqnarray*}&&\left\{ A_{1}^{c},A_{2},A_{3}\right\} ,\left\{
A_{1},A_{2}^{c},A_{3}\right\} ,\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}^{c}\right\} , \\
&&\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},A_{3}\right\} ,\left\{
A_{1},A_{2}^{c},A_{3}^{c}\right\} ,\left\{ A_{1}^{c},A_{2},A_{3}^{c}\right\}
, \\
&&\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},A_{3}^{c}\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも独立です。

 

独立な有限事象族に関する積の法則

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとします。有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\subset \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1}\right) >0
\end{equation*}が成り立つならば、以下の関係\begin{equation*}
P\left( A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right) =P\left( A_{1}\right) \cdot
P\left( A_{2}|A_{1}\right) \cdot P\left( A_{3}|A_{1}\cap A_{2}\right) \cdots
P\left( A_{n}|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1}\right)
\end{equation*}が成立することを示し、これを積の法則と呼びました。一方、有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\}_{i=1}^{n}\)が独立である場合の積の法則は、\begin{equation*}P\left( A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right) =P\left( A_{1}\right) \times
\cdots \times P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}となります。

例(積の法則)
箱の中に赤いボールと青いボールが\(5\)個ずつ、合計\(10\)個のボールが入っています。「箱からボールを\(1\)個ずつ順番に、合計\(3\)回ランダムに取り出す」という試行について考えます。すべての標本点は同じ程度の確かさで起こるものと仮定します。以下の事象\begin{equation}1\text{回目に赤、}2\text{回目に青、}3\text{回目に赤が出る} \quad \cdots (1)
\end{equation}の確率について考えます。事象\(A,B,C\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &:&1\text{回目に赤が出る} \\
B &:&2\text{回目に青が出る} \\
C &:&3\text{回目に赤が出る}
\end{eqnarray*}と定義すると、事象\(\left( 1\right) \)は積事象\begin{equation*}A\cap B\cap C
\end{equation*}として表現されます。各回に取り出したボールを戻さずに次のボールを取り出す場合、\(A,B,C\)は明らかに独立ではないため、通常の積の法則\begin{equation*}P\left( A\cap B\cap C\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B|A\right)
\cdot P\left( C|A\cap B\right)
\end{equation*}を利用することになります。具体的には、\(P\left( A\right) \)は「\(1\)回目に赤が出る確率」であるため、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{5}{10}
\end{equation*}であり、\(P\left( B|A\right) \)は「\(1\)回目に赤が出たことが観察された場合に\(2\)回目に青が出る条件付き確率」であるため、\begin{equation*}P\left( B|A\right) =\frac{5}{9}
\end{equation*}であり、\(P\left( C|A\cap B\right) \)は「\(1\)回目に赤が、\(2\)回目に青が出たことが観察された場合に\(3\)回目に赤が出る条件付き確率」であるため、\begin{equation*}P\left( C|A\cap B\right) =\frac{4}{8}
\end{equation*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
P\left( A\cap B\cap C\right) &=&\frac{5}{10}\cdot \frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8} \\
&=&\frac{5}{36}
\end{eqnarray*}となります。一方、各回に取り出したボールを箱に戻してから次のボールを取り出す場合、\(A,B,C\)は独立であるため、独立な事象のもとでの積の法則\begin{equation*}P\left( A\cap B\cap C\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right) \cdot
P\left( c\right)
\end{equation*}を利用できます。具体的には、\(P\left( A\right) \)は「\(1\)回目に赤が出る確率」であるため、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{5}{10}
\end{equation*}であり、\(P\left( B\right) \)は「\(2\)回目に青が出る確率」であるため、\begin{equation*}P\left( B|A\right) =\frac{5}{10}
\end{equation*}であり、\(P\left( C\right) \)は「\(3\)回目に赤が出る確率」であるため、\begin{equation*}P\left( C\right) =\frac{5}{10}
\end{equation*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
P\left( A\cap B\cap C\right) &=&\frac{5}{10}\cdot \frac{5}{10}\cdot \frac{5}{10} \\
&=&\frac{1}{8}
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(4つの事象の独立性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、4つの事象\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathcal{F}\)が独立であることとは、\begin{equation*}\forall J\subset \left\{ 1,2,3,4\right\} :P\left( \bigcap_{i\in
J}A_{i}\right) =\prod_{i\in J}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、ここで要求されている条件をすべて具体的に記述してください。

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問題(独立な事象)
歪みのない六面体のサイコロを2回投げて出た目を記録します。事象\(A,B,C\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &:&1\text{回目に奇数の目が出る} \\
B &:&2\text{回目に奇数の目が出る} \\
B &:&1\text{回目の目と}2\text{回目の目の合計が奇数}
\end{eqnarray*}と定義します。\(A,B,C\)はペア独立、相互独立のいずれかでしょうか。議論してください。
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問題(有限事象族の独立性)
4枚のカードがあり、それぞれに以下の文字が書かれています。\begin{eqnarray*}
&&ABA \\
&&AAA \\
&&BBB \\
&&BAB
\end{eqnarray*}以上の4枚のカードの中から1枚を選びます。ただし、それぞれのカードは等しい確率で選ばれるものとします。このとき、以下の3つの事象\begin{eqnarray*}
A_{1} &:&\text{選ばれたカードに記されている最初の文字が}A\text{である} \\
A_{2} &:&\text{選ばれたカードに記されている2番目の文字が}A\text{である} \\
A_{3} &:&\text{選ばれたカードに記されている3番目の文字が}A\text{である}
\end{eqnarray*}はペア独立、相互独立のいずれかでしょうか。議論してください。

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問題(有限事象族の独立性)
3つの事象\(A_{1},A_{2},A_{3}\)が独立であるとともに、それぞれの確率が、\begin{eqnarray*}P\left( A_{1}\right) &=&\frac{3}{10} \\
P\left( A_{2}\right) &=&\frac{2}{5} \\
P\left( A_{3}\right) &=&\frac{4}{5}
\end{eqnarray*}であるものとします。以下の確率を求めてください。

  1. 3つの事象がすべて起こる確率
  2. 3つの事象が1つも起こらない確率
  3. 3つの事象のうちの少なくとも1つが起こる確率
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