確認テスト II（確率）

\(n\in \mathbb{N} \)とします。その上で、合計\(n\)回戦のトーナメントを行い、全出場者\(2^{n}\)人の中から優勝者を決定します。すべての対戦において引き分けは起こらないものとします。\(1\)回戦目の対戦相手は決定しているものとします。以降はトーナメント表にしたがい対戦が行われるものとします（対戦相手のシャッフルは行われない）。「すべての試合結果を観察して記録する」という試行の標本空間\(\Omega \)を定式化した上で、\(\Omega \)に含まれる標本点の個数を明らかにしてください。

5枚のコインがあります。2枚は両面とも表であり、1枚は両面とも裏であり、残りの2枚は通常のコインです。以下の問いに答えてください（各8点）。

1. 目を閉じて1枚のコインを選び投げます。落ちたコインの下面が表である確率を求めてください。
2. 1投目の後に目を開けて確認したところ、落ちているコインの上面が表であることが判明しました。そのコインの下面もまた表である確率を求めてください。
3. 目を閉じてから1投目に投げたコインを拾い再び投げます。落ちたコインの下面が表である確率を求めてください。
4. 2投目の後に目を開けて確認したところ、落ちているコインの上面が表であることが判明しました。そのコインの下面もまた表である確率を求めてください。
5. これまで使ったコインを取り除き、目を閉じて残された4枚のコインの中から1枚を選び投げます。落ちたコインの上面が表である確率を求めてください。

\(n\in \mathbb{N} \)かつ\(r\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)であるものとします。\(n\)個の箱があり、それぞれの箱には\(r-1\)個の黒いボールと\(n-r\)個の白いボールが入っています。1つの箱をランダムに選んだ上で、その箱からランダムにボールを2回とり出します。ただし、1回目にとり出したボールは箱の中に戻しません。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 2個目が白である確率を求めてください。
2. 1個目が白であるという条件のもとで2個目も白である確率を求めてください。

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)が与えられているものとします。事象\(B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだ上で、以下の集合族\begin{equation*}\mathcal{A}=\left\{ A\cap B\ |\ A\in \mathcal{F}\right\}
\end{equation*}を定義すると、\(\left( B,\mathcal{A}\right) \)もまた可測空間になることを証明してください。