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対称差事象の確率

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対称差事象は可測

標本空間が有限集合ないし可算集合である場合の確率空間\(\left(\Omega ,2^{\Omega },P\right) \)に関しては、事象\(A,B\in 2^{\Omega }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( A\Delta B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -2P\left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立つことを確認しました。つまり、対称差事象の確率は、それぞれの事象の確率の和から、積事象の確率の2倍を引くことにより得られます。では、一般の確率空間、すなわち測度空間としての公理を満たす確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)についても同様の命題が成り立つのでしょうか。

以上の疑問に答える前に、対称差事象が可測であることを確認しておく必要があります。

命題(対称差事象は可測)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}A\Delta B\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つ。つまり、\(\mathcal{F}\)は対称差について閉じている。
証明

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対称差事象の確率

先に示した命題より、確率関数\(P\)は対称差\(A\Delta B\)に対してもその確率\(P\left( A\Delta B\right) \)を与えますが、\begin{equation*}P\left( A\Delta B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -2P\left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立つことが導かれます。

命題(対称差事象の確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}P\left( A\Delta B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -2P\left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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次回は確率関数の連続性について解説します。

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DISCUSSION

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