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和事象の確率

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和事象は可測

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、排反な可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)を任意に任意に選びます。確率空間\(\mathcal{F}\)は\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、可算個の事象の和事象は可測であるということです。加えて、確率関数\(P\)は\(\sigma \)-加法性を満たすため、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。では、排反な有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の和事象についても同様の命題が成り立つのでしょうか。また、排反とは限らない事象族の和事象の確率について、何らかの命題を導くことができるのでしょうか。

以上の疑問に答える前に、有限個の事象の和事象が可測であることを確認しておく必要があります。

命題(有限個の事象の和事象は可測)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つ。つまり、\(\mathcal{F}\)は有限合併について閉じている。
証明

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上の命題において\(n=2\)とおくことにより、確率空間\(\mathcal{F}\)が和集合について閉じていることが示されます。

命題(和事象は可測)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}A\cup B\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つ。つまり、\(\mathcal{F}\)は和集合について閉じている。

以上より、2つの事象の和事象、有限個の事象の和事象、可算個の事象の和事象はいずれも可測であることが明らかになりました。つまり、これらの和事象に対して確率関数が確率を付与することが保証されます。

 

確率関数の加法性

事象空間\(\mathcal{F}\)は有限合併について閉じているため、排反な有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、確率関数\(P\)は上の和事象に対して確率を定めますが、それに関しては、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。有限個の排反事象が任意に与えられたとき、それらの和事象の確率は個々の事象の確率の総和と一致するということです。以上の性質を有限加法性(finite additivity)と呼びます。

命題(有限加法性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、排反な有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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上の命題において\(n=2\)とおくことにより、2つの排反事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、2つの排反事象が任意に与えられたとき、それらの和事象の確率は個々の事象の確率の総和と一致するということです。以上の性質を加法性(additivity)と呼びます。

命題(加法性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、排反な事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

以上より、2つの排反事象の和事象に関しては加法性が、有限個の排反事象の和事象に関しては有限加法性が、可算個の排反事象の和事象に関しては\(\sigma \)-加法性がそれぞれ成り立つことが明らかになりました。

 

確率関数の単調性

\(A\subset B\)を満たす事象\(A,B\in2^{\Omega }\)を任意に選びます。つまり、\(A\)は\(B\)の部分事象であるということです。この場合、\begin{equation*}P\left( A\right) \leq P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つことが有限加法性より導かれます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分事象である場合、\(A\)の確率は\(B\)の確率以下となります。以上の性質を単調性(monotonicity)と呼びます。

命題(単調性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow P\left( A\right) \leq P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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加法定理

確率関数の加法性は排反事象どうしの和事象の確率に関わる性質ですが、排反であるとは限らない事象どうしの和事象の確率に関してどのようなことが言えるでしょうか。

繰り返しになりますが、排反な事象\(A,B\in \mathcal{F}\)に関しては、確率関数\(P\)の加法性より、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。一方、\(A\)と\(B\)が排反であるとは限らない場合には、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap
B\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが示されます。つまり、排反であるとは限らない2つの事象の和事象の確率は、個々の事象の確率の和から積事象の確率を引くことにより得られます。これを加法定理(addition theorem)と呼びます。

1点だけ注意が必要です。先に示したように、事象空間\(\mathcal{F}\)は和集合について閉じているため、加法定理の左辺\(P\left( A\cup B\right) \)は必ず1つの実数として定まります。一方、\(\mathcal{F}\)が共通部分について閉じていることをまだ確認していないため、加法定理の右辺にある\(P\left( A\cap B\right) \)が1つの実数として定まることは現時点において明らかではありません。ただ、後ほど示すように、\(\mathcal{F}\)は共通部分について閉じているため、実際には問題は発生しません。

命題(加法定理)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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加法定理は3個以上の事象の和事象に関しても拡張可能です。証明では事象の個数\(n\)に関する数学的帰納法を利用します。

命題(加法定理の拡張)

確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、有限事象族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選ぶと、\begin{align*}P\left( \bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}\right) & =\sum_{i=1}^{n}P(A_{i}) \\
& -\sum_{1\leq i<j\leq n}P(A_{i}\cap A_{j}) \\
& +\sum_{1\leq i<j<k\leq n}P(A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}) \\
& -\cdots \\
& +(-1)^{n+1}\cdot P(A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n})
\end{align*}が成り立つ。

このままでは分かりづらいため、\(n\)に具体的な数を入れてみましょう。

例(加法定理)
3個の事象\(A_{1},A_{2},A_{3}\)を任意に選ぶと、上の命題より、\begin{eqnarray*}P\left( A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\right) &=&P\left( A_{1}\right) +P\left(
A_{2}\right) +P\left( A_{3}\right) \\
&&-P\left( A_{1}\cap A_{2}\right) -P\left( A_{1}\cap A_{3}\right) -P\left(
A_{2}\cap A_{3}\right) \\
&&+P\left( A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\right)
\end{eqnarray*}を得ます。
例(加法定理)
4個の事象\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\)を任意に選ぶと、上の命題より、\begin{eqnarray*}&&P\left( A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\right) \\
&=&P\left( A_{1}\right) +P\left( A_{2}\right) +P\left( A_{3}\right) +P\left(
A_{4}\right) \\
&&-P\left( A_{1}\cap A_{2}\right) -P\left( A_{1}\cap A_{3}\right) -P\left(
A_{1}\cap A_{4}\right) -P\left( A_{2}\cap A_{3}\right) -P\left( A_{2}\cap
A_{4}\right) -P\left( A_{3}\cap A_{4}\right) \\
&&+P\left( A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\right) +P\left( A_{1}\cap A_{2}\cap
A_{4}\right) +P\left( A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\right) \\
&&-P\left( A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\right)
\end{eqnarray*}を得ます。

つまり、有限\(n\)個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\)の和事象の確率を求めるためには、まず、\(n\)個の事象の確率を足し、次に、\(n\)個の事象から\(2\)個を選んでできる積事象(このような積事象は\(\binom{n}{2}\)個存在する)の確率の総和を引き、次に、\(n\)個の事象の中から\(3\)個を選んでできる積事象(このような積事象は\(\binom{n}{3}\)個存在する)の確率の総和を足し、次に、\(n\)個の事象の中から\(4\)個を選んでできる積事象(このような積事象は\(\binom{n}{4}\)個存在する)の確率の総和を引き、\(\cdots \)という作業を続け、最終的に、\(n\)が奇数ならば\(n\)個の事象の積事象の確率を足し、\(n\)が偶数ならば\(n\)個の事象の積事象の確率を引けばよいということです。

互いに排反であるとは限らない有限個の事象の和事象を求める方法が以上で明らかになりましたが、可算個の事象の和事象に関しても加法定理は成り立つのでしょうか。互いに排反であるとは限らない可算個の事象の和事象に関しては劣加法性と呼ばれる性質が成り立ちます。

 

劣加法性

排反であるとは限らない事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、加法定理より、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これと確率関数\(P\)の非負性より、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) \leq P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}が導かれます。つまり、排反であるとは限らない2つの事象の和事象の確率は、個々の事象の確率の和以下になります。これを劣加法性(subadditivity)と呼びます。

命題(劣加法性)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) \leq P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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劣加法性は有限集合族に関しても拡張可能です。つまり、有限事象列\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{m}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{i=1}^{m}A_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{m}P\left(
A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。これを有限劣加法性(finite subadditivity)と呼びます。逆に、有限劣加法性において\(m=2\)とすれば劣加法性が導かれるため、有限劣加法性と劣加法性は必要十分です。

命題(有限劣加法性)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、確率関数\(P\)が有限劣加法性を満たすことは、劣加法性を満たすための必要十分条件である。
証明

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劣加法性は可算集合族に関しても拡張可能です。つまり、可算事象列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) \leq \sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。これを\(\sigma \)-劣加法性(\(\sigma \)-劣加法性)と呼びます。

命題((protectsigma )-劣加法性)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、可算事象列\(\left\{A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) \leq \sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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次回は余事象の確率について解説します。

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