和事象の確率

和事象は可測

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとします。つまり、事象族\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)は可測空間の公理\begin{eqnarray*} &&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は確率論の公理\begin{eqnarray*} &&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ P\left( \Omega \right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall \text{排反な}\left\{
A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、排反な可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)を任意に選びます。\(\left( M_{3}\right) \)は排反であるとは限らない任意の可算事象族を対象とした命題であるため、排反な可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)に対しても、\begin{equation*} \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、可算個の排反な事象の和事象は可測であるということです。したがって、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は排反な可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の和事象\(\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\)に対してもその確率\(P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) \)を定めますが、\(\left( P_{3}\right) \)より、その値は、\begin{equation*} P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}を満たします。可算個の排反な事象の和事象の確率は、個々の事象の確率の総和と一致するということです。

では、排反な有限事象族の和事象についても同様の命題が成り立つのでしょうか。また、排反であるとは限らない事象族の和事象の確率についても、何らかの命題を導くことができるのでしょうか。

以上の疑問に答える前に、有限個の事象の和事象が可測であることを確認します。

上の命題において\(n=2\)とおくことにより、事象族\(\mathcal{F}\)が和集合について閉じていることが示されます。

以上より、2つの事象の和事象、有限個の事象の和事象、可算個の事象の和事象はいずれも可測であることが明らかになりました。つまり、これらの和事象に対して確率測度\(P\)が確率を付与することが保証されます。
 

確率測度の加法性

事象空間\(\mathcal{F}\)は有限合併について閉じていることが確認できたため、排反な有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\subset \mathcal{F}\)についても、\begin{equation*} \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はその確率\(P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) \)を定めますが、これに関しては、\begin{equation*} P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。有限個の排反な事象の和事象の確率は、個々の事象の確率の和と一致するということです。確率測度\(P\)が満たす以上の性質を有限加法性（finite additivity）と呼びます。

先の命題において\(n=2\)とおくことにより、2つの排反事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*} P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、2つの排反事象が任意に与えられたとき、それらの和事象の確率は個々の事象の確率の和と一致するということです。確率測度\(P\)が満たす以上の性質を加法性（additivity）と呼びます。

以上より、2つの排反事象の和事象に関しては加法性が、有限個の排反事象の和事象に関しては有限加法性が、可算個の排反事象の和事象に関しては\(\sigma \)-加法性がそれぞれ成り立つことが明らかになりました。
 

確率測度の単調性

\(A\subset B\)を満たす事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選びます。つまり、\(A\)は\(B\)の部分事象であるということです。この場合、\begin{equation*} P\left( A\right) \leq P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分事象である場合、\(A\)の確率は\(B\)の確率以下になることが保証されます。確率測度\(P\)が満たす以上単調性（monotonicity）と呼びます。

確率測度に関する加法定理

確率測度\(P\)の加法性は排反事象どうしの和事象の確率に関わる性質ですが、排反であるとは限らない事象どうしの和事象の確率に関して何らかの命題が成り立つでしょうか。
排反な事象\(A,B\in \mathcal{F}\)に関しては、確率測度\(P\)の加法性より、\begin{equation*} P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。一方、\(A\)と\(B\)が排反であるとは限らない場合には、以下の関係\begin{equation*} P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、排反であるとは限らない2つの事象の和事象の確率は、個々の事象の確率の和から積事象の確率を引くことにより得られます。これを確率測度\(P\)に関する加法定理（addition theorem）と呼びます。
1点だけ注意が必要です。先に示したように、事象空間\(\mathcal{F}\)は和集合について閉じているため、加法定理の左辺\(P\left( A\cup B\right) \)は必ず1つの実数として定まります。一方、\(\mathcal{F}\)が共通部分について閉じていることをまだ確認していないため、加法定理の右辺にある\(P\left( A\cap B\right) \)が1つの実数として定まることは現時点において明らかではありません。ただ、後ほど示すように、事象空間\(\mathcal{F}\)は共通部分について閉じているため、実際には問題は発生しません。

加法定理は3個以上の事象の和事象に関しても拡張可能です。証明では事象の個数\(n\)に関する数学的帰納法を利用します。

このままでは分かりづらいため、\(n\)に具体的な数を入れてみます。

つまり、有限\(n\)個の事象\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の和事象の確率を求めるためには、まず、\(n\)個の事象の確率を足し、次に、\(n\)個の事象から\(2\)個を選んでできる積事象（このような積事象は\(\binom{n}{2}\)個存在する）の確率の総和を引き、次に、\(n\)個の事象の中から\(3\)個を選んでできる積事象（このような積事象は\(\binom{n}{3}\)個存在する）の確率の総和を足し、次に、\(n\)個の事象の中から\(4\)個を選んでできる積事象（このような積事象は\(\binom{n}{4}\)個存在する）の確率の総和を引き、\(\cdots \)という作業を続け、最終的に、\(n\)が奇数ならば\(n\)個の事象の積事象の確率を足し、\(n\)が偶数ならば\(n\)個の事象の積事象の確率を引きます。
互いに排反であるとは限らない有限個の事象の和事象を求める方法が以上で明らかになりましたが、可算個の事象の和事象に関しても加法定理は成り立つのでしょうか。互いに排反であるとは限らない可算個の事象の和事象に関しては劣加法性と呼ばれる性質が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

確率測度の劣加法性（ブールの不等式）

排反であるとは限らない事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、加法定理より、\begin{equation*} P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これと確率測度\(P\)の非負性より、\begin{equation*} P\left( A\cup B\right) \leq P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}が導かれます。つまり、排反であるとは限らない2つの事象の和事象の確率は、個々の事象の確率の和以下になります。これを確率測度\(P\)の劣加法性（subadditivity）やブールの不等式（Boole’s inequality）などと呼びます。

劣加法性は有限集合族に関しても拡張可能です。つまり、有限事象列\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{m}\subset \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*} P\left( \bigcup_{i=1}^{m}A_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{m}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。これを確率測度\(P\)の有限劣加法性（finite subadditivity）と呼びます。

劣加法性は可算集合族に関しても拡張可能です。つまり、可算事象列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*} P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) \leq \sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。これを確率測度\(P\)の\(\sigma \)-劣加法性（\(\sigma \)-劣加法性）と呼びます。

和事象に関するボンフェローニの不等式

加法定理の一部の項だけを用いることで、和事象の確率の下限を評価できます。以下をボンフェローニの不等式（Bonferroni’s inequality）と呼びます。

このままでは分かりづらいため、\(m\)に具体的な数を入れてみます。

確率測度の劣加法性は事象族の和集合の確率の上界を与える一方で、ボンフェローニの不等式は事象族の和集合の確率の下界を与えます。したがって、両者を用いることにより、事象族の和集合の確率がとり得る値の範囲を特定できます。

演習問題