劣加法性

互いに排反とは限らない事象どうしの和事象の確率は、個々の事象の確率の和以下になります。これは有限個の事象だけでなく、可算個の事象に関しても成り立ちます。確率関数が満たすこの性質を劣加法性と呼びます。

有限劣加法性

確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)が与えられたとき、排反とは限らない事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を選ぶと、加法定理より、\begin{equation*}
P(A\cup B)=P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。確率論の公理より\(P\left( A\cap B\right) \geq 0\)であるため、このとき、\begin{equation*}
P(A\cup B)\leq P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}という不等式が成立します。これを劣加法性(subadditivity)と呼びます。

加法定理について復習する
命題(劣加法性)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
P(A\cup B)\leq P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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つまり、互いに排反であるとは限らない事象\(A,B\)の和事象\(A\cup B\)の確率は、\(A\)の確率と\(B\)の確率の和以下になります。特に、\(A\)と\(B\)が排反である場合には、\(P\)の有限加法性より、\begin{equation*}
P(A\cup B)=P\left( A\right) +P\left( B\right)
\end{equation*}となり、劣加法性の式は等号で成立します。

劣加法性は 3 個以上の事象の和事象に関しても拡張可能です。これを有限劣加法性(finite subadditivity)と呼びます。証明では\(n\)に関する数学的帰納法を使ってもいいですし、一般化された加法定理を使うこともできます。

命題(有限劣加法性)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、有限個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{n}P\left(
A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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つまり、互いに排反であるとは限らない有限個の事象の和事象の確率は、個々の事象の確率の和以下になります。特に、\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\)が互いに排反である場合には、\(P\)の有限加法性より、\begin{equation*}
P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}となり、有限列加法性の式は等号で成立します。

 

\(\sigma \)-劣加法性

劣加法性は可算個の事象についても成り立ちます。これを\(\sigma \)-劣加法性(\(\sigma \)-subadditivity)と呼びます。

命題(σ-劣加法性)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、可算個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots \in \mathcal{F}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
P\left( \bigcup_{i=1}^{\infty }A_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{\infty }P\left(
A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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つまり、互いに排反であるとは限らない可算個の事象の和事象の確率は、個々の事象の確率の和以下になります。特に、\(A_{1},A_{2},\cdots \)が互いに排反である場合には、\(P\)の\(\sigma \)-加法性より、\begin{equation*}
P\left( \bigcup_{i=1}^{\infty }A_{i}\right) =\sum_{i=1}^{\infty }P\left(
A_{i}\right)
\end{equation*}となり、\(\sigma \)-劣加法性の式は等号で成立します。

次回は積事象の確率に関するボンフェローニの不等式と呼ばれる命題について解説します。

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