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PROBABILITY DISTRIBUTION

ベルヌーイ分布

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ベルヌーイ分布

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に対して確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が定義されており、その値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であるものとします。つまり、\(X\)は\(0\)か\(1\)の2つの値のみをとり得る離散型の確率変数です。さらに、\(X\)の確率分布を描写する確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}0\leq p\leq 1
\end{equation*}を満たす定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
p & \left( if\ x=1\right) \\
1-p & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( if\ otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と記述されるものとします。つまり、\(X\)が\(1\)を値としてとる確率が\(p\)であり、\(X\)が\(0\)を値としてとる確率が\(1-p\)であるということです。以上の条件が満たされる場合、確率変数\(X\)はパラメーター\(p\)のベルヌーイ分布(Bernoulli distribution with parameter \(p\))にしたがうといい、このことを、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,p\right)
\end{equation*}と表記します。

例(ベルヌーイ分布)
「1枚のコインを投げて出た面を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}です。それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega =\text{表}\right) \\
0 & \left( if\ \omega =\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める確率関数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。つまり、\(X\)は表が出る回数に相当します。仮にコインの表と裏が等確率で出るのであれば、\(X\)の確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ x=1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( if\ otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。この確率変数\(X\)はパラメータ\(\frac{1}{2}\)のベルヌーイ分布にしたがいます。
例(ベルヌーイ分布)
「産まれた子供の性別を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{男},\text{女}\right\}
\end{equation*}です。それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega =\text{男}\right) \\
0 & \left( if\ \omega =\text{女}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める確率関数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。つまり、\(X\)は男の子の人数に相当します。仮に男の子が確率\(p\)で産まれるのであれば、\(X\)の確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
p & \left( if\ x=1\right) \\
1-p & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( if\ otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。この確率変数\(X\)はパラメータ\(p\)のベルヌーイ分布にしたがいます。
例(ベルヌーイ分布)
「試験の結果を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{合格},\text{不合格}\right\}
\end{equation*}です。それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega =\text{合格}\right) \\
0 & \left( if\ \omega =\text{不合格}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める確率関数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。つまり、\(X\)は合格の回数に相当します。仮に確率\(p\)で合格するのであれば、\(X\)の確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
p & \left( if\ x=1\right) \\
1-p & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( if\ otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。この確率変数\(X\)はパラメータ\(p\)のベルヌーイ分布にしたがいます。
例(ベルヌーイ分布)
「\(1\)から\(10\)までの整数の中から1つの整数をランダムに選ぶ」という試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\right\}
\end{equation*}です。それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega \text{が偶数}\right) \\
0 & \left( if\ \omega \text{が奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める確率関数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。すべての整数が等しい確率で出るのであれば、\(X\)の確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ x=1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( if\ otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。この確率変数\(X\)はパラメータ\(\frac{1}{2}\)のベルヌーイ分布にしたがいます。

 

ベルヌーイ分布の分布関数

ベルヌーイ分布にしたがう確率変数の分布関数は以下の通りです。

命題(ベルヌーイ分布の分布関数)
確率変数\(X\)がパラメータ\(p\)のベルヌーイ分布にしたがう場合、\(X\)の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。

証明

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例(ベルヌーイ分布の分布関数)
確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{2}\)のベルヌーイ分布にしたがう場合、\(X\)の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

 

ベルヌーイ分布の期待値

ベルヌーイ分布にしたがう確率変数の期待値は以下の通りです。

命題(ベルヌーイ分布の期待値)
確率変数\(X\)がパラメータ\(p\)のベルヌーイ分布にしたがう場合、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =p
\end{equation*}となる。

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例(ベルヌーイ分布の期待値)
確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{2}\)のベルヌーイ分布にしたがう場合、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}となります。

 

ベルヌーイ分布の分散

ベルヌーイ分布にしたがう確率変数の分散は以下の通りです。

命題(ベルヌーイ分布の分散)
確率変数\(X\)がパラメータ\(p\)のベルヌーイ分布にしたがう場合、\(X\)の分散は、\begin{equation*}V\left( X\right) =p\left( 1-p\right)
\end{equation*}となる。

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例(ベルヌーイ分布の分散)
確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{2}\)のベルヌーイ分布にしたがう場合、\(X\)の分散は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{4}
\end{equation*}となります。

 

演習問題

問題(ベルヌーイ分布)
「半径\(r>0\)の円によって囲まれる領域上の1点をランダムに選ぶ」という試行の標本空間を、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \omega \ |\ \omega \text{は円上の点}\right\}
\end{equation*}とおきます。さらに、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega \text{と円の中心の距離}\leq \omega \text{と円周の最短距離}\right) \\
0 & \left( if\ \omega \text{と円の中心の距離}>\omega \text{と円周の最短距離}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この確率関数\(X\)の確率関数、期待値、分散をそれぞれ求めてください。
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問題(ベルヌーイ分布の確率関数)
確率変数\(X\)がパラメータ\(p\)のベルヌーイ分布にしたがう場合、\(X\)の確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が確率関数としての公理を満たすことを確認してください。
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問題(ベルヌーイ分布の分布関数)
確率変数\(X\)がパラメータ\(p\)のベルヌーイ分布にしたがう場合、\(X\)の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が分布関数としての公理を満たすことを確認してください。
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DISCUSSION

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