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PROBABILITY DISTRIBUTION

連続型の確率変数

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連続型の確率変数

試行において起こり得る標本点は数値であるとは限りませんが、確率に関して定量的な分析を行うためには、それぞれの標本点を数値として表現できれば何かと便利です。そこで、確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、それぞれの標本点\(\omega \in\Omega \)に対して実数\(X\left( \omega\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定める写像\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を導入し、これを確率変数(random variable)と呼びました。特に、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値がとり得る範囲、すなわち\(X\)の値域\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{equation*}が区間であったり、もしくは互いに素な区間の和集合である場合には、\(X\)を連続型の確率変数(continuous random variable)と呼びます。ただし、ここでの区間とは、有界区間と無限区間のどちらでも構わないものとします。

例(連続型の確率変数)
「ある電球の寿命を測定する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =[0,+\infty )
\end{equation*}となります。それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、電球の寿命が切れた時点\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を値として定める確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、例えば、\begin{eqnarray*}X\left( 0\right) &=&0 \\
X\left( 10\right) &=&10 \\
X\left( 111\right) &=&111
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。この確率変数\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =[0,+\infty )
\end{equation*}という無限閉区間であるため、\(X\)は連続型の確率変数です。
例(連続型の確率変数)
「2匹のマウスの寿命を測定する」という試行について考えます。ただし、2匹のマウスは区別可能です。マウス\(1\)の寿命を\(x_{1}\)で、マウス\(2\)の寿命を\(x_{2}\)でそれぞれ表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x_{1}\wedge 0\leq x_{2}\right\}
\end{equation*}となります。それぞれの標本点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in\Omega \)に対して、2匹のマウスの寿命の平均\begin{equation*}X\left( x_{1},x_{2}\right) =\frac{x_{1}+x_{2}}{2}
\end{equation*}を値として定める確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、その値域は、\begin{eqnarray*}X\left( \Omega \right) &=&\left\{ \frac{x_{1}+x_{2}}{2}\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x_{1}\wedge 0\leq x_{2}\right\} \\
&=&[0,+\infty )
\end{eqnarray*}という無限閉区間であるため、\(X\)は連続型の確率変数です。

 

演習問題

問題(連続型の確率変数)
「ある町の1年間の降雨量を計測する」という試行において、降雨量を与える確率変数を定式化してください。また、その値域を明らかにして下さい。

証明

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問題(連続型の確率変数)
「5人をランダムに選んで身長を計測する」という試行において、5人の身長の平均を与える確率変数を定式化してください。また、その値域を明らかにしてください。

解答を見る

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次回は確率密度関数について解説します。

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