離散型確率ベクトルの同時確率分布
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値が集合\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に属する確率を、\begin{equation*}P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times
A_{n}\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{1}\left( \omega
\right) \in A_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\left( \omega \right) \in
A_{n}\right\} \right)
\end{equation*}と定義しました。特に、確率ベクトル\(\left(X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値がベクトル\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)と一致する確率は、\begin{equation*}P\left( X_{1}=x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}=x_{n}\right) =P\left( \left\{
\omega \in \Omega \ |\ X_{1}\left( \omega \right) =x_{1}\wedge \cdots \wedge
X_{n}\left( \omega \right) =x_{n}\right\} \right)
\end{equation*}です。以上を踏まえた上で、それぞれのベクトル\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =P\left(
X_{1}=x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}=x_{n}\right)
\end{equation*}を定める同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義し、さらに、集合\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times
A_{n}\right) =\sum_{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots
\times A_{n}}f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを示しました。
それぞれの集合\(A_{1}\times \cdots\times A_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に対して確率\(P\left( \left(X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times A_{n}\right) \)が明らかになっている場合、そのような情報の集まりを確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時確率分布と呼びます。離散型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)に対して同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)が与えられれば、任意の集合\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に対して確率\(P\left( \left(X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times A_{n}\right) \left(
1\right) \)を特定できるため、同時確率質量関数は離散型の確率ベクトルの同時確率分布を表現する手段の1つであると言えます。ただ、離散型の確率ベクトルの同時確率分布は、同時確率質量関数とは異なる概念を用いて表現することもできます。順番に解説します。
離散型確率ベクトルの同時分布関数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)が特定の点\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)以下の値をとる確率、すなわち任意の\(i\ \left(=1,\cdots ,n\right) \)について\(X_{i}\)の値が\(x_{i}\)以下である確率を、\begin{equation*}P\left( X_{1}\leq x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\leq x_{n}\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、ここでの「以下」とはユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における標準的順序を踏まえた表現です。上の確率をどのように評価すればよいでしょうか。
確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)はそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対してベクトル\(\left( X_{1}\left( \omega \right) ,\cdots,X_{n}\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{n}\)を1つずつ定めるため、「確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値が\(\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)以下である」という事象は、任意の\(i\)について\(X_{i}\leq x_{i}\)を満たす標本点\(\omega \)からなる集合\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{1}\left( \omega \right) \leq x_{1}\wedge
\cdots \wedge X_{n}\left( \omega \right) \leq x_{n}\right\}
\end{equation*}として表現されます。したがって、「確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値が\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)以下である」という事象が起こる確率は、\begin{equation*}P\left( X_{1}\leq x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\leq x_{n}\right) =P\left(
\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{1}\left( \omega \right) \leq x_{1}\wedge
\cdots \wedge X_{n}\left( \omega \right) \leq x_{n}\right\} \right)
\end{equation*}となります。以上を踏まえた上で、それぞれの点\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、離散型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)が\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)以下の値をとる確率\begin{equation*}F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =P\left( X_{1}\leq
x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\leq x_{n}\right)
\end{equation*}を定める多変数関数\begin{equation*}
F_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを\(\left(X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時分布関数（joint distribution function）や同時累積分布関数（joint cumulative distribution function）などと呼びます。
離散型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられている場合には、点\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =\sum_{y_{1}\leq
x_{1}}\cdots \sum_{y_{n}\leq x_{n}}f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( y_{1},\cdots
,y_{n}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。任意の\(i\)について\(y_{i}\leq x_{i}\)を満たす点\(\left( y_{1},\cdots,y_{n}\right) \)に対して\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)が定める値を特定し、それらの総和をとれば\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)が得られるということです。言い換えると、離散型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)に関しては、同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)は同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)から導入可能であるということです。
x_{1}}\cdots \sum_{y_{n}\leq x_{n}}f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( y_{1},\cdots
,y_{n}\right)
\end{equation*}を定める。
上の命題は、同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)が同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)から導出可能であることを示唆します。つまり、同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)が点\(\left( x_{1},\cdots,x_{n}\right) \)に対して定める値は、同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)が点\(\left( x_{1},\cdots,x_{n}\right) \)以下のそれぞれの点に対して定める値の総和と一致します。
\forall i\in \left\{ 1,2,3\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\} \right\}
\end{equation*}です。各回において表が出た場合にはポイント\(1\)を得て、裏が出た場合にはポイント\(1\)を失うものとします。各回に得るポイントの関係性を分析したい場合には、各回に得るポイントを特定する3個の確率変数の多変量確率変数を利用することになります。具体的には、「1回目に得るポイント」を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と「2回目に得るポイント」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と「3回目に得るポイント」を特定する確率変数\(Z:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、確率ベクトル\(\left( X,Y,Z\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y,Z\right) \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right)
&=&\left( X\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) ,Y\left( \omega
_{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) ,Z\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 1,1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{表},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 1,1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{表},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( 1,-1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{裏},\text{表}\right)
\right) \\
\left( -1,1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{表},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 1,-1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{裏},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( -1,1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{表},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( -1,-1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{裏},\text{表}\right)
\right) \\
\left( -1,-1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right)
\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。\(\left( X,Y,Z\right) \)の値域は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) &=&\left\{ \left( x,y,z\right)
\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x,y,z\in \left\{ 1,-1\right\} \right\} \\
&=&\left\{ 1,-1\right\} ^{3}
\end{eqnarray*}です。標本空間\(\Omega \)には\(2^{3}=8\)個の標本点が属しますが、仮に、これらがいずれも同じ程度の確かさで起こり得るのであれば、同時確率質量関数\(f_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{8} & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in \left( X,Y,Z\right) \left(
\Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。上の命題より、同時分布関数\(F_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\sum_{x^{\prime }\leq x}\sum_{y^{\prime }\leq
y}\sum_{z^{\prime }\leq z}f_{XYZ}\left( x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime
}\right)
\end{equation*}を定めます。したがって、\(x<-1\)と\(y<-1\)と\(z<-1\)の中の少なくとも1つが成り立つ場合には、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =0
\end{equation*}であり、\(-1\leq x<1\)と\(-1\leq y<1\)と\(-1\leq z<1\)がすべて成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&f_{XYZ}\left( -1,-1,-1\right) \\
&=&\frac{1}{8}
\end{eqnarray*}であり、\(x\geq 1\)と\(-1\leq y<1\)と\(-1\leq z<1\)がすべて成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&f_{XYZ}\left( -1,-1,-1\right) +f_{XYZ}\left(
1,-1,-1\right) \\
&=&\frac{1}{8}+\frac{1}{8} \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}であり、\(-1\leq x<1\)と\(y\geq 1\)と\(-1\leq z<1\)がすべて成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&f_{XYZ}\left( -1,-1,-1\right) +f_{XYZ}\left(
-1,1,-1\right) \\
&=&\frac{1}{8}+\frac{1}{8} \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}であり、\(-1\leq x<1\)と\(-1\leq y<1\)と\(z\geq 1\)がすべて成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&f_{XYZ}\left( -1,-1,-1\right) +f_{XYZ}\left(
-1,-1,1\right) \\
&=&\frac{1}{8}+\frac{1}{8} \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}であり、\(x\geq 1\)と\(y\geq 1\)と\(-1\leq z<1\)がすべて成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&f_{XYZ}\left( -1,-1,-1\right) +f_{XYZ}\left(
1,-1,-1\right) +f_{XYZ}\left( -1,1,-1\right) +f_{XYZ}\left( 1,1,-1\right) \\
&=&\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\(-1\leq x<1\)と\(y\geq 1\)と\(z\geq 1\)がすべて成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&f_{XYZ}\left( -1,-1,-1\right) +f_{XYZ}\left(
-1,1,-1\right) +f_{XYZ}\left( -1,-1,1\right) +f_{XYZ}\left( -1,1,1\right) \\
&=&\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\(x\geq 1\)と\(-1\leq y<1\)と\(z\geq 1\)がすべて成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&f_{XYZ}\left( -1,-1,-1\right) +f_{XYZ}\left(
1,-1,-1\right) +f_{XYZ}\left( -1,-1,1\right) +f_{XYZ}\left( 1,-1,1\right) \\
&=&\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\(x\geq 1\)と\(y\geq 1\)と\(z\geq 1\)がすべて成り立つ場合には、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =1
\end{equation*}です。結論をまとめると、\begin{equation*}
F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\vee z<-1\right) \\
\frac{1}{8} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge z\geq 1\right)
\\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\wedge z\geq 1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
同時分布関数がとり得る値の範囲
同時分布関数は\(0\)以上\(1\)以下の実数を値としてとります。
\end{equation*}を満たす。
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\vee z<-1\right) \\
\frac{1}{8} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge z\geq 1\right)
\\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\wedge z\geq 1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}0\leq F_{XYZ}\left( x,y,z\right) \leq 1
\end{equation*}が成立しています。
同時分布関数は単調増加
離散型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された\(n\)変数関数ですが、これを特定の変数\(x_{i}\)に関する1変数関数とみなした場合、\(\mathbb{R} \)上で単調増加（単調非減少）になります。
X_{n}}\left( x_{i}^{\prime },x_{-i}\right) \leq F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left(
x_{i}^{\prime \prime },x_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題を踏まえると以下を得ます。
x_{i}^{\prime \prime }\right) \Rightarrow F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left(
x_{1}^{\prime },\cdots ,x_{n}^{\prime }\right) \leq F_{X_{1}\cdots
X_{n}}\left( x_{1}^{\prime \prime },\cdots ,x_{n}^{\prime \prime }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\vee z<-1\right) \\
\frac{1}{8} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge z\geq 1\right)
\\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\wedge z\geq 1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x_{1}\leq x_{2}\)かつ\(y_{1}\leq y_{2}\)かつ\(z_{1}\leq z_{2}\)を満たす\(\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2},z_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x_{1},y_{1},z_{1}\right) \leq F_{XYZ}\left(
x_{2},y_{2},z_{2}\right)
\end{equation*}が成立しています。
同時分布関数の右側連続性
離散型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された\(n\)変数関数ですが、これを特定の変数\(x_{i}\)に関する1変数関数とみなした場合、\(\mathbb{R} \)上で右側連続になります。
=F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( a,x_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題を踏まえると以下を得ます。
,a_{n}+\right) }F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
=F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\vee z<-1\right) \\
\frac{1}{8} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge z\geq 1\right)
\\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\wedge z\geq 1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x<-1\)または\(y<-1\)または\(z<-1\)の少なくとも1つを満たす\(\left( x,y,z\right) \)上で\(F_{XYZ}\)は定数関数\(0\)であるため、\(F_{XYZ}\)はそのような点\(\left( x,y,z\right) \)において連続です。点\(\left( -1,-1,-1\right) \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( -1+,-1+,-1+\right)
}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left(
-1+,-1+,-1+\right) }\frac{1}{8}\quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{8}\quad \because \text{定数関数の右側極限} \\
&=&F_{XYZ}\left( -1,-1,-1\right) \quad \because F_{XYZ}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(F_{XYZ}\)は点\(\left( -1,-1,-1\right) \)において右側連続です。他の点についても同様に考えます。
同時分布関数の無限大における極限
同時分布関数の無限大における極限に関して以下が成り立ちます。
,+\infty \right) }F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。また、変数\(x_{i}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x_{i}\rightarrow -\infty }F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left(
x_{i},x_{-i}\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。ゆえに、\begin{equation*}
\lim_{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \rightarrow \left( -\infty ,\cdots
,-\infty \right) }F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\vee z<-1\right) \\
\frac{1}{8} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge z\geq 1\right)
\\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\wedge z\geq 1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( +\infty ,+\infty ,+\infty
\right) }F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\lim_{\left( x,y,z\right)
\rightarrow \left( +\infty ,+\infty ,+\infty \right) }1\quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }F_{XYZ}\left( x,y,z\right)
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }0\quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{y\rightarrow -\infty }F_{XYZ}\left( x,y,z\right)
&=&\lim_{y\rightarrow -\infty }0\quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow -\infty }F_{XYZ}\left( x,y,z\right)
&=&\lim_{z\rightarrow -\infty }0\quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( -\infty ,-\infty ,-\infty
\right) }F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\lim_{\left( x,y,z\right)
\rightarrow \left( -\infty ,-\infty ,-\infty \right) }0\quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。
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