離散型の一様分布
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に対して確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が定義されており、その値域\(X\left( \Omega \right) \)が非空の有限集合であるものとします。つまり、\(X\)は離散型の確率変数です。その上で、\(X\)の確率分布を描写する確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{\left\vert X\left( \Omega \right) \right\vert } & \left( if\ x\in
X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(\left\vert X\left( \Omega \right)\right\vert \)は集合\(X\left( \Omega \right) \)に属する要素の個数です。仮定より\(X\left( \Omega \right) \)は非空の有限集合であるため\(\left\vert X\left( \Omega \right)\right\vert \)は自然数であることに注意してください。以上の定義は、\(X\)がそれぞれの値をとる確率がいずれも\(\frac{1}{\left\vert X\left( \Omega \right) \right\vert }\)で等しいことを意味します。以上の条件が満たされる場合、確率変数\(X\)は離散型の一様分布（discrete uniform distribution）にしたがうといいます。
確率変数\(X\)が離散型の一様分布にしたがう場合、その確率分布の形状は値域\(X\left( \Omega \right) \)に属する要素の個数によって完全に決定されます。ただ、値域\(X\left( \Omega \right) \)をどのように表現するかによって離散型の一様分布は以下のように様々な形で表現可能です。
離散型一様分布にしたがう確率変数\(X\)の値域\(X\left( \Omega \right) \)は非空かつ有限な\(\mathbb{R} \)の部分集合ですが、より具体的に、\begin{equation*}x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}
\end{equation*}を満たす有限\(n\)個の実数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right\}
\end{equation*}と表される場合には、\begin{equation*}
\left\vert X\left( \Omega \right) \right\vert =n
\end{equation*}となるため、\(X\)の確率分布を描写する確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{n} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。このとき、確率変数\(X\)はパラメータ\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)の離散型一様分布（discrete uniform distribution with parameter \(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)）にしたがうといい、そのことを、\begin{equation*}X\sim U\left( x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}で表記します。
\end{equation*}選んだ数字を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を定めます。このとき、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\Omega
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(X\left( \Omega \right) \)は\(5\)個の有理数からなる集合であるため、仮に、それぞれの数が等しい確率で選ばれるのであれば、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{5} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。以上の事実は、確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\)の離散型一様分布にしたがうこと、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( \frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right)
\end{equation*}であることを意味します。
離散型一様分布にしたがう確率変数\(X\)の値域\(X\left( \Omega \right) \)は非空かつ有限な\(\mathbb{R} \)の部分集合ですが、より具体的に、\(a\leq b\)を満たす整数\(a,b\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{eqnarray*}X\left( \Omega \right) &=&\left[ a,b\right] \cap \mathbb{Z} \\
&=&\left\{ a,a+1,\cdots ,b-1,b\right\}
\end{eqnarray*}と表されるものとします。つまり、\(X\left( \Omega\right) \)は\(a\)以上\(b\)以下の整数からなる集合です。この場合には、\begin{equation*}\left\vert X\left( \Omega \right) \right\vert =b-a+1
\end{equation*}となるため、\(X\)の確率分布を描写する確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{b-a+1} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。このとき、確率変数\(X\)はパラメータ\(a,b\)の離散型一様分布（discrete uniform distribution with parameter \(a,b\)）にしたがうといい、そのことを、\begin{equation*}X\sim U\left( a,b\right)
\end{equation*}で表記します。
\end{equation*}です。選んだ数字を特定する確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を定めます。このとき、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\Omega
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(X\left( \Omega \right) \)は\(-5\)以上\(5\)以下の合計\(5-\left( -5\right) +1=11\)個の整数からなる集合です。仮に、すべての整数が等しい確率で選ばれるのであれば、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{11} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。以上の事実は、確率変数\(X\)がパラメータ\(-5,5\)の離散型一様分布にしたがうこと、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( -5,5\right)
\end{equation*}であることを意味します。
離散型一様分布にしたがう確率変数\(X\)の値域\(X\left( \Omega \right) \)は非空かつ有限な\(\mathbb{R} \)の部分集合ですが、より具体的に、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,\cdots ,n-1,n\right\}
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(X\left( \Omega\right) \)は\(1\)以上\(n\)以下の整数からなる集合です。この場合には、\begin{equation*}\left\vert X\left( \Omega \right) \right\vert =n
\end{equation*}となるため、\(X\)の確率分布を描写する確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{n} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。このとき、確率変数\(X\)はパラメータ\(n\)の離散型一様分布（discrete uniform distribution with parameter \(n\)）にしたがうといい、そのことを、\begin{equation*}X\sim U\left( n\right)
\end{equation*}で表記します。定義より、確率変数\(X\)がパラメータ\(n\)の離散型一様分布にしたがうことと、\(X\)がパラメータ\(1,n\)の離散型一様分布にしたがうことは必要十分です。
\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}です。出た目数を与える確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を定めます。このとき、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。仮に、サイコロに歪みがなくそれぞれの目が等確率で出るのであれば、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{6} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めますが、これは、確率変数\(X\)がパラメータ\(6\)の離散型一様分布にしたがうこと、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( 6\right)
\end{equation*}であることを意味します。
離散型の一様分布にしたがう確率変数の確率質量関数が確率質量関数としての性質を満たすことを確認しておきます。
&&\left( b\right) \ \sum_{x\in X\left( \Omega \right) }f_{X}\left( x\right)
=1
\end{eqnarray*}をともに満たす。
上の命題は最も一般的な離散型一様分布にしたがう確率変数を対象としたものであるため、パラメータ\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)の離散型一様分布やパラメータ\(a,b\)の離散型一様分布、パラメータ\(n\)の離散型一様分布に関する主張を内包しています。
離散型一様分布にしたがう確率変数の分布関数
確率変数\(X\)がパラメータ\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)の離散型一様分布にしたがう場合の分布関数は以下の通りです。
\end{equation*}である場合には、\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<x_{1}\right) \\
\frac{k}{n} & \left( if\ x_{k}\leq x<x_{k+1}\wedge k\in \left\{ 1,2,\cdots
,n-1\right\} \right) \\
1 & \left( if\ x\geq x_{n}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。
以上の結果を具体的に表現すると、\begin{equation*}
F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<x_{1}\right) \\
\frac{1}{n} & \left( if\ x_{1}\leq x<x_{2}\right) \\
\frac{2}{n} & \left( if\ x_{2}\leq x<x_{3}\right) \\
& \vdots \\
\frac{n-1}{n} & \left( if\ x_{n-1}\leq x<x_{n}\right) \\
1 & \left( if\ x\geq x_{n}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<\frac{1}{5}\right) \\
\frac{1}{5} & \left( if\ \frac{1}{5}\leq x<\frac{1}{4}\right) \\
\frac{2}{5} & \left( if\ \frac{1}{4}\leq x<\frac{1}{3}\right) \\
\frac{3}{5} & \left( if\ \frac{1}{3}\leq x<\frac{1}{2}\right) \\
\frac{4}{5} & \left( if\ \frac{1}{2}\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
確率変数\(X\)がパラメータ\(a,b\)の離散型一様分布にしたがう場合の分布関数は以下の通りです。
\end{equation*}である場合には、\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<a\right) \\
\frac{\left\vert \left\lfloor x\right\rfloor \right\vert }{b-a+1} & \left(
if\ a\leq x<b\right) \\
1 & \left( if\ x\geq b\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。ただし、\(\left\lfloor x\right\rfloor :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z} \)は床関数であり、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left\lfloor x\right\rfloor \leq x<\left\lfloor x\right\rfloor +1
\end{equation*}を満たすものとして定義される。
以上の結果を具体的に表現すると、\begin{equation*}
F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<a\right) \\
\frac{1}{b-a+1} & \left( if\ a\leq x<a+1\right) \\
\frac{2}{b-a+1} & \left( if\ a+1\leq x<a+2\right) \\
& \vdots \\
\frac{b-a}{b-a+1} & \left( if\ b-1\leq x<b\right) \\
1 & \left( if\ x\geq b\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-5\right) \\
\frac{\left\vert \left\lfloor x\right\rfloor \right\vert }{n} & \left( if\
-5\leq x<5\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 5\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。具体的には、\begin{equation*}
F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-5\right) \\
\frac{1}{11} & \left( if\ -5\leq x<-4\right) \\
\frac{2}{11} & \left( if\ -4\leq x<-3\right) \\
& \vdots \\
\frac{10}{11} & \left( if\ 4\leq x<5\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 5\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
確率変数\(X\)がパラメータ\(n\)の離散型一様分布にしたがう場合の分布関数は以下の通りです。
\end{equation*}である場合には、\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{\left\lfloor x\right\rfloor }{n} & \left( if\ 1\leq x<n\right) \\
1 & \left( if\ x\geq n\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。ただし、\(\left\lfloor x\right\rfloor :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z} \)は床関数であり、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left\lfloor x\right\rfloor \leq x<\left\lfloor x\right\rfloor +1
\end{equation*}を満たすものとして定義される。
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{\left\lfloor x\right\rfloor }{n} & \left( if\ 1\leq x<6\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 6\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。具体的には、\begin{equation*}
F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{1}{6} & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
\frac{2}{6} & \left( if\ 2\leq x<3\right) \\
\frac{3}{6} & \left( if\ 3\leq x<4\right) \\
\frac{4}{6} & \left( if\ 4\leq x<5\right) \\
\frac{5}{6} & \left( if\ 5\leq x<6\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 6\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
離散型一様分布にしたがう確率変数の期待値
確率変数\(X\)がパラメータ\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)の離散型一様分布にしたがう場合の期待値は以下の通りです。
\end{equation*}である場合には、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}
\end{equation*}となる。
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、\(X\)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&\frac{1}{5}\left( \frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+1\right) \\
&=&\frac{137}{300}
\end{eqnarray*}となります。
確率変数\(X\)がパラメータ\(a,b\)の離散型一様分布にしたがう場合の期待値は以下の通りです。
\end{equation*}である場合には、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\frac{a+b}{2}
\end{equation*}となる。
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}X=\frac{-5+5}{2}=0
\end{equation*}となります。
確率変数\(X\)がパラメータ\(n\)の離散型一様分布にしたがう場合の期待値は以下の通りです。
\end{equation*}である場合には、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\frac{n+1}{2}
\end{equation*}となる。
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\frac{1+6}{2}=\frac{7}{2}
\end{equation*}となります。
離散型一様分布にしたがう確率変数の分散
確率変数\(X\)がパラメータ\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)の離散型一様分布にしたがう場合の分散は以下の通りです。
\end{equation*}である場合には、\(X\)の分散は、\begin{equation*}\mathrm{Var}\left( X\right) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left[ x_{i}-E\left(
X\right) \right] ^{2}
\end{equation*}となる。ただし、\begin{equation*}
E\left( X\right) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}
\end{equation*}である。
\end{equation*}であるということです。先の例より、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\frac{137}{300}
\end{equation*}となります。したがって、上の命題より、\(X\)の分散は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Var}\left( X\right) &=&\frac{1}{5}\left[ \left( \frac{1}{5}-\frac{137}{300}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{4}-\frac{137}{300}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{3}-\frac{137}{300}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{2}-\frac{137}{300}\right)
^{2}+\left( 1-\frac{137}{300}\right) ^{2}\right] \\
&=&\frac{947}{11250}
\end{eqnarray*}となります。
確率変数\(X\)がパラメータ\(a,b\)の離散型一様分布にしたがう場合の期待値は以下の通りです。
\end{equation*}である場合には、\(X\)の分散は、\begin{equation*}\mathrm{Var}\left( X\right) =\frac{\left( b-a+1\right) ^{2}-1}{12}
\end{equation*}となる。
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、\(X\)の分散は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Var}\left( X\right) &=&\frac{\left[ 5-\left( -5\right) +1\right] ^{2}-1}{12} \\
&=&10
\end{eqnarray*}となります。
確率変数\(X\)がパラメータ\(n\)の離散型一様分布にしたがう場合の期待値は以下の通りです。
\end{equation*}である場合には、\(X\)の分散は、\begin{equation*}\mathrm{Var}\left( X\right) =\frac{n^{2}-1}{12}
\end{equation*}となる。
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、\(X\)の分散は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Var}\left( X\right) &=&\frac{6^{2}-1}{12} \\
&=&\frac{35}{12}
\end{eqnarray*}となります。
離散型一様分布にしたがう確率変数のモーメント母関数
確率変数\(X\)がパラメータ\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)の離散型一様分布にしたがう場合のモーメント母関数は以下の通りです。
\end{equation*}である場合には、モーメント母関数\(M_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}M_{X}\left( t\right) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left( e^{t}\right) ^{x_{i}}
\end{equation*}を定める。
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、モーメント母関数\(M_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}M_{X}\left( t\right) =\frac{1}{n}\left( e^{\frac{t}{5}}+e^{\frac{t}{4}}+e^{\frac{t}{3}}+e^{\frac{t}{2}}+e^{t}\right)
\end{equation*}を定めます。
確率変数\(X\)がパラメータ\(a,b\)の離散型一様分布にしたがう場合のモーメント母関数は以下の通りです。
\end{equation*}である場合には、モーメント母関数\(M_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}M_{X}\left( t\right) =\frac{1}{n}\sum_{x=a}^{b}\left( e^{t}\right) ^{x}
\end{equation*}を定める。
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、モーメント母関数\(M_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}M_{X}\left( t\right) =\frac{1}{n}\sum_{x=-5}^{5}\left( e^{t}\right) ^{x}
\end{equation*}を定めます。
確率変数\(X\)がパラメータ\(n\)の離散型一様分布にしたがう場合のモーメント母関数は以下の通りです。
\end{equation*}である場合には、モーメント母関数\(M_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}M_{X}\left( t\right) =\frac{e^{t}\left( 1-e^{tn}\right) }{n\left(
1-e^{t}\right) }
\end{equation*}を定める。
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、モーメント母関数\(M_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}M_{X}\left( t\right) =\frac{e^{t}\left( 1-e^{6t}\right) }{6\left(
1-e^{t}\right) }
\end{equation*}を定めます。
演習問題
\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}です。それぞれの目が等しい確率で出るものとします。以下の問いに答えてください。
- 出た目を与える確率変数\(X\)を定式化した上で、その確率分布を記述してください。
- 「偶数の目が出る」という事象の確率を求めてください。
- 「\(3\)より小さい目が出る」という事象の確率を求めてください。
- 確率変数\(X\)の期待値と分散を求めてください。
- 確率変数\(X\)のモーメント母関数を求めてください。
- 選んだ数字の末尾の数字を与える確率変数\(X\)を定式化した上で、その確率分布を記述してください。
- 「選んだ数字の末尾の数字が\(3\)より小さい」という事象の確率を求めてください。
- 「選んだ数字の末尾の数字が\(8\)以上」という事象の確率を求めてください。
- 確率変数\(X\)の期待値と分散を求めてください。
- 確率変数\(X\)のモーメント母関数を求めてください。
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