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離散型確率変数の期待値

目次

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離散型確率変数の期待値

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)の値域\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{equation*}が有限集合または可算集合であるということです。加えて、\(X\)の確率分布が確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されているものとします。つまり、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)は確率変数\(X\)が値\(x\)をとる確率であり、具体的には、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&P\left( X=x\right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) =x\right\}
\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つということです。

問題としている試行を行った場合に確率変数\(X\)が取り得る値の範囲\(X\left( \Omega \right) \)は分かっていますが、試行はランダムネスによって支配されているため、\(X\left( \Omega \right) \)の中のどの値が実際に実現するかを事前に特定することはできません。したがって、何らかの手段を通じて\(X\left(\Omega \right) \)の中のどの値が実際に実現するかを予測する必要があります。その際、試行によって起こり得る\(X\)の値の平均値を指標として採用する、というのは1つの考え方です。つまり、\(X\left( \Omega\right) \)に属するそれぞれの値\(x\)に対して、その値が実現する確率\(P\left(X=x\right) \)との積をとった上で、さらに、得られた積の総和\begin{equation*}\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }x\cdot P\left( X=x\right)
\end{equation*}をとるということです。この指標を確率変数\(X\)の期待値(expectation)や平均値(mean)などと呼び、\(E\left( X\right) \)で表記します。確率関数\(f\)に関して、\begin{equation*}f\left( x\right) =P\left( X=x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを踏まえると、確率変数\(X\)の期待値を、\begin{equation*}E\left( X\right) =\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }xf\left( x\right)
\end{equation*}と定義することもできます。

例(離散型確率変数の期待値)
「サイコロを1回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ 1,2,3,,5,6\right\}
\end{equation*}です。出た目の\(100\)倍の金額を賞金としてもらえるというルールのもと、出た目に対応する賞金額を与える確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =100\omega
\end{equation*}を定めます。\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 100,200,300,400,500,600\right\}
\end{equation*}という有限集合であるため、これは離散型の確率変数です。サイコロに偏りがないのであれば、確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{6} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(X\)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }xf\left( x\right) \\
&=&100\cdot f\left( 100\right) +200\cdot f\left( 200\right) +300\cdot
f\left( 300\right) +4\cdot f\left( 400\right) +5\cdot f\left( 500\right)
+6\cdot f\left( 600\right) \\
&=&100\cdot \frac{1}{6}+200\cdot \frac{1}{6}+300\cdot \frac{1}{6}+4\cdot
\frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6} \\
&=&350
\end{eqnarray*}となります。

例(離散型確率変数の期待値)
「コインを3回投げて表が出た回数を観察する」という試行において、1回目に出た面を\(x_{1}\)で、2回目に出た面を\(x_{2}\)で、3回目に出た面を\(x_{3}\)でそれぞれ表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \ |\ \forall i\in \left\{
1,2,3\right\} :x_{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\right\}
\end{equation*}となります。それぞれの標本点\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in\Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \text{において表が出た回数}
\end{equation*}を値として定める確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、その値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,2,3\right\}
\end{equation*}であるため、これは離散型の確率変数です。標本空間には\(2^{3}\)個の標本点が属しますが、これらがいずれも同じ程度の確かさで起こり得るのであれば、確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{3}{x}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3} & \left( if\ x\in X\left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(X\)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }xf\left( x\right) \\
&=&0\cdot f\left( 0\right) +1\cdot f\left( 1\right) +2\cdot f\left( 2\right)
+3\cdot f\left( 3\right) \\
&=&0\cdot \frac{1}{8}+1\cdot \frac{3}{8}+2\cdot \frac{3}{8}+3\cdot \frac{1}{8} \\
&=&\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}となります。

例(離散型確率変数の期待値)
「表が出るまでコインを投げ続ける」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{\text{表},\text{裏表},\text{裏裏表},\text{裏裏裏表},\cdots \}
\end{equation*}となります。それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega \text{において初めて表が出た回数}
\end{equation*}を値として定める確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、その値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3,\cdots \right\}
\end{equation*}であるため、これは離散型の確率変数です。各回のコイン投げにおいて表と裏が等確率で出るのであれば、確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left( \frac{1}{2}\right) ^{x-1}\left( \frac{1}{2}\right) & \left( if\ x\in
X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(X\)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }xf\left( x\right) \\
&=&\sum_{x=1}^{\infty }x\left( \frac{1}{2}\right) ^{x-1}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります(演習問題にします)。

例(定数確率変数の期待値)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と定数確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、ある\(c\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。\(X\)の確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=c\right) \\
0 & \left( if\ x\not=c\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるため、\(X\)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }xf\left( x\right) \\
&=&c\cdot 1 \\
&=&c
\end{eqnarray*}となります。

例(ほとんど確実に一定の確率変数の期待値)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)とほとんど確実に一定の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)の確率変数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、ある\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=c\right) \\
0 & \left( if\ x\not=c\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表すことができるということです。\(X\)の値域は、\begin{equation}X\left( \Omega \right) =\left\{ c\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、\(X\)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }xf\left( x\right) \\
&=&c\cdot 1\quad \because \left( 1\right) \\
&=&c
\end{eqnarray*}となります。

 

期待値が有限な実数として定まらない場合

離散型の確率変数\(X\)の値域は有限集合か可算集合のどちらか一方です。\(X\)の値域が有限集合である場合、期待値\(E\left( X\right) \)は有限個の実数の和であるため、それは1つの有限な実数として定まることが保証されます。一方、\(X\)の値域が可算集合である場合、期待値\(E\left( X\right) \)は無限級数であるため、それは1つの有限な実数として定まるとは限りませんし、そもそも期待値が存在しない事態も起こり得ます。以下で順番に解説します。

離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって描写されているとき、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }xf\left( x\right)
\end{equation*}と定義されます。\(X\)の値域\(X\left( \Omega \right) \)が可算集合である場合、\(X\)の期待値は無限級数になりますが、これを正の項どうしの和と負の項どうしの和に分けて記述すると、\begin{equation*}E\left( X\right) =\sum_{x\in X\left( \Omega \right) \cap \mathbb{R} _{++}}xf\left( x\right) +\sum_{x\in X\left( \Omega \right) \cap \mathbb{R} _{− −}}xf\left( x\right)
\end{equation*}となります。このとき、以下の3通りの可能性が起こり得ます。

まず、正の項どうしの和と負の項どうしの和がそれぞれ有限な実数へ収束する場合、もとの無限級数もまた有限な実数へ収束します。しかも、その極限は無限級数の項の順番に依存せず一定です。したがって、この場合には\(X\)の期待値が1つの有限な実数として定まります。

続いて、正の項のどうしの和と負の項どうしの和のどちらか一方が有限な実数へ収束し、もう一方が無限大へ収束する場合、もとの無限級数もまた無限大へ収束します。したがって、この場合には\(X\)の期待値は無限大であるものと定めます。

最後に、正の項どうしの和が正の無限大へ発散し、なおかつ負の項どうしの和が負の無限大へ発散する場合、もとの無限級数は有限な実数へ収束しないか、もしくは、無限級数の項の順番を入れ替えることにより異なる極限へ収束させることができます。したがって、この場合には\(X\)の期待値は存在しないものと定めます。

例(期待値が無限大である場合)
確率変数\(X\)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\mathbb{N} =\left\{ 1,2,3,\cdots \right\}
\end{equation*}であるものとします。これは可算集合であるため\(X\)は可算型の確率変数です。\(X\)の確率分布が確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されており、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x\left( x+1\right) } & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right)
\right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\sum_{x\in X\left( \Omega \right) \cap \mathbb{R} _{++}}xf\left( x\right) &=&\sum_{x=1}^{\infty }\left[ x\cdot \frac{1}{x\left( x+1\right) }\right] \\
&=&\sum_{x=1}^{\infty }\frac{1}{\left( x+1\right) } \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となる一方で、\begin{eqnarray*}
\sum_{x\in X\left( \Omega \right) \cap \mathbb{R} _{− −}}xf\left( x\right) &=&\sum_{x\in X\left( \Omega \right) \cap \mathbb{R} _{− −}}x\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
E\left( X\right) &=&\sum_{x\in X\left( \Omega \right) \cap \mathbb{R} _{++}}xf\left( x\right) +\sum_{x\in X\left( \Omega \right) \cap \mathbb{R} _{− −}}xf\left( x\right) \\
&=&\left( +\infty \right) +0 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。

例(期待値が存在しない場合)
確率変数\(X\)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\mathbb{Z} \backslash \left\{ 0\right\} =\left\{ \cdots ,-2,-1,1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}であるものとします。これは可算集合であるため\(X\)は可算型の確率変数です。\(X\)の確率分布が確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されており、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2\left\vert x\right\vert \left( \left\vert x\right\vert +1\right) }
& \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\sum_{x\in X\left( \Omega \right) \cap \mathbb{R} _{++}}xf\left( x\right) &=&\sum_{x=1}^{\infty }\left[ x\cdot \frac{1}{2x\left( x+1\right) }\right] \\
&=&\sum_{x=1}^{\infty }\frac{1}{2\left( x+1\right) } \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となる一方で、\begin{eqnarray*}
\sum_{x\in X\left( \Omega \right) \cap \mathbb{R} _{− −}}xf\left( x\right) &=&\sum_{x=-1}^{-\infty }\left[ x\cdot \frac{1}{2\left( -x\right) \left( -x+1\right) }\right] \\
&=&-\sum_{x=1}^{\infty }\left[ x\cdot \frac{1}{2x\left( x+1\right) }\right] \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(X\)の期待値\(E\left( X\right) \)は存在しません。

 

演習問題

問題(離散型確率変数の期待値)
「\(1\)以上\(100\)以下の整数の中から1つをランダムに選ぶ」という試行において、「選ばれる数」の期待値を求めてください。
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問題(離散型確率変数の期待値)
「2つのサイコロを振って出た目を観察する」という試行において、「出た目の平均」の期待値を求めてください。ただし、サイコロはいずれも偏りがなく、\(1\)から\(6\)までの目が等確率で出るものとします。また、2つのサイコロは区別可能であるものとします。
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問題(離散型確率変数の期待値)
ある小学校の全校生徒数は\(600\)人であり、各学年に\(100\)人の生徒がいるものとします。「学生を1人ランダムに選ぶ」という試行において、「選ばれた学生の学年」の期待値を求めてください。
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問題(離散型確率変数の期待値)
「表が出るまでコインを投げ続ける」という試行において、「初めて表が出る回数」の期待値を求めてください。ただし、各回のコイン投げにおいて表と裏が等確率で出るものとします。

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問題(離散型確率変数の期待値)
「表が出るまでコインを投げ続ける」という試行において\(n\)回目に初めて表が出た場合、賞金を\(2^{n}\)だけ得られるものとします。「得られる賞金」の期待値を求めてください。ただし、各回のコイン投げにおいて表と裏が等確率で出るものとします。
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次回は離散型確率変数の分散について解説します。

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質問とコメント

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