WIIS

離散型の確率分布

有限個の離散型確率変数の独立性

目次

関連知識

Mailで保存
Xで共有

有限個の確率変数の独立性

問題としている試行に関する確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、有限\(n\)個の事象\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathcal{F}\)が独立であることを、\begin{equation*}\forall J\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in
J}A_{i}\right) =\prod_{i\in J}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。以上を踏まえた上で、有限\(n\)個の確率変数が独立であることの意味を定義します。

問題としている試行に関する確率ベクトル\begin{equation*}
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられている状況を想定します。集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\subset \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、個々の確率変数\begin{equation*}X_{i}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}について、「確率変数\(X_{i}\)の値が集合\(A_{i}\)に属する」という事象は、\begin{eqnarray*}&&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{1}\left( \omega \right) \in
A_{1}\right\} \\
&&\vdots \\
&&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{n}\left( \omega \right) \in
A_{n}\right\}
\end{eqnarray*}となります。以上の\(n\)個の事象の積事象は「確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の値がそれぞれ\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)に属する」ですが、これは、\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{1}\left( \omega \right) \in A_{1}\wedge
\cdots \wedge X_{n}\left( \omega \right) \in A_{n}\right\}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left(
\omega \right) \in A_{1}\times \cdots \times A_{n}\right\}
\end{equation*}です。したがって、有限個の事象の独立性の定義より、先の\(n\)個の事象が独立であることとは、\begin{equation*}\forall J\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in
J}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{i}\left( \omega \right) \in
A_{i}\right\} \right) =\prod_{i\in J}P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
X_{i}\left( \omega \right) \in A_{i}\right\} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall J\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \left( X_{i}\right)
_{i\in J}\right) =\prod_{i\in J}P\left( X_{i}\in A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

以上を踏まえた上で、任意の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\subset \mathbb{R} \)に対して、以下の\(n\)個の事象\begin{eqnarray*}&&\text{確率変数}X_{1}\text{の値が集合}A_{1}\text{に属する} \\
&&\vdots \\
&&\text{確率変数}X_{n}\text{の値が集合}A_{n}\text{に属する}
\end{eqnarray*}が独立である場合(もしくは独立であることを仮定する場合)には、すなわち、\begin{equation*}
\forall A_{1},\cdots ,A_{n}\subset \mathbb{R} ,\ \forall J\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \left( X_{i}\right)_{i\in J}\in \prod_{i\in J}A_{i}\right) =\prod_{i\in J}P\left( X_{i}\in
A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)は独立である(independent)と言います。ただし、左辺の\(\prod \)は集合どうしの直積を表す記号であるのに対し、右辺の\(\prod \)は実数どうしの積を表す記号です。一方、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立ではない場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists A_{1},\cdots ,A_{n}\subset \mathbb{R} ,\ \exists J\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \left( X_{i}\right)
_{i\in J}\in \prod_{i\in J}A_{i}\right) \not=\prod_{i\in J}P\left( X_{i}\in
A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)は従属である(dependent)と言います。

例(有限個の確率変数の独立性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、2つの確率変数\(X_{1},X_{2}\)が独立であることとは、\begin{equation}\forall A_{1},A_{2}\subset \mathbb{R} ,\ \forall J\subset \left\{ 1,2\right\} :P\left( \left( X_{i}\right) _{i\in
J}\in \prod_{i\in J}A_{i}\right) =\prod_{i\in J}P\left( X_{i}\in
A_{i}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つこととして定義されますが、\(\left\{ 1,2\right\} \)の部分集合\(J\)の候補としては(空集合を除く)、\begin{equation*}\left\{ 1\right\} ,\ \left\{ 2\right\} ,\ \left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}の3つが存在するため、\(\left( 1\right) \)が成り立つこととは、集合\(A_{1},A_{2}\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ P\left( \left( X_{i}\right) _{i\in \left\{ 1\right\}
}\in \prod_{i\in \left\{ 1\right\} }A_{i}\right) =\prod_{i\in \left\{
1\right\} }P\left( X_{i}\in A_{i}\right) \\
&&\left( b\right) \ P\left( \left( X_{i}\right) _{i\in \left\{ 2\right\}
}\in \prod_{i\in \left\{ 2\right\} }A_{i}\right) =\prod_{i\in \left\{
2\right\} }P\left( X_{i}\in A_{i}\right) \\
&&\left( c\right) \ P\left( \left( X_{i}\right) _{i\in \left\{ 1,2\right\}
}\in \prod_{i\in \left\{ 1,2\right\} }A_{i}\right) =\prod_{i\in \left\{
1,2\right\} }P\left( X_{i}\in A_{i}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ P\left( X_{1}\in A_{1}\right) =P\left( X_{1}\in
A_{1}\right) \\
&&\left( b\right) \ P\left( X_{2}\in A_{2}\right) =P\left( X_{2}\in
A_{2}\right) \\
&&\left( c\right) \ P\left( \left( X_{1},X_{2}\right) \in A_{1}\times
A_{2}\right) =P\left( X_{1}\in A_{1}\right) \cdot P\left( X_{2}\in
A_{2}\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。ただ、\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)は明らかに成り立つため、実質的に要求されている条件は\(\left( c\right) \)だけです。
例(有限個の確率変数の独立性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、3個の確率変数\(X_{1},X_{2},X_{3}\)が独立であることとは、\begin{equation}\forall A_{1},A_{2},A_{3}\subset \mathbb{R} ,\ \forall J\subset \left\{ 1,2,3\right\} :P\left( \left( X_{i}\right)
_{i\in J}\in \prod_{i\in J}A_{i}\right) =\prod_{i\in J}P\left( X_{i}\in
A_{i}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つこととして定義されますが、\(\left\{ 1,2,3\right\} \)の部分集合\(J\)の候補としては(空集合を除く)、\begin{equation*}\left\{ 1\right\} ,\ \left\{ 2\right\} ,\ \left\{ 3\right\} ,\ \left\{
1,2\right\} ,\ \left\{ 2,3\right\} ,\ \left\{ 1,3\right\} ,\ \left\{
1,2,3\right\}
\end{equation*}の7つが存在するため、\(\left( 1\right) \)が成り立つこととは、集合\(A_{1},A_{2},A_{3}\subset \mathbb{R} \subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ P\left( \left( X_{i}\right) _{i\in \left\{ 1\right\}
}\in \prod_{i\in \left\{ 1\right\} }A_{i}\right) =\prod_{i\in \left\{
1\right\} }P\left( X_{i}\in A_{i}\right) \\
&&\left( b\right) \ P\left( \left( X_{i}\right) _{i\in \left\{ 2\right\}
}\in \prod_{i\in \left\{ 2\right\} }A_{i}\right) =\prod_{i\in \left\{
2\right\} }P\left( X_{i}\in A_{i}\right) \\
&&\left( c\right) \ P\left( \left( X_{i}\right) _{i\in \left\{ 3\right\}
}\in \prod_{i\in \left\{ 3\right\} }A_{i}\right) =\prod_{i\in \left\{
3\right\} }P\left( X_{i}\in A_{i}\right) \\
&&\left( d\right) \ P\left( \left( X_{i}\right) _{i\in \left\{ 1,2\right\}
}\in \prod_{i\in \left\{ 1,2\right\} }A_{i}\right) =\prod_{i\in \left\{
1,2\right\} }P\left( X_{i}\in A_{i}\right) \\
&&\left( e\right) \ P\left( \left( X_{i}\right) _{i\in \left\{ 2,3\right\}
}\in \prod_{i\in \left\{ 2,3\right\} }A_{i}\right) =\prod_{i\in \left\{
2,3\right\} }P\left( X_{i}\in A_{i}\right) \\
&&\left( f\right) \ P\left( \left( X_{i}\right) _{i\in \left\{ 1,3\right\}
}\in \prod_{i\in \left\{ 1,3\right\} }A_{i}\right) =\prod_{i\in \left\{
1,3\right\} }P\left( X_{i}\in A_{i}\right) \\
&&\left( g\right) \ \ P\left( \left( X_{i}\right) _{i\in \left\{
1,2,3\right\} }\in \prod_{i\in \left\{ 1,2,3\right\} }A_{i}\right)
=\prod_{i\in \left\{ 1,2,3\right\} }P\left( X_{i}\in A_{i}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ P\left( X_{1}\in A_{1}\right) =P\left( X_{1}\in
A_{1}\right) \\
&&\left( b\right) \ P\left( X_{2}\in A_{2}\right) =P\left( X_{2}\in
A_{2}\right) \\
&&\left( c\right) \ P\left( X_{3}\in A_{3}\right) =P\left( X_{3}\in
A_{3}\right) \\
&&\left( d\right) \ P\left( \left( X_{1},X_{2}\right) \in A_{1}\times
A_{2}\right) =P\left( X_{1}\in A_{1}\right) \cdot P\left( X_{2}\in
A_{2}\right) \\
&&\left( e\right) \ P\left( \left( X_{2},X_{3}\right) \in A_{2}\times
A_{3}\right) =P\left( X_{2}\in A_{2}\right) \cdot P\left( X_{3}\in
A_{3}\right) \\
&&\left( f\right) \ P\left( \left( X_{1},X_{3}\right) \in A_{1}\times
A_{3}\right) =P\left( X_{1}\in A_{1}\right) \cdot P\left( X_{3}\in
A_{3}\right) \\
&&\left( g\right) \ P\left( \left( X_{1},X_{2},X_{3}\right) \in A_{1}\times
A_{2}\times A_{3}\right) =P\left( X_{1}\in A_{1}\right) \cdot P\left(
X_{2}\in A_{2}\right) \cdot P\left( X_{3}\in A_{3}\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。ただ、\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)は明らかに成り立つため、実質的に要求されている条件は\(\left( c\right),\left( e\right) ,\left( f\right) ,\left( g\right) \)です。

 

有限個の離散型確率変数の独立性

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率ベクトル\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられており、その同時確率分布が同時確率質量関数\begin{equation*}
f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}によって記述されているものとします。つまり、確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値がベクトル\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)と一致する確率は、\begin{equation*}P\left( X_{1}=x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}=x_{n}\right) =f_{X_{1}\cdots
X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}であり、確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値が集合\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times
A_{n}\right) =\sum_{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots
\times A_{n}}f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}であるということです。同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)を周辺化することにより個々の確率変数\(X_{i}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots n\right) \)の確率分布を描写する周辺確率質量関数\begin{equation*}f_{X_{i}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。周辺確率質量関数の定義より、集合\(A_{i}\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( X_{i}\in A_{i}\right) =\sum_{x_{i}\in A_{i}}f_{X_{i}}\left(
x_{i}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことに注意してください。

先に定義したように、有限\(n\)個の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立であることは、\begin{equation*}\forall A_{1},\cdots ,A_{n}\subset \mathbb{R} ,\ \forall J\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \left( X_{i}\right)
_{i\in J}\in \prod_{i\in J}A_{i}\right) =\prod_{i\in J}P\left( X_{i}\in
A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これを同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)および周辺確率質量関数\(f_{X_{i}}\)を用いて以下のように表現することができます。

命題(有限個の離散型確率変数の独立性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。このとき、それぞれの確率変数\(X_{i}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の周辺確率質量関数\(f_{X_{i}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。その上で、以下の条件\begin{equation*}\forall \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}:f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =f_{X_{1}}\left(
x_{1}\right) \times \cdots \times f_{X_{n}}\left( x_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立であるための必要十分条件である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(有限個の離散型確率変数の独立性)
「コインを3回投げる」という試行を行います。\(i\ \left( =1,2,3\right) \)回目に出た面を\(\omega _{i}\)で表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \ |\
\forall i\in \left\{ 1,2,3\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\} \right\}
\end{equation*}です。各回において表が出た場合にはポイント\(1\)を得て、裏が出た場合にはポイント\(1\)を失うものとします。各回に得るポイントの関係性を分析したい場合には、各回に得るポイントを特定する3個の確率変数の多変量確率変数を利用することになります。具体的には、「1回目に得るポイント」を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と「2回目に得るポイント」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と「3回目に得るポイント」を特定する確率変数\(Z:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、確率ベクトル\(\left( X,Y,Z\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)がそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y,Z\right) \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right)
&=&\left( X\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) ,Y\left( \omega
_{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) ,Z\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 1,1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{表},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 1,1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{表},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( 1,-1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{裏},\text{表}\right)
\right) \\
\left( -1,1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{表},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 1,-1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{裏},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( -1,1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{表},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( -1,-1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{裏},\text{表}\right)
\right) \\
\left( -1,-1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right)
\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。\(\left( X,Y,Z\right) \)の値域は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) &=&\left\{ \left( x,y,z\right)
\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x,y,z\in \left\{ 1,-1\right\} \right\} \\
&=&\left\{ 1,-1\right\} ^{3}
\end{eqnarray*}です。標本空間\(\Omega \)には\(2^{3}=8\)個の標本点が属しますが、仮に、これらがいずれも同じ程度の確かさで起こり得るのであれば、同時確率質量関数\(f_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{8} & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in \left( X,Y,Z\right) \left(
\Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。確率変数\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}であり、\(X\)の周辺確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。確率変数\(Y\)の値域は、\begin{equation*}Y\left( \Omega \right) =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}であり、\(Y\)の周辺確率質量関数\(f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f_{Y}\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ y\in Y\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{equation}を定めます。確率変数\(Z\)の値域は、\begin{equation*}Z\left( \Omega \right) =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}であり、\(Z\)の周辺確率質量関数\(f_{Z}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f_{Z}\left( z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ z\in Z\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (4)
\end{equation}を定めます。\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y,z\right) \in \left( X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\frac{1}{8}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \\
&=&f_{X}\left( x\right) \cdot f_{Y}\left( y\right) \cdot f_{Z}\left(
z\right) \quad \because \left( 2\right) ,\left( 3\right) ,\left( 4\right)
\end{eqnarray*}が成り立ち、\(\left( x,y,z\right) \not\in\left( X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0\cdot 0\cdot 0 \\
&=&f_{X}\left( x\right) \cdot f_{Y}\left( y\right) \cdot f_{Z}\left(
z\right) \quad \because \left( 2\right) ,\left( 3\right) ,\left( 4\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって\(X,Y,Z\)は独立です。

確率変数どうしは独立であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(有限個の離散型確率変数の独立性)
「コインを3回投げる」という試行を行います。\(i\ \left( =1,2,3\right) \)回目に出た面を\(\omega _{i}\)で表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \ |\
\forall i\in \left\{ 1,2,3\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\} \right\}
\end{equation*}です。すべての標本点は同じ確率で起こり得るものとします。「1投目に表が出る回数」と「最初の2投において表が出る合計回数」と「3投したときに表が出る合計回数」の関係性を分析したい場合には、それらを特定する3つの確率変数に関する確率ベクトルを利用することになります。具体的には、「1投目に表が出る回数」を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と「最初の2投において表が出る合計回数」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と「3投したときに表が出る合計回数」を特定する確率変数\(Z:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、確率ベクトル\(\left( X,Y,Z\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)がそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y,Z\right) \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right)
&=&\left( X\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) ,Y\left( \omega
_{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) ,Z\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 1,2,3\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{表},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 1,2,2\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{表},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( 1,1,2\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{裏},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 0,1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{表},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 1,1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{裏},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( 0,1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{表},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( 0,0,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{裏},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 0,0,0\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right)
\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。\(\left( X,Y,Z\right) \)の値域は、\begin{equation*}\left( X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,2,3\right)
,\left( 1,2,2\right) ,\left( 1,1,2\right) ,\left( 0,1,1\right) ,\left(
1,1,1\right) ,\left( 0,1,1\right) ,\left( 0,0,1\right) ,\left( 0,0,0\right)
\right\}
\end{equation*}です。標本空間\(\Omega \)には\(2^{3}=8\)個の標本点が属しますが、仮定よりこれらはいずれも同じ程度の確かさで起こるため、同時確率質量関数\(f_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{8} & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in \left( X,Y,Z\right) \left(
\Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。確率変数\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であり、\(X\)の周辺確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。確率変数\(Y\)の値域は、\begin{equation*}Y\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,2\right\}
\end{equation*}であり、\(Y\)の周辺確率質量関数\(f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f_{Y}\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{4} & \left( if\ y=0,2\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ y=1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{equation}を定めます。確率変数\(Z\)の値域は、\begin{equation*}Z\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、\(Z\)の周辺確率質量関数\(f_{Z}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f_{Z}\left( z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{8} & \left( if\ z=0\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ z=1\right) \\
\frac{1}{4} & \left( if\ z=2\right) \\
\frac{1}{8} & \left( if\ z=3\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (4)
\end{equation}を定めます。点\(\left( 0,0,0\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に注目したとき、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)より、\begin{eqnarray*}f_{XYZ}\left( 0,0,0\right) &=&\frac{1}{8} \\
f_{X}\left( 0\right) \cdot f_{Y}\left( 0\right) \cdot f_{Z}\left( 0\right)
&=&\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{64}
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{equation*}
f_{XYZ}\left( 0,0,0\right) \not=f_{X}\left( 0\right) \cdot f_{Y}\left(
0\right) \cdot f_{Z}\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上より\(X,Y,Z\)は独立ではないこと、すなわち従属であることが明らかになりました。

 

分布関数を用いた離散型確率変数の独立性の表現

有限個の離散型確率変数の独立性は分布関数を用いて表現することもできます。具体的には以下の通りです。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率ベクトル\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられており、その同時確率分布が同時分布関数\begin{equation*}
F_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}によって記述されているものとします。つまり、確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値がベクトル\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)以下である確率は、\begin{eqnarray*}P\left( X_{1}\leq x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\leq x_{n}\right)
&=&F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
&=&\sum_{y_{1}\leq x_{1}}\cdots \sum_{y_{n}\leq x_{n}}f_{X_{1}\cdots
X_{n}}\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right)
\end{eqnarray*}です。同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)を周辺化することにより周辺化することにより個々の確率変数\(X_{i}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots n\right) \)の確率分布を描写する周辺分布関数\begin{equation*}F_{X_{i}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。周辺分布関数の定義より、点\(x_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}F_{X_{i}}\left( x_{i}\right) &=&P\left( X_{i}\leq x_{i}\right) \\
&=&\sum_{y_{i}\leq x_{i}}f_{X_{i}}\left( y_{i}\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つことに注意してください。

有限\(n\)個の離散型確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立であることは、同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)および周辺分布\(F_{X_{i}}\)を用いて以下のように表現することができます。

命題(有限個の離散型確率変数の独立性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。このとき、それぞれの確率変数\(X_{i}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の周辺分布関数\(F_{X_{i}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。その上で、以下の条件\begin{equation*}\forall \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}:F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =F_{X_{1}}\left(
x_{1}\right) \times \cdots \times F_{X_{n}}\left( x_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立であるための必要十分条件である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録