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離散型確率変数の期待値の線型性

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離散型確率変数の定数倍の期待値

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。さらに実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( cX\right) \left( \omega \right) =cX\left( \omega \right)
\end{equation*}を定める新たな確率変数\(cX:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(X\)の確率分布が確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されており、その場合に\(X\)の期待値\(E\left( X\right) \)が存在する場合、\(cX\)の期待値\(E\left(cX\right) \)が存在することが保証されるとともに、両者の間には、\begin{equation*}E\left( cX\right) =cE\left( X\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(離散型確率変数の定数倍の期待値)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)および実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから確率変数\(cX:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(X\)の確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のもとで\(X\)の期待値が存在する場合、\(cX\)の期待値もまた存在し、\begin{equation*}E\left( cX\right) =cE\left( X\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明

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例(離散型確率変数の定数倍の期待値)
離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation}X\left( \omega \right) =1 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。つまり、\(X\)は定数確率変数であるということです。したがって、\begin{equation}E\left( X\right) =1 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で確率変数\(cX:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これはそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( cX\right) \left( \omega \right) &=&cX\left( \omega \right) \quad
\because cX\text{の定義} \\
&=&c\cdot 1\quad \because \left( 1\right) \\
&=&c
\end{eqnarray*}を定める定数確率変数であるため、その期待値は、\begin{equation}
E\left( cX\right) =c \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。一方、\(cX\)を\(X\)の定数倍とみなした上で先の命題を用いると、\begin{eqnarray*}E\left( cX\right) &=&cE\left( X\right) \quad \because \text{先の命題} \\
&=&c\cdot 1\quad \because \left( 2\right) \\
&=&c
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\left( 3\right) \)と整合的です。つまり、上の命題は定数確率変数の期待値に関する主張を特殊例として含んでいます。

 

離散型確率変数の和の期待値

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( X+Y\right) \left( \omega \right) =X\left( \omega \right) +Y\left(
\omega \right)
\end{equation*}を定める新たな確率変数\(X+Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(X\)の確率分布が確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって、\(Y\)の確率分布が確率関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によってそれぞれ記述されているとともに、\(X,Y\)の期待値\(E\left( X\right),E\left( Y\right) \)がともに存在する場合、\(X+Y\)の期待値\(E\left( X+Y\right) \)が存在することが保証されるとともに、それらの間には、\begin{equation*}E\left( X+Y\right) =E\left( X\right) +E\left( Y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(離散型確率変数の和の期待値)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから確率変数\(X+Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(X\)の確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のもとで\(X\)の期待値が存在し、\(Y\)の確率関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のもとで\(Y\)の期待値が存在する場合、\(X+Y\)の期待値もまた存在し、\begin{equation*}E\left( X+Y\right) =E\left( X\right) +E\left( Y\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明

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例(離散型確率変数の和の期待値)
離散型の確率変数\(X,Y:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、ある\(c\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation}Y\left( \omega \right) =c \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つものとします。つまり、\(Y\)は定数確率変数であるため、\begin{equation}E\left( Y\right) =c \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。確率変数\(X+Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X+Y\right) \left( \omega \right) &=&X\left( \omega \right) +Y\left(
\omega \right) \quad \because X+Y\text{の定義} \\
&=&X\left( \omega \right) +c\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。一方、先の命題より、\begin{eqnarray*}
E\left( X+Y\right) &=&E\left( X\right) +E\left( Y\right) \quad \because
\text{先の命題} \\
&=&E\left( X\right) +c\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、確率変数\(X\)と定数確率変数の和として定義される確率変数の期待値は、\(X\)の期待値と定数の和と一致します。

任意かつ有限個の離散型確率変数についても同様の主張が成立します。つまり、確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と有限\(n\)個の離散型確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( X_{1}+\cdots +X_{n}\right) \left( \omega \right) =X_{1}\left( \omega
\right) +\cdots +X_{n}\left( \omega \right)
\end{equation*}を定める新たな確率変数\(X_{1}+\cdots +X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能ですが、\(X_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の期待値\(E\left(X_{i}\right) \)が存在する場合、\(X_{1}+\cdots +X_{n}\)の期待値\(E\left(X_{1}+\cdots +X_{n}\right) \)もまた存在し、それらの間には、\begin{equation*}E\left( X_{1}+\cdots +X_{n}\right) =E\left( X_{1}\right) +\cdots +E\left(
X_{n}\right)
\end{equation*}という関係が成立します。証明では確率変数の個数\(n\)に関する数学的帰納法を用います。

命題(離散型確率変数の和の期待値)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X_{i}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから確率変数\(X_{1}+\cdots +X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。任意の\(i\)について、\(X_{i}\)の確率関数\(f_{i}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のもとで\(X_{i}\)の期待値が存在する場合、\(X_{1}+\cdots +X_{n}\)の期待値もまた存在し、\begin{equation*}E\left( X_{1}+\cdots +X_{n}\right) =E\left( X_{1}\right) +\cdots +E\left(
X_{n}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明

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以上の命題を利用することにより、期待値の導出プロセスを大幅に簡略化することができます。以下が具体例です。

例(離散型確率変数の和の期待値)
「コインを有限\(n\)回投げて各回に出た目を観察する」という試行において、表が出た回数を与える確率変数\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}となります。各回のコイン投げにおいて表が確率\(p\)で出る(裏が確率\(1-p\)で出る)のであれば、\(X\)の確率分布を描写する確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{n}{x}p^{x}\left( 1-p\right) ^{n-x} & \left( if\ x\in X\left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。したがって、\(X\)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }xf\left( x\right)
\quad \because \text{期待値の定義} \\
&=&\sum_{x=0}^{n}x\binom{n}{x}p^{x}\left( 1-p\right) ^{n-x}\quad \because
\left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
E\left( X\right) =\sum_{x=0}^{n}x\binom{n}{x}p^{x}\left( 1-p\right) ^{n-x}
\quad \cdots (2)
\end{equation}となります。まずは、先の命題を利用せずに\(\left( 2\right) \)を具体的に求めてみましょう。まず、二項定理より、\begin{equation*}\left( 1+y\right) ^{n}=\sum_{x=0}^{n}\binom{n}{x}y^{x}
\end{equation*}を得ます。両辺を微分すると、\begin{equation*}
n\left( 1+y\right) ^{n-1}=\sum_{x=0}^{n}\binom{n}{x}xy^{x-1}
\end{equation*}を得ます。さらに両辺に\(y\)をかけると、\begin{equation}ny\left( 1+y\right) ^{n-1}=\sum_{x=0}^{n}\binom{n}{x}xy^{x} \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。\(q=1-p\)とおいた上で、さらに\(y=\frac{p}{q}\)とおくと、\begin{eqnarray*}y\left( 1+y\right) ^{n-1} &=&\frac{p}{q}\left( 1+\frac{p}{q}\right)
^{n-1}\quad \because y=\frac{p}{q} \\
&=&\frac{p}{q}\left( \frac{p+q}{q}\right) ^{n-1} \\
&=&\frac{p}{q}\left( \frac{1}{q}\right) ^{n-1}\quad \because q=1-p \\
&=&\frac{p}{q^{n}}
\end{eqnarray*}となるため、これと\(\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}\frac{np}{q^{n}}=\sum_{x=0}^{n}x\binom{n}{x}\frac{p^{x}}{q^{x}}
\end{equation*}を得ます。両辺に\(q^{n}\)をかけると、\begin{equation*}np=\sum_{x=0}^{n}x\binom{n}{x}p^{x}q^{n-x}
\end{equation*}を得ます。\(q=1-p\)を踏まえると、これはさらに、\begin{equation*}np=\sum_{x=0}^{n}x\binom{n}{x}p^{x}\left( 1-p\right) ^{n-x}
\end{equation*}となります。これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation}E\left( X\right) =np \quad \cdots (4)
\end{equation}であることが明らかになりました。続いて、先の命題を利用して\(\left( 2\right) \)を具体的に求めてみましょう。それぞれの\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して、\(i\)回目に表が出た回数を与える確率変数\(X_{i}\)を定義すると、その値域は、\begin{equation*}X_{i}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}となります。各回のコイン投げにおいて表が確率\(p\)で出る(裏が確率\(1-p\)で出る)のであれば、\(X_{i}\)の確率分布を描写する確率関数\(f_{i}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{i}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1-p & \left( if\ x=0\right) \\
p & \left( if\ x=1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。したがって、\(X_{i}\)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( X_{i}\right) &=&\sum_{x\in X_{i}\left( \Omega \right) }xf_{i}\left(
x\right) \quad \because \text{期待値の定義} \\
&=&0\left( 1-p\right) +1p \\
&=&p
\end{eqnarray*}となります。\(X\)および\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の定義より、\begin{equation*}X=X_{1}+\cdots +X_{n}
\end{equation*}という関係が明らかに成り立つため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
E\left( X\right) &=&E\left( X_{1}\right) +\cdots +E\left( X_{n}\right) \\
&=&np
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは\(\left( 4\right) \)と整合的です。先の命題を利用することにより、\(X\)の期待値をより簡単に求めることができました。

次回は離散型確率変数の分散について解説します。

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離散型確率変数の期待値

確率変数がとり得るそれぞれの値に対して、その値が実現する確率との積をとった上で、得られた積の総和をとると期待値と呼ばれる指標が得られます。

ベルヌーイ分布

ベルヌーイ分布

ある確率変数が1と0の二つの値のみをとり得るとともに、1を値としてとる確率がpで、0を値としてとる確率が1-pである場合には、その確率変数はパラメーターpのベルヌーイ分布にしたがうと言います。

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