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PROBABILITY DISTRIBUTION

離散型確率変数の確率関数(確率質量関数)

目次

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確率変数の確率分布

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられている場合、\(X\)の値がある点集合\(A\subset \mathbb{R} \)に属する確率を、\begin{equation*}P\left( X\in A\right)
\end{equation*}と表記するものと定めます。これをどのように評価すればよいでしょうか。確率変数\(X\)はそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega\)に対して実数\(X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定めるため、「確率変数\(X\)の値が点集合\(A\)に属する」という事象は、\(X\left( \omega \right) \in A\)を満たす標本点\(\omega \)からなる集合\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\right\}
\end{equation*}として表現されます。したがって、「確率変数\(X\)の値が点集合\(A\)に属する」という事象が起こる確率は、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in A\right\} \right)
\end{equation*}となります。

それぞれの点集合\(A\subset \mathbb{R} \)に対して確率\(P\left( X\in A\right) \)が明らかになっている場合には、そのような情報の集まりを確率変数\(X\)の確率分布(probability distribution)と呼びます。確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられている場合には、すなわち試行によって起こり得るそれぞれの事象の確率が分かっている場合には、何らかの確率変数を導入したとき、その確率変数の確率分布もまた明らかになるということです。

 

離散型の確率変数の確率関数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)の値域\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{equation*}が有限集合または可算集合であるということです。繰り返しになりますが、確率変数\(X\)の値が点集合\(A\subset \mathbb{R} \)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in A\right\} \right)
\end{equation*}です。より特殊なケースとして、確率変数\(X\)が特定の値\(x\in \mathbb{R} \)をとる確率を、\begin{equation*}P\left( X=x\right)
\end{equation*}と表記した上で、これを\(X\)の値が1点集合\(\left\{x\right\} \)に属する確率と同一視します。つまり、\begin{eqnarray*}P\left( X=x\right) &=&P\left( X\in \left\{ x\right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in \left\{
x\right\} \right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) =x\right\}
\right)
\end{eqnarray*}です。以上を踏まえた上で、それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、離散型の確率変数\(X\)が値\(x\)をとる確率\begin{equation*}f\left( x\right) =P\left( X=x\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義し、これを\(X\)の確率関数(probability function)や確率質量関数(probability mass function)などと呼びます。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)を構成する確率測度\(P\)もまた確率関数と呼ばれることもありますが、これは上の意味での確率関数\(f\)とは異なる概念です。確率関数という用語がどちらの意味で使われているかは文脈から判断する必要があります。

例(確率関数)
「コインを3回投げて表が出た回数を観察する」という試行において、1回目に出た面を\(x_{1}\)で、2回目に出た面を\(x_{2}\)で、3回目に出た面を\(x_{3}\)でそれぞれ表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \ |\ \forall i\in \left\{
1,2,3\right\} :x_{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\right\}
\end{equation*}となります。それぞれの標本点\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in\Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \text{において表が出た回数}
\end{equation*}を定める確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、その値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,2,3\right\}
\end{equation*}であるため\(X\)は離散型の確率変数です。標本空間には\(2^{3}\)個の標本点が属しますが、仮に、これらがいずれも同じ程度の確かさで起こり得るのであれば、確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{3}{x}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3} & \left( if\ x=0,1,2,3\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

例(確率関数)
「表が出るまでコインを投げ続ける」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{\text{表},\text{裏表},\text{裏裏表},\text{裏裏裏表},\cdots \}
\end{equation*}となります。それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega \text{において初めて表が出た回数}
\end{equation*}を定める確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、その値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3,\cdots \right\}
\end{equation*}であるため\(X\)は離散型の確率変数です。仮に、各回のコイン投げにおいて表と裏が等確率で出るのであれば、確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left( \frac{1}{2}\right) ^{x-1}\left( \frac{1}{2}\right) & \left( if\
x=1,2,3,\cdots \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

例(定数確率変数の確率関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて定数関数であるような確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、ある\(c\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。\(X\)の確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=c\right) \\
0 & \left( if\ x\not=c\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

例(ほとんど確実に一定の確率変数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。先の例とは異なり、\(X\)は定数関数である必要はありません。\(X\)の確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、ある\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=c\right) \\
0 & \left( if\ x\not=c\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}という形で表すことができる場合、このような確率変数\(X\)をほとんど確実に一定の確率変数(almost surely randomvariable)と呼びます。定数確率変数とほとんど確実に一定の確率変数は形式的に同一の確率関数を持っていますが、厳密には、これらは異なる種類の確率変数です。定数確率変数は定数関数である一方、ほとんど確実に一定の確率変数は定数関数である必要はなく、異なる値をとり得ます。ただ、実際に実現する値は1つの値だけです。

 

確率分布としての確率関数

繰り返しになりますが、離散型の確率変数\(X\)の確率関数\(f\)が与えられている場合、確率変数\(X\)が値\(x\in \mathbb{R} \)をとる確率に関して、\begin{equation*}P\left( X=x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、確率変数\(X\)の値が点集合\(A\subset \mathbb{R} \)に属する確率を、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =\sum_{x\in A}f\left( x\right)
\end{equation*}という形で表すことができます。つまり、点集合\(A\)に属するそれぞれの値\(x\)に対する確率\(f\left( x\right) \)をとり、それらの総和をとれば\(P\left( X\in A\right) \)が得られるということです。

確率関数\(f\)が与えられれば任意の点集合\(A\subset \mathbb{R} \)に対する確率\(P\left( X\in A\right) \)を以上の要領で特定できるため、確率関数もまた離散型確率変数の確率分布を表現する手段の1つであるということになります。

命題(確率分布としての確率関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。点集合\(A\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =\sum_{x\in A}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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確率関数の非負性

確率関数は非負の実数を値としてとります。特に、確率変数の値域に属さない値に対して、確率関数はゼロを値として定めます。

命題(確率関数の非負性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。このとき、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(x\not\in X\left( \Omega \right) \)である場合には、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を満たす。

証明

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確率関数の値の総和

確率変数がとり得るそれぞれの値に対して確率関数が定める値の総和をとると\(1\)になります。

命題(確率関数の値の総和)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。このとき、\begin{equation*}\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }f\left( x\right) =1
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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公理主義にもとづく確率関数の定義

確率関数\(f\)が満たす性質を明らかにしましたが、得られた結果を整理します。

命題(確率関数の性質)

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。このとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall A\in 2^{\mathbb{R} }:P\left( X\in A\right) =\sum_{x\in A}f\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :0\leq f\left( x\right) \leq 1 \\
&&\left( c\right) \ \sum_{x\in X\left( \Omega \right) }f\left( x\right) =1
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つ。

以上の性質を命題とみなすのではなく、公理主義的な立場から、以上の性質を満たす関数を確率関数と定義する考え方もあります。

例(確率関数)
「コインを3回投げて表が出た回数を観察する」という試行に関連して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{3}{x}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3} & \left( if\ x=0,1,2,3\right) \\
0 & \left( otherwise\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を満たす確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を先に定義しましたが、\begin{eqnarray*}\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }f\left( x\right) &=&f\left( 0\right)
+f\left( 1\right) +f\left( 2\right) +f\left( 3\right) \\
&=&\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成立しています。例えば、「表が奇数回出る」という事象の確率は、\begin{eqnarray*}
\sum_{x\in \left\{ 1,3\right\} }f\left( x\right) &=&f\left( 1\right)
+f\left( 3\right) \\
&=&\frac{3}{8}+\frac{1}{8} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となり、「表が\(2\)回以上出る」という事象の確率は、\begin{eqnarray*}\sum_{x\in \left\{ 2,3\right\} }f\left( x\right) &=&f\left( 2\right)
+f\left( 3\right) \\
&=&\frac{3}{8}+\frac{1}{8} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。

例(確率関数)
「表が出るまでコインを投げ続ける」という試行に関連して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left( \frac{1}{2}\right) ^{x-1}\left( \frac{1}{2}\right) & \left( if\
x=1,2,3,\cdots \right) \\
0 & \left( otherwise\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を満たす確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を先に定義しましたが、\begin{eqnarray*}\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }f\left( x\right) &=&\sum_{x=1}^{\infty }
\left[ \left( \frac{1}{2}\right) ^{x-1}\left( \frac{1}{2}\right) \right] \\
&=&\sum_{x=1}^{\infty }\left( \frac{1}{2}\right) ^{x} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成立しています。例えば、「3回までに表が出る」という事象の確率は、\begin{eqnarray*}
\sum_{x\in \left\{ 1,2,3\right\} }f\left( x\right) &=&f\left( 1\right)
+f\left( 2\right) +f\left( 3\right) \\
&=&\frac{1}{2}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}
\\
&=&\frac{7}{8}
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(確率関数)
「2つのサイコロを振って出た目を観察する」という試行において、出た目の差の絶対値を与える確率変数を定式化した上で、その値域を明らかにしてください。さらに、サイコロはいずれも偏りがなく、1から6の目が等確率で出るという前提のもと、先の確率変数の確率分布を描写する確率関数を定式化してください。ただし、2つのサイコロは区別可能であるものとします。

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問題(確率関数)
離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であるものとします。関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
cx^{2} & \left( if\ x=1,2,3\right) \\
0 & \left( otherwise\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)が確率関数であるために\(c\)が満たすべき条件を明らかにしてください。
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問題(確率関数)
離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3,\cdots \right\}
\end{equation*}であるものとします。関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
c\left( \frac{1}{4}\right) ^{x} & \left( if\ x=1,2,3,\cdots \right) \\
0 & \left( otherwise\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が確率関数であるために\(c\)が満たすべき条件を明らかにしてください。
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確率変数
離散型の確率変数

それぞれの標本点に対して実数を1つずつ割り当てる写像を確率変数と呼びます。値域が有限集合または可算集合であるような確率変数を離散型の確率変数と呼びます。

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確率変数がとり得るそれぞれの値に対して、その値が実現する確率との積をとった上で、得られた積の総和をとると期待値と呼ばれる指標が得られます。

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ある確率変数が1と0の二つの値のみをとり得るとともに、1を値としてとる確率がpで、0を値としてとる確率が1-pである場合には、その確率変数はパラメーターpのベルヌーイ分布にしたがうと言います。

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条件付き確率

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DISCUSSION

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