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PROBABILITY DISTRIBUTION

確率関数(確率質量関数)

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確率関数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられている場合には、それぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)が起こる確率\(P\left( A\right) \in \mathbb{R} \)が明らかです。加えて、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられている場合には、\(X\)の値がある点集合\(A\subset \mathbb{R} \)に属する確率を特定できます。具体的には、確率変数\(X\)の値が点集合\(A\)に属する確率を\(P\left( X\in A\right) \)で表記し、これを、\(X\left( \omega \right) \in A\)を満たすような標本点\(\omega \)からなる事象の確率として定義します。つまり、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in A\right\} \right)
\end{equation*}です。すべての点集合\(A\subset \mathbb{R} \)に対して確率\(P\left( X\in A\right) \)がそれぞれ明らかになっている場合には、そのような情報の集まりを確率変数\(X\)の確率分布(probability distribution)と呼びます。つまり、確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられている場合には、すなわち試行によって起こり得るそれぞれの事象の確率が分かっている場合には、何らかの確率変数を導入したとき、その確率変数の確率分布もまた明らかになるということです。

確率変数\(X\)がある値\(x\in \mathbb{R} \)をとる確率を\(P\left( X=x\right) \)と表記し、これを\(X\)の値が点集合\(\left\{ x\right\} \)に属する確率\(P\left( X\in \left\{ x\right\} \right) \)と同一視します。つまり、\begin{eqnarray*}P\left( X=x\right) &=&P\left( X\in \left\{ x\right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in \left\{
x\right\} \right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) =x\right\}
\right)
\end{eqnarray*}です。確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)の値域\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{equation*}が有限集合または可算集合であるということです。その上で、それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、確率変数\(X\)が値\(x\)をとる確率\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&P\left( X=x\right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) =x\right\}
\right)
\end{eqnarray*}を値として定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義し、これを\(X\)の確率関数(probability function)や確率質量関数(probability mass function)などと呼びます。

例(確率関数)
「コインを3回投げて表が出た回数を観察する」という試行において、1回目に出た面を\(x_{1}\)で、2回目に出た面を\(x_{2}\)で、3回目に出た面を\(x_{3}\)でそれぞれ表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \ |\ \forall i\in \left\{
1,2,3\right\} :x_{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\right\}
\end{equation*}となります。それぞれの標本点\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in\Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \text{において表が出た回数}
\end{equation*}を値として定める確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、その値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,2,3\right\}
\end{equation*}であるため\(X\)は離散型の確率変数です。標本空間には\(2^{3}\)個の標本点が属しますが、これらがいずれも同じ程度の確かさで起こり得るのであれば、確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{3}{x}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3} & \left( if\ x=0,1,2,3\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
例(確率関数)
「表が出るまでコインを投げ続ける」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{\text{表},\text{裏表},\text{裏裏表},\text{裏裏裏表},\cdots \}
\end{equation*}となります。それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega \text{において初めて表が出た回数}
\end{equation*}を値として定める確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、その値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3,\cdots \right\}
\end{equation*}であるため\(X\)は離散型の確率変数です。各回のコイン投げにおいて表と裏が等確率で出るのであれば、確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left( \frac{1}{2}\right) ^{x-1}\left( \frac{1}{2}\right) & \left( if\
x=1,2,3,\cdots \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
例(定数確率変数の確率関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と定数確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、ある\(c\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。\(X\)の確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=c\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
例(ほとんど確実に一定の確率変数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。\(X\)の確率変数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、ある\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=c\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}という形で表すことができるとき、このような確率変数\(X\)をほとんど確実に一定の確率変数(almost surely randomvariable)と呼びます。定数確率変数とほとんど確実に一定の確率変数は形式的に同一の確率関数を持っていますが、厳密には、これらは異なるタイプの確率変数です。定数確率変数は定数関数である一方、ほとんど確実に一定の確率変数は定数関数である必要はなく、異なる値をとり得ます。ただ、実際に実現する値は1つの値だけです。

 

確率分布としての確率関数

離散型の確率変数\(X\)に対して確率関数\(f\)が定義される場合、以下のようにして任意の点集合\(A\subset \mathbb{R} \)に対する確率\(P\left( X\in A\right) \)を特定できます。つまり、確率関数は離散型確率変数の確率分布の1つの表現であるということです。

命題(確率分布としての確率関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)に対して定義される確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、任意の\(A\subset \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =\sum_{x\in A}f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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確率関数の非負性

確率関数は非負の実数を値としてとります。特に、確率変数の値域に属さない値に対して、確率関数はゼロを値として定めます。

命題(確率関数の非負性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)に対して定義される確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}0\leq f\left( x\right) \leq 1
\end{equation*}を満たす。特に、\(x\not\in X\left( \Omega \right) \)である場合には、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を満たす。
証明

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確率関数の値の総和

確率変数がとり得るそれぞれの値に対して確率関数が定める値の総和をとると\(1\)になります。

命題(確率関数の値の総和)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)に対して定義される確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }f\left( x\right) =1
\end{equation*}を満たす。
証明

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公理主義にもとづく確率関数の定義

確率関数\(f\)が満たす性質を明らかにしましたが、得られた結果を整理します。

命題(確率関数の性質)

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)に対して定義される確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall A\in 2^{\mathbb{R} }:P\left( X\in A\right) =\sum_{x\in A}f\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :0\leq f\left( x\right) \leq 1 \\
&&\left( c\right) \ \sum_{x\in X\left( \Omega \right) }f\left( x\right) =1
\end{eqnarray*}を満たす。

以上の性質を命題とみなすのではなく、逆に、以上の性質を満たす関数を確率関数と定義する場合もあります。つまり、公理主義的な立場から議論を行う場合、以上の3つの性質を確率関数という概念を規定する公理として位置づけるということです。

例(確率関数)
「コインを3回投げて表が出た回数を観察する」という試行に関連して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{3}{x}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3} & \left( if\ x=0,1,2,3\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たす確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を先に定義しましたが、\begin{eqnarray*}\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }f\left( x\right) &=&f\left( 0\right)
+f\left( 1\right) +f\left( 2\right) +f\left( 3\right) \\
&=&\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成立しています。例えば、「表が奇数回出る」という事象の確率は、\begin{eqnarray*}
\sum_{x\in \left\{ 1,3\right\} }f\left( x\right) &=&f\left( 1\right)
+f\left( 3\right) \\
&=&\frac{3}{8}+\frac{1}{8} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となり、「表が\(2\)回以上出る」という事象の確率は、\begin{eqnarray*}\sum_{x\in \left\{ 2,3\right\} }f\left( x\right) &=&f\left( 2\right)
+f\left( 3\right) \\
&=&\frac{3}{8}+\frac{1}{8} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。
例(確率関数)
「表が出るまでコインを投げ続ける」という試行に関連して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left( \frac{1}{2}\right) ^{x-1}\left( \frac{1}{2}\right) & \left( if\
x=1,2,3,\cdots \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たす確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を先に定義しましたが、\begin{eqnarray*}\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }f\left( x\right) &=&\sum_{x=1}^{\infty }
\left[ \left( \frac{1}{2}\right) ^{x-1}\left( \frac{1}{2}\right) \right] \\
&=&\sum_{x=1}^{\infty }\left( \frac{1}{2}\right) ^{x} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成立しています。例えば、「3回までに表が出る」という事象の確率は、\begin{eqnarray*}
\sum_{x\in \left\{ 1,2,3\right\} }f\left( x\right) &=&f\left( 1\right)
+f\left( 2\right) +f\left( 3\right) \\
&=&\frac{1}{2}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}
\\
&=&\frac{7}{8}
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(確率関数)
「2つのサイコロを振って出た目を観察する」という試行において、出た目の差の絶対値を与える確率変数を定式化した上で、その値域を明らかにしてください。さらに、サイコロはいずれも偏りがなく、1から6の目が等確率で出るという前提のもと、先の確率変数の確率分布を描写する確率関数を定式化してください。ただし、2つのサイコロは区別可能であるものとします。
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問題(確率関数)
離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であるものとします。関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
cx^{2} & \left( if\ x=1,2,3\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)が確率関数であるために\(c\)が満たすべき条件を明らかにしてください。
証明

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問題(確率関数)
離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3,\cdots \right\}
\end{equation*}であるものとします。関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
c\left( \frac{1}{4}\right) ^{x} & \left( if\ x=1,2,3,\cdots \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が確率関数であるために\(c\)が満たすべき条件を明らかにしてください。
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次回は離散型の分布関数について解説します。

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DISCUSSION

質問とコメント

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