確率ベクトルとボレル可測関数の合成関数は確率変数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および確率ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられているものとします。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義された多変数のボレル可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。
確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)の値域が関数\(f\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{X}\left( \Omega \right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ \boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(\omega \in\Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( f\circ \boldsymbol{X}\right) \left( \omega \right) =f\left(
\boldsymbol{X}\left( \omega \right) \right)
\end{equation*}を値として定めます。
以上の状況において、合成関数\(f\circ \boldsymbol{X}\)は確率変数になることが保証されます。確率ベクトルと多変数ボレル可測関数の合成関数は確率変数になるということです。
命題(確率ベクトルとボレル可測関数の合成関数は確率変数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および確率ベクトル\(\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとする。また、ボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されたボレル可測関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(\boldsymbol{X}\left( \Omega \right)\subset Y\)の場合には合成関数\(f\circ \boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるとともに、これは確率変数である。
例(確率ベクトルとボレル可測関数の合成関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および確率ベクトル\(\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^{n} \)が与えられているものとします。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)はボレル集合であるため、ユークリッド空間上に定義されたボレル可測関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)をとることができます。この場合、合成関数\begin{equation*}f\circ \boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であるとともに、先の命題よりこれは確率変数になります。
例(同時確率変数とボレル可測関数の合成関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)が与えられているものとします。また、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上のボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)上に定義された2変数のボレル可測関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。\(\left( X,Y\right) \left(\Omega \right) \subset Y\)の場合には合成関数\begin{equation*}f\circ \left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であるとともに、先の命題よりこれは確率変数です。
確率ベクトルと連続関数の合成関数は確率変数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および確率ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられているものとします。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は\(Y\)上において連続関数であるものとします。
確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)の値域が関数\(f\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{X}\left( \Omega \right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ \boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(\omega \in\Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( f\circ \boldsymbol{X}\right) \left( \omega \right) =f\left(
\boldsymbol{X}\left( \omega \right) \right)
\end{equation*}を値として定めます。
以上の状況において、合成関数\(f\circ \boldsymbol{X}\)は確率変数になることが保証されます。確率ベクトルと多変数の連続関数の合成関数は確率変数になるということです。
命題(確率ベクトルと連続関数の合成関数は確率変数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および確率ベクトル\(\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとする。また、ボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義された連続関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(\boldsymbol{X}\left( \Omega \right)\subset Y\)の場合には合成関数\(f\circ \boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるとともに、これは確率変数である。
例(確率ベクトルと連続関数の合成関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および確率ベクトル\(\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)はボレル集合であるため、ユークリッド空間上に定義された連続関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)をとることができます。この場合、合成関数\begin{equation*}f\circ \boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であるとともに、先の命題よりこれは確率変数になります。
例(同時確率変数と連続関数の合成関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとします。また、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上のボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)上に定義された2変数の連続関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。\(\left( X,Y\right) \left(\Omega \right) \subset Y\)の場合には合成関数\begin{equation*}f\circ \left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であるとともに、先の命題よりこれは確率変数です。
例(確率ベクトルと連続関数の合成関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および確率ベクトル\(\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。ノルム関数\(\left\Vert \cdot \right\Vert \)の定義域は\(\mathbb{R} ^{n}\)であるとともに、\begin{equation*}\boldsymbol{X}\left( \Omega \right) \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つため合成関数\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{X}\left( \omega \right) \right\Vert :\Omega
\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(\omega \in\Omega \)に対して、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{X}\left( \omega \right) \right\Vert =\sqrt{\left[
X_{1}\left( \omega \right) \right] ^{2}+\cdots +\left[ X_{n}\left( \omega
\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を値として定めます。ノルム関数は連続関数であるため、先の命題より\(\left\Vert \boldsymbol{X}\left(\omega \right) \right\Vert \)は確率変数です。
演習問題
問題(同時確率変数と連続関数の合成関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)が与えられているものとします。その上で、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}f\left( \omega \right) =\left[ X\left( \omega \right) \right] ^{2}+\left[
Y\left( \omega \right) \right] ^{2}
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
f:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)が確率変数であることを示してください。
問題(同時確率変数と連続関数の合成関数)
2つの投資案件からのリターンが同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)として表現されているものとします。ポートフォリオからのリターンは、定数\(\alpha \in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}\alpha W+\left( 1-\alpha \right) Y
\end{equation*}と表現されます。これが確率変数であることを示してください。
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