確率ベクトルとボレル可測なベクトル値関数の合成関数は確率ベクトル
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および確率ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられているものとします。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義された多変数のボレル可測ベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{y}\in Y\)に対して以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{y}\right) =\left( f_{1}\left( \boldsymbol{y}\right) ,\cdots ,f_{m}\left( \boldsymbol{y}\right) \right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。
確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)の値域がベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{X}\left( \Omega \right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\circ \boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(\omega \in\Omega \)に対して、以下のベクトル\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{f}\circ \boldsymbol{X}\right) \left( \omega \right) &=&\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{X}\left( \omega \right) \right) \\
&=&\left( f_{1}\left( \boldsymbol{X}\left( \omega \right) \right) ,\cdots
,f_{m}\left( \boldsymbol{X}\left( \omega \right) \right) \right)
\end{eqnarray*}を値として定めます。
以上の状況において、合成関数\(\boldsymbol{f}\circ \boldsymbol{X}\)は確率ベクトルになることが保証されます。確率ベクトルと多変数のボレル可測ベクトル値関数の合成関数は確率ベクトルになるということです。
\end{equation*}が定義可能であるとともに、先の命題よりこれは確率ベクトルになります。
\end{equation*}が定義可能であるとともに、先の命題よりこれは確率ベクトルになります。
\end{equation*}が定義可能であるとともに、先の命題よりこれは同時確率変数です。
確率ベクトルと連続なベクトル値関数の合成関数は確率ベクトル
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および確率ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられているものとします。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義された多変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(\boldsymbol{f}\)は\(Y\)上において連続関数であるものとします。
確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)の値域がベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{X}\left( \Omega \right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\circ \boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(\omega \in\Omega \)に対して、以下のベクトル\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{f}\circ \boldsymbol{X}\right) \left( \omega \right) &=&\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{X}\left( \omega \right) \right) \\
&=&\left( f_{1}\left( \boldsymbol{X}\left( \omega \right) \right) ,\cdots
,f_{m}\left( \boldsymbol{X}\left( \omega \right) \right) \right)
\end{eqnarray*}を値として定めます。
以上の状況において、合成関数\(\boldsymbol{f}\circ \boldsymbol{X}\)は確率ベクトルになることが保証されます。確率ベクトルと多変数の連続なベクトル値関数の合成関数は確率ベクトルになるということです。
\end{equation*}が定義可能であるとともに、先の命題よりこれは確率ベクトルになります。
\end{equation*}が定義可能であるとともに、先の命題よりこれは確率ベクトルになります。
\end{equation*}が定義可能であるとともに、先の命題よりこれは同時確率変数です。
\begin{array}{c}
x^{2}+y^{2} \\
\sin \left( x\right) \\
e^{y}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を値として定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)はボレル集合\(\mathbb{R} ^{2}\)上に定義された連続関数であるため、先の命題より合成関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}\circ \left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}は確率ベクトルです。これはそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、以下のベクトル\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{f}\circ \left( X,Y\right) \right) \left( \omega \right)
&=&\boldsymbol{f}\left( \left( X,Y\right) \left( \omega \right) \right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega \right)
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left[ X\left( \omega \right) \right] ^{2}+\left[ Y\left( \omega \right) \right] ^{2} \\
\sin \left( X\left( \omega \right) \right) \\
e^{Y\left( \omega \right) }\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を値として定めます。
演習問題
\begin{array}{c}
\left[ X\left( \omega \right) \right] ^{2} \\
\left[ Y\left( \omega \right) \right] ^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定義します。\(\boldsymbol{f}\)が同時確率変数であることを示してください。
\begin{array}{c}
X\left( \omega \right) +Y\left( \omega \right) \\
Y\left( \omega \right) \cdot Z\left( \omega \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定義します。\(\boldsymbol{f}\)が同時確率変数であることを示してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】