定値写像は確率変数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および定値写像\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)が任意の標本点\(\omega\in \Omega \)に対して定める値は、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて\begin{equation*}X\left( \omega \right) =c
\end{equation*}と表されるということです。\(X\)は確率変数です。
命題（定値写像は確率変数）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および定値写像\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。つまり、\(X\)が\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =c
\end{equation*}と表される。\(X\)は確率変数である。
\end{equation*}と表される。\(X\)は確率変数である。
例（定値写像は確率変数）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとします。写像\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)は任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)は定値写像であるため、先の命題より\(X\)は確率変数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)は定値写像であるため、先の命題より\(X\)は確率変数です。
定値写像は拡大実数値確率変数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および拡大実数値をとる定値写像\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)が任意の標本点\(\omega\in \Omega \)に対して定める値は、拡大実数であるような定数\(c\in \overline{\mathbb{R} }\)を用いて\begin{equation*}X\left( \omega \right) =c
\end{equation*}と表されるということです。\(X\)は拡大実数値確率変数です。
命題（定値写像は拡大実数値確率変数）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および定値写像\(X:\Omega\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとする。つまり、\(X\)が\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、定数\(c\in \overline{\mathbb{R} }\)を用いて、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =c
\end{equation*}と表される。\(X\)は拡大実数値確率変数である。
\end{equation*}と表される。\(X\)は拡大実数値確率変数である。
例（定値写像は拡大実数値確率変数）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとします。写像\(X:\Omega\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)は任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =+\infty
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)は定値写像であるため、先の命題より\(X\)は拡大実数値確率変数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)は定値写像であるため、先の命題より\(X\)は拡大実数値確率変数です。
演習問題
問題（確率変数が定値写像であるための必要十分条件）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。事象空間が、\begin{equation*}\mathcal{F}=\left\{ \phi ,\Omega \right\}
\end{equation*}であることと、\(X\)が定値写像であることは必要十分であることを示してください。
\end{equation*}であることと、\(X\)が定値写像であることは必要十分であることを示してください。
問題（定数値確率変数が生成するσ-代数）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および定数値をとる確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。このとき、\begin{equation*}\sigma \left( X\right) =\left\{ \phi ,\Omega \right\}
\end{equation*}であることを示してください。
\end{equation*}であることを示してください。
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