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可算個の確率変数の独立性

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可算個の確率変数の独立性

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて有限\(n\)個の確率変数\begin{gather*}X_{1}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots \\
X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}が与えられているものとします。それぞれの確率変数から生成される\(\sigma \)-代数は、\begin{gather*}\sigma \left( X_{1}\right) =\left\{ X_{1}^{-1}\left( B_{1}\right) \in
2^{\Omega }\ |\ B_{1}\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right\} \\
\vdots \\
\sigma \left( X_{n}\right) =\left\{ X_{n}^{-1}\left( B_{n}\right) \in
2^{\Omega }\ |\ B_{n}\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right\}
\end{gather*}と定義されます。その上で、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立であることを、\begin{equation*}\forall A_{1}\in \sigma \left( X_{1}\right) ,\cdots ,\ \forall A_{n}\in
\sigma \left( X_{n}\right) :P\left( \bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\right)
=\prod_{i=1}^{n}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。同じことを、有限集合族\(\left\{ X_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が独立であると言うこともできます。では、可算個の確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)が独立であることをどのように定義すればよいでしょうか。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて可算個の確率変数\begin{gather*}X_{1}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
X_{2}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots
\end{gather*}が与えられているものとします。その中から有限個の確率変数を任意に選んだとき、選ばれた確率変数が独立であることが保証されるのであれば、もとの可算個の確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)は独立である(independent)とか相互独立である(mutual independent)などと言います。同じことを、可算集合族\(\left\{ X_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が独立であると言うこともできます。

可算個の確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)が独立であることをどのように定式化できるでしょうか。まず、選ばれる確率変数の個数\(n\in \mathbb{N} \)によって場合を分ける必要があります。個数\(n\)を決定したら、続いて、可算個の確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)の中から\(n\)個を任意に選んだ上で、それらを\(X_{\left( 1\right) },\cdots,X_{\left( n\right) }\)で表記します。その上で、選ばれた確率変数\(X_{\left( 1\right) },\cdots,X_{\left( n\right) }\)が独立であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall X_{\left( 1\right) },\cdots ,X_{\left( n\right) }\in \left\{
X_{1},X_{2},\cdots \right\} ,\ \forall A_{1}\in \sigma \left( X_{\left(
1\right) }\right) ,\cdots ,\ \forall A_{n}\in \sigma \left( X_{\left(
n\right) }\right) :P\left( \bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\right)
=\prod_{i=1}^{n}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、もとの可算個の確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)は独立です。つまり、可算集合族\(\left\{ X_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が独立であることとは、任意の有限集合\(I\subset \mathbb{N} \)に関する有限集合族\(\left\{ X_{i}\right\} _{i\in I}\)が独立であることを意味します。

可算個の確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)が独立ではない場合には、これらは従属である(dependent)と言います。同じことを、可算集合族\(\left\{X_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が従属であると言うこともできます。これは、少なくとも1つの有限集合\(I\subset \mathbb{N} \)に関する有限集合族\(\left\{ X_{i}\right\} _{i\in I}\)が独立ではないことを意味します。

 

分布を用いた可算個の確率変数の独立性の表現

有限\(n\)個の確率変数\begin{gather*}X_{1}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots \\
X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}が与えられれば、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して以下のベクトル\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \omega \right) =\left( X_{1}\left(
\omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を値として定めるベクトル値写像\begin{equation*}
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能であるとともに、これが確率ベクトルになることが保証されます。

確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立であることは、\begin{equation*}\forall B_{1},\cdots ,B_{n}\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in B_{1}\times \cdots
\times B_{n}\right) =P\left( X_{1}\in B_{1}\right) \times \cdots \times
P\left( X_{n}\in B_{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B_{1},\cdots ,B_{n}\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :P\left( \bigwedge_{i=1}^{n}X_{i}\in B_{i}\right)
=\prod_{i=1}^{n}P\left( X_{i}\in B_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分であるため以下を得ます。

命題(分布を用いた可算個の確率変数の独立性の表現)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて可算個の確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots :\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall X_{\left( 1\right) },\cdots ,X_{\left( n\right) }\in \left\{
X_{1},X_{2},\cdots \right\} ,\ \forall B_{1},\cdots ,B_{n}\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :P\left( \bigwedge_{i=1}^{n}X_{\left( i\right) }\in B_{i}\right)
=\prod_{i=1}^{n}P\left( X_{\left( i\right) }\in B_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立であるための必要十分条件である。
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確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} :P\left( X_{1}\leq x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\leq x_{n}\right) =P\left(
X_{1}\leq x_{1}\right) \times \cdots \times P\left( X_{n}\leq x_{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} :P\left( \bigwedge_{i=1}^{n}X_{i}\leq x_{i}\right) =\prod_{i=1}^{n}P\left(
X_{i}\leq x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分であるため以下を得ます。

命題(分布を用いた可算個の確率変数の独立性の表現)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて可算個の確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots :\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall X_{\left( 1\right) },\cdots ,X_{\left( n\right) }\in \left\{
X_{1},X_{2},\cdots \right\} ,\ \forall x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} :P\left( \bigwedge_{i=1}^{n}X_{\left( i\right) }\leq x_{i}\right)
=\prod_{i=1}^{n}P\left( X_{\left( i\right) }\leq x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立であるための必要十分条件である。
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