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確率変数

確率ベクトルの同時分布関数

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確率ベクトルの同時分布

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、標本点\(\omega \in \Omega \)が実現した場合、その事実をベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{X}\left( \omega \right) =\left( X_{1}\left( \omega \right)
,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}に変換して表現する状況を想定します。

確率ベクトルの定義より、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) :\boldsymbol{X}^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \boldsymbol{X}\left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合族です。つまり、ボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を任意に選んだとき、「\(\boldsymbol{X}\)の実現値が集合\(B\)に属する」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(\boldsymbol{X}\)を確率ベクトルと呼ぶということです。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} n\right) \)に対して、「確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)の実現値が\(B\)に属する」という事象の確率\begin{equation*}P\left( \boldsymbol{X}\in B\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
\boldsymbol{X}\left( \omega \right) \in B\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)に対して、\begin{equation*}\mu _{\boldsymbol{X}}\left( B\right) =P\left( \boldsymbol{X}\in B\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\mu _{\boldsymbol{X}}:\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)の同時分布(joint distribution)と呼びます。

確率ベクトル\(\boldsymbol{X}:\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の同時分布\(\mu _{\boldsymbol{X}}:\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド空間上のルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right) \)における確率測度になります。つまり、同時分布\(\mu _{\boldsymbol{X}}\)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) :\mu _{\boldsymbol{X}}\left( B\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \mu _{\boldsymbol{X}}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) =1 \\
&&\left( c\right) \ \forall \text{排反な}B_{1},B_{2},\cdots \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) :\mu _{\boldsymbol{X}}\left( \bigcup_{i\in \mathbb{N} }B_{i}\right) =\sum_{i\in \mathbb{N} }\mu _{\boldsymbol{X}}\left( B_{i}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。したがって、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ,\mu _{\boldsymbol{X}}\right)
\end{equation*}は確率空間です。

 

同時確率変数の同時分布関数

確率ベクトル\(\boldsymbol{X}:\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が満たすべき条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \boldsymbol{X}\left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}は、以下の命題\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \boldsymbol{X}\left( \omega \right) \leq
\boldsymbol{x}\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}と必要十分です。ただし、ここでの\(\leq \)はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における標準的順序であり、\begin{equation*}\boldsymbol{X}\left( \omega \right) \leq \boldsymbol{x}\Leftrightarrow
X_{1}\left( \omega \right) \leq x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\left( \omega
\right) \leq x_{n}
\end{equation*}を意味します。つまり、ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、「\(\boldsymbol{X}\)の実現値が\(\boldsymbol{x}\)以下」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることは、写像\(\boldsymbol{X}\)が確率ベクトルであるための必要十分条件です。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、「\(\boldsymbol{X}\)の実現値が\(\boldsymbol{x}\)以下」という事象の確率\begin{equation*}P\left( \boldsymbol{X}\leq \boldsymbol{x}\right) =P\left( \left\{ \omega \in
\Omega \ |\ \boldsymbol{X}\left( \omega \right) \leq \boldsymbol{x}\right\}
\right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}F_{\boldsymbol{X}}\left( \boldsymbol{x}\right) =P\left( \boldsymbol{X}\leq
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F_{\boldsymbol{X}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)の同時分布関数(joint distribution function)と呼びます。

例(確率ベクトルの同時分布関数)
「コインを3回投げる」という試行を行います。\(i\ \left( =1,2,3\right) \)回目に出た面を\(\omega _{i}\)で表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \ |\
\forall i\in \left\{ 1,2,3\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\} \right\}
\end{equation*}です。事象空間を、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}と定めた上で、確率空間\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega
\right\vert }
\end{equation*}を満たすものとして定義します。これらの組\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間です。各回において表が出た場合にはポイント\(1\)を得て、裏が出た場合にはポイント\(1\)を失うものとします。「1回目に得るポイント」を特定する確率変数が\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)であり、「2回目に得るポイント」を特定する確率変数が\(Y:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)であり、「3回目に得るポイント」を特定する確率変数が\(Z:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)である場合、確率ベクトル\(\left( X,Y,Z\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y,Z\right) \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right)
&=&\left( X\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) ,Y\left( \omega
_{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) ,Z\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 1,1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{表},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 1,1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{表},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( 1,-1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{裏},\text{表}\right)
\right) \\
\left( -1,1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{表},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 1,-1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{裏},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( -1,1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{表},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( -1,-1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{裏},\text{表}\right)
\right) \\
\left( -1,-1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right)
\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。\(x,y,z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \in \Omega \ |\
X\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \leq x\wedge Y\left(
\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \leq Y\wedge Z\left( \omega
_{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \leq z\right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<-1\vee y<-1\vee z<-1\right) \\
\left\{ \left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right)
\right\} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\left\{ \left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right)
,\left( \text{裏},\text{裏},\text{表}\right) \right\} &
\left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge z\geq 1\right) \\
\left\{ \left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right)
,\left( \text{裏},\text{表},\text{裏}\right) \right\} &
\left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right) \\
\left\{ \left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right)
,\left( \text{表},\text{裏},\text{裏}\right) \right\} &
\left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right) \\
\left\{ \left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right)
,\left( \text{裏},\text{裏},\text{表}\right) ,\left( \text{裏},\text{表},\text{裏}\right) ,\left( \text{裏},\text{表},\text{表}\right) \right\} & \left( if\ -1\leq
x<1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right) \\
\left\{ \left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right)
,\left( \text{表},\text{裏},\text{裏}\right) ,\left( \text{裏},\text{裏},\text{表}\right) ,\left( \text{表},\text{裏},\text{表}\right) \right\} & \left( if\ x\geq 1\wedge
-1\leq y\leq 1\wedge z\geq 1\right) \\
\left\{ \left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right)
,\left( \text{表},\text{裏},\text{裏}\right) ,\left( \text{裏},\text{表},\text{裏}\right) ,\left( \text{表},\text{表},\text{裏}\right) \right\} & \left( if\ x\geq 1\wedge
y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right) \\
\Omega & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left( X,Y,Z\right) \)は確率ベクトルです。加えて、\(\left( X,Y,Z\right) \)の値域は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) &=&\left\{ \left( x,y,z\right)
\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x,y,z\in \left\{ 1,-1\right\} \right\} \\
&=&\left\{ 1,-1\right\} ^{3}
\end{eqnarray*}です。同時分布関数\(F_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}&&F_{XYZ}\left( x,y,z\right) \\
&=&P\left( \left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \in
\Omega \ |\ X\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \leq x\wedge
Y\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \leq Y\wedge Z\left(
\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \leq z\right\} \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \phi \right) & \left( if\ x<-1\vee y<-1\vee z<-1\right) \\
P\left( \left\{ \left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right) \right\} \right) & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge
-1\leq z<1\right) \\
P\left( \left\{ \left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right) ,\left( \text{裏},\text{裏},\text{表}\right)
\right\} \right) & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge z\geq
1\right) \\
P\left( \left\{ \left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right) ,\left( \text{裏},\text{表},\text{裏}\right)
\right\} \right) & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq
z<1\right) \\
P\left( \left\{ \left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right) ,\left( \text{表},\text{裏},\text{裏}\right)
\right\} \right) & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq
z<1\right) \\
P\left( \left\{ \left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right) ,\left( \text{裏},\text{裏},\text{表}\right)
,\left( \text{裏},\text{表},\text{裏}\right) ,\left( \text{裏},\text{表},\text{表}\right) \right\} \right) & \left(
if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right) \\
P\left( \left\{ \left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right) ,\left( \text{表},\text{裏},\text{裏}\right)
,\left( \text{裏},\text{裏},\text{表}\right) ,\left( \text{表},\text{裏},\text{表}\right) \right\} \right) & \left(
if\ x\geq 1\wedge -1\leq y\leq 1\wedge z\geq 1\right) \\
P\left( \left\{ \left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right) ,\left( \text{表},\text{裏},\text{裏}\right)
,\left( \text{裏},\text{表},\text{裏}\right) ,\left( \text{表},\text{表},\text{裏}\right) \right\} \right) & \left(
if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right) \\
P\left( \Omega \right) & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge z\geq
1\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\vee z<-1\right) \\
\frac{1}{8} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge z\geq 1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y\leq 1\wedge z\geq 1\right)
\\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。

 

同時分布関数がとり得る値の範囲

確率ベクトルの同時分布関数は\(0\)以上\(1\)以下の実数を値としてとります。

命題(同時分布関数がとり得る値の範囲)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率ベクトル\(\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{\boldsymbol{X}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:0\leq F_{\boldsymbol{X}}\left( \boldsymbol{x}\right) \leq 1
\end{equation*}を満たす。

証明

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例(同時分布関数がとり得る値の範囲)
確率ベクトル\(\left( X,Y,Z\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) =\left\{ 1,-1\right\} ^{3}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\vee z<-1\right) \\
\frac{1}{8} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge z\geq 1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y\leq 1\wedge z\geq 1\right)
\\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}0\leq F_{XYZ}\left( x,y,z\right) \leq 1
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。

 

同時分布関数は単調増加関数

確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)の同時分布関数\(F_{\boldsymbol{X}}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された\(n\)変数関数ですが、他のすべての変数を固定した上で\(F_{\boldsymbol{X}}\)を1つの変数\(x_{i}\)に関する1変数関数とみなした場合、これは\(\mathbb{R} \)上で単調増加(単調非減少)になります。

命題(同時分布関数は単調増加)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率ベクトル\(\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{\boldsymbol{X}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの変数\(x_{i}\)について\(\mathbb{R} \)上で単調増加である。すなわち、変数\(x_{i}\)を任意に選んだとき、任意の\(x_{i}^{\prime },x_{i}^{\prime \prime }\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}x_{i}^{\prime }\leq x_{i}^{\prime \prime }\Rightarrow F_{\boldsymbol{X}}\left( x_{i}^{\prime },\boldsymbol{x}_{-i}\right) \leq F_{\boldsymbol{X}}\left( x_{i}^{\prime \prime },\boldsymbol{x}_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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先の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(同時分布関数は単調増加)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率ベクトル\(\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{\boldsymbol{X}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Rightarrow F_{\boldsymbol{X}}\left(
\boldsymbol{x}\right) \leq F_{\boldsymbol{X}}\left( \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たす。

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例(同時分布関数は単調増加)
確率ベクトル\(\left( X,Y,Z\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) =\left\{ 1,-1\right\} ^{3}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\vee z<-1\right) \\
\frac{1}{8} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge z\geq 1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y\leq 1\wedge z\geq 1\right)
\\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x_{1}\leq x_{2}\)かつ\(y_{1}\leq y_{2}\)かつ\(z_{1}\leq z_{2}\)を満たす\(\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2},z_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x_{1},y_{1},z_{1}\right) \leq F_{XYZ}\left(
x_{2},y_{2},z_{2}\right)
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。

 

同時分布関数は右側連続

確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)の同時分布関数\(F_{\boldsymbol{X}}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された\(n\)変数関数ですが、他のすべての変数を固定した上で\(F_{\boldsymbol{X}}\)を1つの変数\(x_{i}\)に関する1変数関数とみなした場合、これは\(\mathbb{R} \)上で右側連続になります。

命題(同時分布関数の右側連続性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率ベクトル\(\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{\boldsymbol{X}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は任意の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)において、\begin{equation*}\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}+}F_{\boldsymbol{X}}\left(
\boldsymbol{x}\right) =F_{\boldsymbol{X}}\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}を満たす。

証明

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上の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(同時分布関数の右側連続性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率ベクトル\(\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{\boldsymbol{X}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は任意の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)において、\begin{equation*}\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}+}F_{\boldsymbol{X}}\left(
\boldsymbol{x}\right) =F_{\boldsymbol{X}}\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}を満たす。

証明

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例(同時分布関数は右側連続性)
確率ベクトル\(\left( X,Y,Z\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) =\left\{ 1,-1\right\} ^{3}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\vee z<-1\right) \\
\frac{1}{8} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge z\geq 1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y\leq 1\wedge z\geq 1\right)
\\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x<-1\)または\(y<-1\)または\(z<-1\)を満たす点\(\left( x,y,z\right) \)上において\(F_{XYZ}\)は定数関数\(0\)であるため、\(F_{XYZ}\)はそのような点\(\left( x,y,z\right) \)において連続です。点\(\left( -1,-1,-1\right) \)においては、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( -1+,-1+,-1+\right)
}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left(
-1+,-1+,-1+\right) }\frac{1}{8}\quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{8}\quad \because \text{定数関数の右側極限} \\
&=&F_{XYZ}\left( -1,-1,-1\right) \quad \because F_{XYZ}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。他の点においても同様です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。

 

同時分布関数の無限大における極限

同時分布関数の無限大における極限に関して以下が成り立ちます。

命題(同時分布関数の無限大における極限)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率ベクトル\(\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{\boldsymbol{X}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\lim_{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \rightarrow \left( +\infty ,\cdots
,+\infty \right) }F_{\boldsymbol{X}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =1
\end{equation*}を満たす。また、変数\(x_{i}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x_{i}\rightarrow -\infty }F_{\boldsymbol{X}}\left( x_{i},\boldsymbol{x}_{-i}\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。ゆえに、\begin{equation*}
\lim_{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \rightarrow \left( -\infty ,\cdots
,-\infty \right) }F_{\boldsymbol{X}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(同時分布関数の無限大における極限)
確率ベクトル\(\left( X,Y,Z\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) =\left\{ 1,-1\right\} ^{3}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\vee z<-1\right) \\
\frac{1}{8} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\wedge z\geq 1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{4} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\wedge -1\leq z<1\right)
\\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y\leq 1\wedge z\geq 1\right)
\\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge -1\leq z<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\wedge z\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( +\infty ,+\infty ,+\infty
\right) }F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\lim_{\left( x,y,z\right)
\rightarrow \left( +\infty ,+\infty ,+\infty \right) }1\quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }F_{XYZ}\left( x,y,z\right)
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }0\quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{y\rightarrow -\infty }F_{XYZ}\left( x,y,z\right)
&=&\lim_{y\rightarrow -\infty }0\quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow -\infty }F_{XYZ}\left( x,y,z\right)
&=&\lim_{z\rightarrow -\infty }0\quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( -\infty ,-\infty ,-\infty
\right) }F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\lim_{\left( x,y,z\right)
\rightarrow \left( -\infty ,-\infty ,-\infty \right) }0\quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。

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