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確率変数

同時確率変数の同時分布関数

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同時確率変数の定義

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同時確率変数の同時分布

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて同時確率変数\begin{equation*}\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、標本点\(\omega \in \Omega \)が実現した場合、その事実をベクトル\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に変換して表現する状況を想定します。

同時確率変数の定義より、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left( X,Y\right) ^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)は平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上のボレル集合族です。つまり、ボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)を任意に選んだとき、「\(\left( X,Y\right) \)の実現値が集合\(B\)に属する」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(\left( X,Y\right) \)を同時確率変数と呼ぶということです。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)に対して、「同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の実現値が\(B\)に属する」という事象の確率\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in B\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \
|\ \left( X,Y\right) \left( \omega \right) \in B\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}\mu _{XY}\left( B\right) =P\left( \left( X,Y\right) \in B\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\mu _{XY}:\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の同時分布(joint distribution)と呼びます。

同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時分布\(\mu _{XY}:\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)は平面上のルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \right) \)における確率測度になります。つまり、同時分布\(\mu _{XY}\)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\mu _{XY}\left( B\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \mu _{XY}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) =1 \\
&&\left( c\right) \ \forall \text{排反な}B_{1},B_{2},\cdots \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\mu _{XY}\left( \bigcup_{i\in \mathbb{N} }B_{i}\right) =\sum_{i\in \mathbb{N} }\mu _{XY}\left( B_{i}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。したがって、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ^{2},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) ,\mu _{XY}\right)
\end{equation*}は確率空間です。

 

同時確率変数の同時分布関数

同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が満たすべき条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}は、以下の命題\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left(
\omega \right) \leq y\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が\(x\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(y\)以下」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることは、写像\(\left( X,Y\right) \)が同時確率変数であるための必要十分条件です。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、「\(X\)の実現値が\(x\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(y\)以下」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left( \omega \right) \leq y\right\}
\right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の同時分布関数(joint distribution function)と呼びます。

例(離散型同時確率変数の同時分布関数)
「コインを2回投げる」という試行を行います。\(i\ \left( =1,2\right) \)回目に出た面を\(\omega _{i}\)で表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \ |\ \forall i\in
\left\{ 1,2\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\} \right\}
\end{equation*}です。事象空間を、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}と定めた上で、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega
\right\vert }
\end{equation*}を満たすものとして定義します。これらの組\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間です。各回において表が出た場合にはポイント\(1\)を得て、裏が出た場合にはポイント\(1\)を失うものとします。「1回目に得るポイント」特定する確率変数が\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)であり、「2回目に得るポイント」特定する確率変数が\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)である場合、同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) &=&\left( X\left(
\omega _{1},\omega _{2}\right) ,Y\left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
\right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{表},\text{表}\right) \right) \\
\left( 1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{表},\text{裏}\right) \right) \\
\left( -1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{裏},\text{表}\right) \right) \\
\left( -1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{裏},\text{裏}\right) \right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めます。\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \ |\ X\left(
\omega _{1},\omega _{2}\right) \leq x\wedge Y\left( \omega _{1},\omega
_{2}\right) \leq y\right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<-1\vee y<-1\right) \\
\left\{ \left( \text{裏},\text{裏}\right) \right\} & \left( if\
-1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\right) \\
\left\{ \left( \text{裏},\text{裏}\right) ,\left( \text{裏},\text{表}\right) \right\} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq
1\right) \\
\left\{ \left( \text{裏},\text{裏}\right) ,\left( \text{表},\text{裏}\right) \right\} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq
y<1\right) \\
\Omega & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left( X,Y\right) \)は同時確率変数です。加えて、\(\left( X,Y\right) \)の値域は、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
1,-1\right) ,\left( -1,1\right) ,\left( -1,-1\right) \right\}
\end{equation*}です。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}F_{XY}\left( x,y\right) &=&P\left( \left\{ \left( \omega _{1},\omega
_{2}\right) \in \Omega \ |\ X\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \leq
x\wedge Y\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \leq y\right\} \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \phi \right) & \left( if\ x<-1\vee y<-1\right) \\
P\left( \left\{ \left( \text{裏},\text{裏}\right) \right\}
\right) & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\right) \\
P\left( \left\{ \left( \text{裏},\text{裏}\right) ,\left( \text{裏},\text{表}\right) \right\} \right) & \left( if\ -1\leq
x<1\wedge y\geq 1\right) \\
P\left( \left\{ \left( \text{裏},\text{裏}\right) ,\left( \text{表},\text{裏}\right) \right\} \right) & \left( if\ x\geq
1\wedge -1\leq y<1\right) \\
P\left( \Omega \right) & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\right) \\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。

 

同時分布関数がとり得る値の範囲

同時確率変数の同時分布関数は\(0\)以上\(1\)以下の実数を値としてとります。

命題(同時分布関数がとり得る値の範囲)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の条件\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:0\leq F_{XY}\left( x,y\right) \leq 1
\end{equation*}を満たす。

証明

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例(同時分布関数がとり得る値の範囲)
同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
1,-1\right) ,\left( -1,1\right) ,\left( -1,-1\right) \right\}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\right) \\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}0\leq F_{XY}\left( x,y\right) \leq 1
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。

 

同時分布関数は単調増加関数

同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時分布関数\(F_{XY}\left( x,y\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上に定義された2変数関数ですが、一方の変数\(y\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(x\)に関する1変数関数とみなした場合、これは\(\mathbb{R} \)上で単調増加(単調非減少)になります。また、変数\(x\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(y\)に関する1変数関数とみなした場合、これは\(\mathbb{R} \)上で単調増加になります。

命題(同時分布関数は単調増加)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの変数について\(\mathbb{R} \)上で単調増加である。すなわち、変数\(x\)に関しては、任意の\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}x_{1}\leq x_{2}\Rightarrow F_{XY}\left( x_{1},y\right) \leq F_{XY}\left(
x_{2},y\right)
\end{equation*}が成り立ち、変数\(y\)に関しては、任意の\(y_{1},y_{2}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}y_{1}\leq y_{2}\Rightarrow F_{XY}\left( x,y_{1}\right) \leq F_{XY}\left(
x,y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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先の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(同時分布関数は単調増加)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は任意の\(\left( x_{1},y_{1}\right) ,\left(x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}x_{1}\leq x_{2}\wedge y_{1}\leq y_{2}\Rightarrow F_{XY}\left(
x_{1},y_{1}\right) \leq F_{XY}\left( x_{2},y_{2}\right)
\end{equation*}を満たす。

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例(同時分布関数は単調増加)
同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
1,-1\right) ,\left( -1,1\right) ,\left( -1,-1\right) \right\}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\right) \\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x_{1}\leq x_{2}\)と\(y_{1}\leq y_{2}\)を満たす\(\left( x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{XY}\left( x_{1},y_{1}\right) \leq F_{XY}\left( x_{2},y_{2}\right)
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。

 

同時分布関数は右側連続

同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時分布関数\(F_{XY}\left( x,y\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上に定義された2変数関数ですが、一方の変数\(y\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(x\)に関する1変数関数とみなした場合、これは\(\mathbb{R} \)上で右側連続になります。また、変数\(x\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(y\)に関する1変数関数とみなした場合、これは\(\mathbb{R} \)上で右側連続になります。

命題(同時分布関数の右側連続性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの変数に関して\(\mathbb{R} \)上で右側連続である。すなわち、変数\(x\)に関しては、任意の点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}F_{XY}\left( x,y\right) =F_{XY}\left( a,y\right)
\end{equation*}が成り立ち、変数\(y\)に関しては、任意の点\(b\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b+}F_{XY}\left( x,y\right) =F_{XY}\left( x,b\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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先の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(同時分布関数の右側連続性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は任意の点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a+,b+\right) }F_{XY}\left(
x,y\right) =F_{XY}\left( a,b\right)
\end{equation*}を満たす。

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例(同時分布関数の右側連続性)
同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
1,-1\right) ,\left( -1,1\right) ,\left( -1,-1\right) \right\}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\right) \\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x<-1\)と\(y<-1\)の少なくとも一方を満たす\(\left( x,y\right) \)上で\(F_{XY}\)は定数関数\(0\)であるため、\(F_{XY}\)はそのような点\(\left( x,y\right) \)において連続です。点\(\left( -1,-1\right) \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( -1+,-1+\right) }F_{XY}\left(
x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( -1+,-1+\right) }\frac{1}{4}\quad \because F_{XY}\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{4}\quad \because \text{定数関数の右側極限} \\
&=&F_{XY}\left( -1,-1\right) \quad \because F_{XY}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(F_{XY}\)は点\(\left( -1,-1\right) \)において右側連続です。他の点についても同様に考えます。

 

同時分布関数の無限大における極限

同時分布関数の無限大における極限に関して以下が成り立ちます。

命題(同時分布関数の無限大における極限)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( +\infty ,+\infty \right)
}F_{XY}\left( x,y\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。また、変数\(x\)に関しては、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }F_{XY}\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立ち、変数\(y\)に関しては、\begin{equation*}\lim_{y\rightarrow -\infty }F_{XY}\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。ゆえに、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( -\infty ,-\infty \right)
}F_{XY}\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

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例(同時分布関数の無限大における極限)
同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
1,-1\right) ,\left( -1,1\right) ,\left( -1,-1\right) \right\}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\right) \\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( +\infty ,+\infty \right)
}F_{XY}\left( x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
+\infty ,+\infty \right) }1\quad \because F_{XY}\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }F_{XY}\left( x,y\right) &=&\lim_{x\rightarrow
-\infty }0\quad \because F_{XY}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{y\rightarrow -\infty }F_{XY}\left( x,y\right) &=&\lim_{y\rightarrow
-\infty }0\quad \because F_{XY}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( -\infty ,-\infty \right)
}F_{XY}\left( x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
-\infty ,-\infty \right) }0\quad \because F_{XY}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。

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