確率変数のメディアン
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。
実数\(m\in \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}P\left( X\leq m\right) \geq \frac{1}{2}\wedge P\left( X\geq m\right) \geq
\frac{1}{2}
\end{equation*}を満たす場合には、すなわち、\(X\)の実現値が\(m\)以下である確率と\(X\)の実現値が\(m\)以上である確率がともに\(\frac{1}{2}\)以上である場合には、\(m\)を\(X\)のメディアン（median）やメジアン、または中央値などと呼びます。
分布関数を用いたメディアンの表現
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(X\)の分布関数\begin{equation*}F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(F\)はそれぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}F_{X}\left( x\right) &=&P\left( X\leq x\right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq
x\right\} \right)
\end{eqnarray*}を値として定めるということです。
実数\(m\in \mathbb{R} \)が確率変数\(X\)のメディアンであることと、以下の条件\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow m-}F_{X}\left( x\right) \leq \frac{1}{2}\leq F_{X}\left(
m\right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。
命題（分布関数を用いたメディアンの表現）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)とその分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(m\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow m-}F_{X}\left( x\right) \leq \frac{1}{2}\leq F_{X}\left(
m\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(m\)が\(X\)のメディアンであるための必要十分条件である。
m\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(m\)が\(X\)のメディアンであるための必要十分条件である。
例（メディアン）
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{1}{10} & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
\frac{2}{5} & \left( if\ 2\leq x<3\right) \\
\frac{4}{5} & \left( if\ 3\leq x<4\right) \\
1 & \left( if\ 4\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(3\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 3-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3-}\frac{2}{5} \\
&=&\frac{2}{5} \\
&\leq &\frac{1}{2} \\
&\leq &\frac{4}{5} \\
&=&F_{X}\left( 3\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(3\)は\(X\)のメディアンです。\(k<3\)を満たす\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{X}\left( k\right) <\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つため、\(k\)は\(X\)のメディアンではありません。\(k>3\)を満たす\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow k-}F_{X}\left( x\right) >\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つため、\(k\)は\(X\)のメディアンではありません。以上より、\(3\)が\(X\)のメディアンであることが明らかになりました。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{1}{10} & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
\frac{2}{5} & \left( if\ 2\leq x<3\right) \\
\frac{4}{5} & \left( if\ 3\leq x<4\right) \\
1 & \left( if\ 4\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(3\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 3-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3-}\frac{2}{5} \\
&=&\frac{2}{5} \\
&\leq &\frac{1}{2} \\
&\leq &\frac{4}{5} \\
&=&F_{X}\left( 3\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(3\)は\(X\)のメディアンです。\(k<3\)を満たす\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{X}\left( k\right) <\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つため、\(k\)は\(X\)のメディアンではありません。\(k>3\)を満たす\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow k-}F_{X}\left( x\right) >\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つため、\(k\)は\(X\)のメディアンではありません。以上より、\(3\)が\(X\)のメディアンであることが明らかになりました。
例（メディアン）
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{3}{10} & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ 2\leq x<3\right) \\
\frac{7}{10} & \left( if\ 3\leq x<4\right) \\
1 & \left( if\ 4\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(2\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 2-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2-}\frac{3}{10} \\
&=&\frac{3}{10} \\
&\leq &\frac{1}{2} \\
&=&F_{X}\left( 2\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(2\)は\(X\)のメディアンです。\(3\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 3-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3-}\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{2} \\
&\leq &\frac{7}{10} \\
&=&F_{X}\left( 3\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(3\)は\(X\)のメディアンです。\(2<k<3\)を満たす\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow k-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow k-}\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{2} \\
&=&F_{X}\left( k\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(k\)は\(X\)のメディアンです。\(k<2\)を満たす\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{X}\left( k\right) <\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つため、\(k\)は\(X\)のメディアンではありません。\(k>3\)を満たす\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow k-}F_{X}\left( x\right) >\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つため、\(k\)は\(X\)のメディアンではありません。以上より、以上より、\(\left[ 2,3\right] \)上の任意の値が\(X\)のメディアンであることが明らかになりました。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{3}{10} & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ 2\leq x<3\right) \\
\frac{7}{10} & \left( if\ 3\leq x<4\right) \\
1 & \left( if\ 4\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(2\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 2-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2-}\frac{3}{10} \\
&=&\frac{3}{10} \\
&\leq &\frac{1}{2} \\
&=&F_{X}\left( 2\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(2\)は\(X\)のメディアンです。\(3\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 3-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3-}\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{2} \\
&\leq &\frac{7}{10} \\
&=&F_{X}\left( 3\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(3\)は\(X\)のメディアンです。\(2<k<3\)を満たす\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow k-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow k-}\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{2} \\
&=&F_{X}\left( k\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(k\)は\(X\)のメディアンです。\(k<2\)を満たす\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{X}\left( k\right) <\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つため、\(k\)は\(X\)のメディアンではありません。\(k>3\)を満たす\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow k-}F_{X}\left( x\right) >\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つため、\(k\)は\(X\)のメディアンではありません。以上より、以上より、\(\left[ 2,3\right] \)上の任意の値が\(X\)のメディアンであることが明らかになりました。
メディアンの存在
確率変数のメディアンは必ず存在します。
命題（メディアンの存在）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)とその分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(X\)のメディアンが存在する。
メディアンからなる集合は有界閉区間
確率変数のメディアンは一意的に定まるとは限りませんが、すべてのメディアンからなる集合は有界閉区間になります。
命題（メディアンからなる集合は有界閉区間）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)とその分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(X\)のメディアンからなる集合は、\(a\leq b\)を満たす何らかの\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left[ a,b\right]
\end{equation*}と表される。
例（メディアン）
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{1}{10} & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
\frac{2}{5} & \left( if\ 2\leq x<3\right) \\
\frac{4}{5} & \left( if\ 3\leq x<4\right) \\
1 & \left( if\ 4\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(X\)のメディアンからなる集合は、\begin{equation*}\left\{ 3\right\} =\left[ 3,3\right] \end{equation*}ですが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{1}{10} & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
\frac{2}{5} & \left( if\ 2\leq x<3\right) \\
\frac{4}{5} & \left( if\ 3\leq x<4\right) \\
1 & \left( if\ 4\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(X\)のメディアンからなる集合は、\begin{equation*}\left\{ 3\right\} =\left[ 3,3\right] \end{equation*}ですが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
例（メディアン）
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{3}{10} & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ 2\leq x<3\right) \\
\frac{7}{10} & \left( if\ 3\leq x<4\right) \\
1 & \left( if\ 4\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(X\)のメディアンからなる集合は、\begin{equation*}\left[ 2,3\right] \end{equation*}ですが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{3}{10} & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ 2\leq x<3\right) \\
\frac{7}{10} & \left( if\ 3\leq x<4\right) \\
1 & \left( if\ 4\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(X\)のメディアンからなる集合は、\begin{equation*}\left[ 2,3\right] \end{equation*}ですが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
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