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確率変数

確認テスト I(確率変数)

目次

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問題1(20点)

問題(確率変数の分布)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)とその分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( aX+b\right) \left( \omega \right) =aX\left( \omega \right) +b\in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
aX+b:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(aX+b\)が確率変数であることを示した上で(5点)、その分布関数\(F_{aX+b}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を明らかにしてください(15点)。
証明

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問題2(40点)

問題(分布関数)
以下の問いに答えてください。

  1. 関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が分布関数であるために満たすべき公理を述べてください(5点)。
  2. 分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。また、関数\(g:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は連続な単調増加関数であるとともに、\begin{eqnarray*}g\left( 0\right) &=&0 \\g\left( 1\right) &=&1
    \end{eqnarray*}を満たすものとします。合成関数\begin{equation*}
    g\circ F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能である場合、これもまた分布関数であることを示してください(15点)。
  3. \(n\in \mathbb{N} \)を選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}G\left( x\right) =\left[ F\left( x\right) \right] ^{n}\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
    G:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(G\)が分布関数であることを示してください(5点)。
  4. \(n\in \mathbb{N} \)を選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}G\left( x\right) =1-\left[ 1-F\left( x\right) \right] ^{n}\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
    G:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(G\)が分布関数であることを示してください(5点)。
  5. それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}G\left( x\right) =F\left( x\right) +\left[ 1-F\left( x\right) \right] \ln\left( 1-F\left( x\right) \right)
    \end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
    G:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(G\)が分布関数であることを示してください(5点)。
  6. それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}G\left( x\right) =\left[ F\left( x\right) -1\right] e+\exp \left( 1-F\left(x\right) \right)
    \end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
    G:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(G\)が分布関数であることを示してください(5点)。
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問題3(20点)

問題(同時確率変数)
以下の問いに答えてください(各5点)。

  1. 「歪みのない硬貨を2回投げて出た面を観察する」という試行に関する確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)を定式化してください。
  2. 「表が出た回数」を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定式化してください。
  3. 「\(X\)の観察値が\(2\)」であるという事象に関する指示関数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定式化してください。
  4. 同時確率変数\(\left( X,Y\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域\(\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \)を明らかにした上で、それぞれの値\(\left( x,y\right)\in \left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \)について、その確率\begin{equation*}P\left( X=x\wedge Y=y\right) \end{equation*}を特定してください。
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問題4(20点)

問題(同時確率変数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)とその同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。\(a<b\)かつ\(c<d\)を満たす\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( a<X\leq b\wedge c<Y\leq d\right) =F_{XY}\left( b,d\right)
-F_{XY}\left( a,d\right) -F_{XY}\left( b,c\right) +F_{XY}\left( a,c\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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