問題1(15点)
問題(待ち時間)
電車は正午ちょうどに駅に到着し、以降は\(10\)分間隔で到着するものとします。ある人は正午から\(X\)分後に駅へ到着するものとします。\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は確率変数であり、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{x}{60} & \left( if\ 0\leq x\leq 60\right) \\
1 & \left( if\ x>60\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この人が駅に到着してから電車が駅に到着するまでの時間が\(5\)分以内である確率を求めてください。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{x}{60} & \left( if\ 0\leq x\leq 60\right) \\
1 & \left( if\ x>60\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この人が駅に到着してから電車が駅に到着するまでの時間が\(5\)分以内である確率を求めてください。
問題2(15点)
問題(オーバーブッキング)
飛行機のチケットを予約した人が実際にチケットを購入する確率はいずれも\(\frac{9}{10}\)であるものとします。加えて、どの人が実際にチケットを購入するかは独立に決定されるものとします。航空会社は空席がもたらす損失を防ぐために、一部の乗客が予約をキャンセルすることを見越して、定員よりも多くの予約を受けます。実際の購入者が定員以下であれば問題ありませんが、購入者数が定員を上回ってしまうとオーバーブッキングになってしまうため問題です。航空会社\(A\)は定員\(9\)のフライトに対して\(10\)人の予約を受け付けます。航空会社\(B\)は定員\(18\)のフライトに対して\(20\)人の予約を受け付けます。両社とも予約は常に埋まるものとします。オーバーブッキングになる確率がより高い会社はどちらでしょうか。
問題3(30点)
問題(分布関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)とその分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられており、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{1}{2}x & \left( if\ 0\leq x\leq 2\right) \\
1 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。その上で、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( \omega \right) =\left[ X\left( \omega \right) \right] ^{2}
\end{equation*}を定める確率変数\begin{equation*}
Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Z\left( \omega \right) =\sqrt{X\left( \omega \right) }
\end{equation*}を定める確率変数\begin{equation*}
Z:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。以下の問いに答えてください(各5点)。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{1}{2}x & \left( if\ 0\leq x\leq 2\right) \\
1 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。その上で、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( \omega \right) =\left[ X\left( \omega \right) \right] ^{2}
\end{equation*}を定める確率変数\begin{equation*}
Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Z\left( \omega \right) =\sqrt{X\left( \omega \right) }
\end{equation*}を定める確率変数\begin{equation*}
Z:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。以下の問いに答えてください(各5点)。
- \(P\left( \frac{1}{2}\leq X\leq \frac{3}{2}\right) \)を求めてください。
- \(P\left( 1\leq X<2\right) \)を求めてください。
- \(P\left( Y\leq X\right) \)を求めてください。
- \(P\left( X\leq 2Y\right) \)を求めてください。
- \(P\left( X+Y\leq \frac{3}{4}\right) \)を求めてください。
- \(Z\)の分布関数\(F_{Z}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めてください。
問題4(40点)
問題(ベクトル空間としての確率変数空間)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられた状況において、すべての確率変数からなる集合を、\begin{equation*}V=\left\{ X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \ |\ X\text{は確率変数}\right\}
\end{equation*}で表記します。確率変数どうしの和は確率変数であるため、\begin{equation*}
\forall X,Y\in V:X+Y\in V
\end{equation*}が成り立ちます。確率変数の定数倍は確率変数であるため、\begin{equation*}
\forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall X\in V:aX\in V
\end{equation*}が成り立ちます。以上の踏まえた上で、以下の問いに答えてください(各20点)。
\end{equation*}で表記します。確率変数どうしの和は確率変数であるため、\begin{equation*}
\forall X,Y\in V:X+Y\in V
\end{equation*}が成り立ちます。確率変数の定数倍は確率変数であるため、\begin{equation*}
\forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall X\in V:aX\in V
\end{equation*}が成り立ちます。以上の踏まえた上で、以下の問いに答えてください(各20点)。
- 先の2つの演算を前提とした場合、\(\left( \mathbb{R} ,V\right) \)がベクトル空間であることを示してください。
- \(\Omega \)が有限集合である場合、\(\left( \mathbb{R} ,V\right) \)の基底を明らかにしてください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】