コーシー列と連続性

コーシー列の収束定理とアルキメデスの原理がともに成り立つことによって実数の連続性を特徴づけることもできます。
コーシー列 実数の連続性
次のページ >

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理とコーシー列の収束定理の関係

前回はコーシー列の収束定理を示しましたが、証明ではボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を利用しました。二つの定理を以下に再掲します。

定理(コーシー列の収束定理)
コーシー列は収束する。
コーシー列の収束定理を復習する
定理(ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理)
有界な数列は収束する部分列を持つ。
ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を復習する

実は、コーシー列の収束定理からボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を導くことができます。

定理(コーシー列の収束定理とBW定理の関係)
コーシー列の収束定理が成り立つとき、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を命題として証明可能である。
証明を見る(プレミア会員限定)

したがって、二つの定理は同値です。

系(コーシー列の収束定理とBW定理の関係)
コーシー列の収束定理が成り立つことは、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理が成り立つための必要十分条件である。

 

コーシー列と連続性

コーシー列の収束定理とボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理が同値であることが明らかになりました。また、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理とアルキメデスの原理がともに成り立つことは連続性の公理と同値ですから、コーシー列の収束定理とアルキメデスの原理がともに成り立つことは連続性の公理と同値です。

以上の議論を踏まえると、実数の連続性の公理として以下の7個の命題の中のどれを採用してもよいということになります。\begin{eqnarray*}
&&\left( R\right) \ \forall A\subset \mathbb{R} :\left[ \left( A\not=\phi \ \wedge \ U\left( A\right) \not=\phi \right) \
\Rightarrow \ \exists \sup A\right] \\
&&\left( R^{\prime }\right) \ \forall A\subset \mathbb{R} :\left[ \left( A\not=\phi \ \wedge \ L\left( A\right) \not=\phi \right) \ \Rightarrow \ \exists \inf A\right] \\
&&\left( S\right) \ \text{上に有界な単調増加数列は収束する} \\
&&\left( S^{\prime }\right) \ \text{下に有界な単調減少数列は収束する} \\
&&\left( T\right) \ \text{カントールの区間縮小定理とアルキメデスの原理が成り立つ} \\
&&\left( U\right) \ \text{ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理とアルキメデスの原理が成り立つ} \\
&&\left( V\right) \ \text{コーシー列の収束定理とアルキメデスの原理が成り立つ}
\end{eqnarray*}

次回からは 1 次元ユークリッド空間における位相について学びます。
次へ進む 演習問題(プレミアム会員限定)

Share on facebook
Share on twitter
Share on email
Share on print
次のページ >

ワイズをさらに活用するための会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。さらに、有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。
会員サービス

ディスカッションに参加しますか?

質問やコメントを投稿するためにはログインが必要です
ログイン

アカウント
ログイン