収束する数列はコーシー列
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束することとは、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が特定の実数\(a\in \mathbb{R} \)に限りなく近づくことを意味しますが、これを厳密に表現すると、\begin{equation*}\exists a\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であることとは、ある項より先にある任意の2つの項の間の距離が限りなく小さくなることを意味しますが、これを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right]
\end{equation*}となります。
数列の項が一定の値に限りなく近づくならば項の間の距離はどこまでも小さくなっていきそうです。つまり、直感的に考えると、収束列はコーシー列でもありそうです。実際、収束列はコーシー列です。
コーシー列が収束するための条件
数列が収束する場合、その数列はコーシー列であることが明らかになりましたが、逆に、コーシー列は収束するのでしょうか。順番に考えます。
数列が収束する場合には、その任意の部分列もまた収束することが保証されます。一方、数列が収束する部分列を持つ場合、もとの数列は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列は振動するため収束しません。その一方で、この数列の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} =\left\{x_{2n}\right\} \)に注目すると、その一般項は、\begin{eqnarray*}x_{l\left( n\right) } &=&x_{2n} \\
&=&\left( -1\right) ^{2n} \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{l\left( n\right) } &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
数列が収束する部分列を持つ場合でも、もとの数列は収束するとは限らないことが明らかになりました。ただ、考察対象をコーシー列に限定した場合には話は変わります。つまり、コーシー列が収束する部分列を持つ場合、そのコーシー列は収束することが保証されます。
コーシー列の収束定理
コーシー列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられているものとします。コーシー列は有界であるため\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界です。有界な数列は収束する部分列を持つ（ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理）ため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束する部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)を持ちます。つまり、\(\left\{x_{n}\right\} \)はコーシー列であるとともに収束する部分列を持つため、先の命題より、\(\left\{x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束します。
任意のコーシー列について同様の議論が成立するため、任意のコーシー列が有限な実数へ収束することが明らかになりました。
任意のコーシー列は収束することが明らかになりました。コーシー列の定義は極限については何も述べてはいません。項の番号を大きくしていくと項の変化がどこまでも小さくなっていく数列をコーシー列と定めているだけです。しかし、実数の連続性の公理から導かれるボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理を認める場合には、コーシー列が収束することを保証できるというわけです。
コーシー列と収束列の関係
任意の収束数列はコーシー列です。逆に、先に示したように、任意のコーシー列は収束数列です。したがって、数列がコーシー列であることと、その数列が収束列であることは必要十分です。
この命題の意味を考えておきましょう。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、それが収束列であるかどうかを判定できない、もしくはその判定が難しい場合でも、その数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であることさえ示すことができれば、上の命題より、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束列であることが保証されます。さらに、他の一般の収束列と同様に、コーシー列が収束する部分列を持つ場合には、コーシー列自身もまた部分列と同じ極限に収束します。したがって、コーシー列の部分列の極限さえ求められれば、もとのコーシー列の極限が判明します。
\begin{array}{l}
x_{1}=1 \\
x_{n+1}=1+\dfrac{1}{x_{n}}\end{array}\right.
\end{equation*}によって定義されているものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束することを示します。ただ、上の再帰式によって数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の隣り合う2つの項どうしの関係が与えられているため、この数列が収束することを示すよりも、この数列がコーシー列であることを示すほうが簡単です。そこで、この数列がコーシー列であることを示します。具体的には、任意の番号\(n\)について、\begin{eqnarray}\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert &=&\left\vert \left( 1+\frac{1}{x_{n+1}}\right) -\left( 1+\frac{1}{x_{n}}\right) \right\vert \quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \notag \\
&=&\left\vert \frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_{n}}\right\vert \notag \\
&=&\left\vert \frac{x_{n}-x_{n+1}}{x_{n+1}x_{n}}\right\vert \quad \cdots (1)
\end{eqnarray}となります。さらに、\(\left( 1\right) \)の分母について、\begin{eqnarray}\left\vert x_{n+1}x_{n}\right\vert &=&\left\vert \left( 1+\frac{1}{x_{n}}\right) x_{n}\right\vert \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \notag \\
&=&\left\vert x_{n}+1\right\vert \notag \\
&\geq &2\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\quad \cdots (2)
\end{eqnarray}が成り立ちます。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert &=&\left\vert \frac{x_{n}-x_{n+1}}{x_{n+1}x_{n}}\right\vert \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\left\vert x_{n}-x_{n+1}\right\vert }{\left\vert
x_{n+1}x_{n}\right\vert } \\
&\leq &\frac{1}{2}\left\vert x_{n}-x_{n+1}\right\vert \quad \because \left(
2\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、コーシー列であるための判定条件より、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列です。さらに、先の命題より、これは数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束列であることと必要十分であるため目標が達成されました。
演習問題
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列でないことを証明してください。
\end{equation*}であるような数列\(\left\{y_{n}\right\} \)を定義します。\(\left\{ y_{n}\right\} \)もまたコーシー列であることを証明してください。
\end{equation*}であるような数列\(\left\{y_{n}\right\} \)を定義します。\(\left\{ y_{n}\right\} \)がコーシー列であるとき、\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列であるとは限らないことを示す例を挙げてください。
\end{equation*}のように、ある項から先が定数になる場合、すなわち、以下の条件\begin{equation*}
\exists c\in \mathbb{R} ,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow x_{n}=c\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、このような数列を最終的に一定となる数列と呼びます。以下の問いに答えてください。
- 数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項が整数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in \mathbb{Z} \end{equation*}が成り立つということです。さらに、\(\left\{x_{n}\right\} \)がコーシー列であるものとします。この場合、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は最終的に一定となる数列であることを証明してください。
- 問1の結果を踏まえたとき、すべての項が整数である数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が収束する場合には、その極限もまた整数であることを示してください。
<\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たすものとします。このとき、数列\(\left\{ \sum_{k=1}^{n}x_{k}\right\} \)の極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\sum_{k=1}^{n}x_{k}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを示してください。
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