コーシー列の収束定理

コーシー列は有界であること、コーシー列は収束すること、数列がコーシー列であることとその数列が収束することは必要十分であること、さらに、実数の連続性がコーシー列を用いて表現可能であることを示します。
コーシー列
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コーシー列と有界性

コーシー列は有界です。実際、コーシー列\(\{x_{n}\}\)が与えられたとき、正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと、それに対して番号\(N\in \mathbb{N} \)が存在して、それ以上の任意の番号\(m,n\geq N\)について、\begin{equation*}
\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立ちます。\(m\)は\(N\)以上の任意の番号であるため、\(m=N\)の場合にも上の不等式は成り立ちます。つまり、任意の番号\(n\geq N\)について、\begin{equation*}
\left\vert x_{N}-x_{n}\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立ちますが、絶対値の定義より、\begin{equation*}
x_{N}-\varepsilon <x_{n}<x_{N}+\varepsilon
\end{equation*}と言い換え可能です。これは、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(N\)項以降の項からなる部分列が有界であることを意味します。ちなみに、その上界は\(x_{N}+\varepsilon \)であり、下界は\(x_{N}-\varepsilon \)です。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の残りの項、すなわち初項から第\(N-1\)項までの有限\(N-1\)個の項\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N-1}\)の中には最大値\(M\)と最小値\(m\)がそれぞれ存在します。したがって、\(\max \{x_{N}+\varepsilon ,\ M\}\)は数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上界であり、\(\min \{x_{N}-\varepsilon ,\ m\}\)は数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の下界です。以上でコーシー列\(\{x_{n}\}\)が有界であることが示されました。

命題(コーシー列は有界)
コーシー列は有界である。
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後ほど解説しますが、コーシー列が有界であるという事実は、コーシー列の収束について考える際に重要な役割を果たします。

例(コーシー列は有界)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{2^{n}}
\end{equation*}で与えられる数式\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列です(確認してください)。したがって上の命題より、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界であるはずです。実際、任意の番号\(n\)に対して、\begin{equation*}
0\leq x_{n}=\frac{1}{2^{n}}\leq \frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界です。
例(コーシー列は有界)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n^{2}}
\end{equation*}で与えられる数式\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列です(確認してください)。したがって上の命題より、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界であるはずです。実際、任意の番号\(n\)に対して、\begin{equation*}
0\leq x_{n}=\frac{1}{n^{2}}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界です。

先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、有界な数列はコーシー列であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(有界な数列はコーシー列であるとは限らない)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は、任意の番号\(n\)について、\begin{equation*}
-1\leq x_{n}=\left( -1\right) ^{n}\leq 1
\end{equation*}を満たすため有界です。一方、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の隣り合う2つの項の間の距離は\(2\)で一定であるため、これはコーシー列ではありません(確認してください)。したがって、有界な数列はコーシー列であるとは限らないことが明らかになりました。

 

コーシー列と極限

収束列とは項の番号を大きくしていくと項が一定の値に限りなく近づく数列ですが、項が一定の値に限りなく近づくならば項の変化がどこまでも小さくなっていきそうです。つまり、直感的に考えると、収束列はコーシー列でもありそうです。実際、収束列は常にコーシー列です。証明は以下の通りです。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が極限\(\alpha \in \mathbb{R}\)へ収束するものとします。\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと\(\frac{\varepsilon }{2}>0\)であるため、このとき、\begin{equation*}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow |x_{n}-\alpha |<\tfrac{\varepsilon }{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。上の番号\(N\)に対して\(m,n\geq N\)を満たす番号\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray}
\left\vert x_{m}-\alpha \right\vert &<&\frac{\varepsilon }{2} \tag{1} \\
\left\vert x_{n}-\alpha \right\vert &<&\frac{\varepsilon }{2} \tag{2}
\end{eqnarray}がともに成り立ちます。したがって、\(m,n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\)に関する項\(x_{m},x_{n}\)の間の距離に関して、\begin{align*}
|x_{m}-x_{n}|& =|(x_{m}-\alpha )-(x_{n}-\alpha )| \\
& \leq |x_{m}-\alpha |+|x_{n}-\alpha | \\
& \leq \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}\quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \\
& =\varepsilon
\end{align*}が成り立つため、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列です。

命題(収束列はコーシー列)
収束列はコーシー列である。
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収束列はコーシー列であることが明らかになりましたが、逆に、コーシー列は収束するでしょうか。以下で順番に考えていきます。

復習になりますが、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束する場合には、その任意の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)もまた収束するとともに、それはもとの収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と同じ極限へ収束します。一方、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束することが明らかでない場合には、たとえその部分列の中に収束するものが存在する場合でも、もとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(収束する部分列を持つ数列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。この数列は振動するため収束しません。一方、この数列の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)の中でも、一般項が、\begin{equation*}
x_{l\left( n\right) }=1
\end{equation*}で与えられるものに注目します。この部分列は極限\(1\)へ収束します。したがって、収束する部分列を持つ数列は収束するとは限らないことが明らかになりました。

現状、コーシー列が収束することは明らかになっていないため(むしろ、コーシー列が収束することを示すことが現在の目標)、上の一般論にしたがうならば、仮にコーシー列が収束する部分列を持っている場合でも、もとのコーシー列が収束することを保証できないはずです。しかし、コーシー列に話を限定すると、それが収束するという事実を前提にせずとも、コーシー列の部分列の中に収束するものが存在する場合、そのコーシー列が収束することを保証できます。証明は以下の通りです。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であるものとします。\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと\(\frac{\varepsilon }{2}>0\)であるため、このとき、\begin{equation}
\exists N_{1}\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N_{1}\wedge n\geq N_{1}\Rightarrow \left\vert
x_{m}-x_{n}\right\vert <\frac{\varepsilon }{2}\right) \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)が極限\(\alpha \in \mathbb{R}\)に収束するものとします。\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと\(\frac{\varepsilon }{2}>0\)であるため、このとき、\begin{equation}
\exists N_{2}\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{2}\Rightarrow \left\vert x_{l\left( n\right) }-\alpha
\right\vert <\frac{\varepsilon }{2}\right) \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。仮に\(l\left( N_{2}\right) <N_{1}\)であるならば、\(N_{2}\)としてより大きな番号を選び、\(l\left( N_{2}\right) \geq N_{1}\)が成り立つように調整します。部分列の定義より\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)は狭義の単調増加関数であるため、このような調節は可能です。その上で\(N=l\left( N_{2}\right) \)とおけば、\(\left( 1\right) \)より、\(m\geq N\)を満たす任意の番号\(m\)について、\begin{equation}
\left\vert x_{m}-x_{N}\right\vert <\frac{\varepsilon }{2} \tag{3}
\end{equation}が成り立ち、\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation}
\left\vert x_{N}-\alpha \right\vert <\frac{\varepsilon }{2} \tag{4}
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、先の番号\(N\)が存在して、\(m\geq N\)を満たす任意の番号\(m\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{m}-\alpha \right\vert &=&\left\vert \left( x_{m}-x_{N}\right)
+\left( x_{N}-\alpha \right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x_{m}-x_{N}\right\vert +\left\vert x_{N}-\alpha
\right\vert \\
&<&\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}\quad \because \left(
3\right) ,\left( 4\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため、コーシー列\(\left\{ x_{n}\right\} \)もまた極限\(\alpha \)へ収束することが明らかになりました。

命題(コーシー列と部分列)
コーシー列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束する部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)を持ち、なおかつその部分列が極限\(\alpha \in \mathbb{R}\)へ収束するならば、コーシー列\(\left\{ x_{n}\right\} \)自身もまた\(\alpha \)へ収束する。
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上の命題を踏まえると、コーシー列が収束することを示すためには、コーシー列が収束する部分列を持つことを示せばよいことになります。具体的には、先に示したようにコーシー列は有界であるため、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理より、コーシー列は収束する部分列を持ちます。したがって、上の命題より、コーシー列が収束することが明らかになりました。

命題(コーシー列の収束定理)
コーシー列は収束する。
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コーシー列の定義はその極限については何も述べてはいません。項の番号を大きくしていくと項の変化がどこまでも小さくなっていく数列をコーシー列と定めているだけです。しかし、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の土台にある実数の連続性を公理として認める場合には、コーシー列が収束することを保証できるというわけです。

収束列はコーシー列であるとともに、コーシー列は収束することが示されました。したがって以下が成り立ちます。

命題(コーシー列と収束列の関係)
数列がコーシー列であることと、その数列が収束することは必要十分である。
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この命題の意味を考えておきましょう。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、それが収束列であるかどうかを判定できない、もしくはその判定が難しい場合でも、その数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であることさえ示すことができれば、上の命題より、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束列であることが保証されます。さらに、他の一般の収束列と同様に、コーシー列が収束する部分列を持つ場合には、コーシー列自身もまた部分列と同じ極限に収束します。したがって、コーシー列の部分列の極限さえ求められれば、もとのコーシー列の極限が判明します。

例(収束列であることの判定)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が以下の再帰式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=1 \\
x_{n+1}=1+\dfrac{1}{x_{n}}\end{array}\right.
\end{equation*}によって定義されているものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束することを示します。ただ、上の再帰式によって数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の隣り合う2つの項どうしの関係が与えられているため、この数列が収束することを示すよりも、この数列がコーシー列であることを示すほうが簡単です。そこで、この数列がコーシー列であることを示します。具体的には、任意の番号\(n\)について、\begin{eqnarray}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert &=&\left\vert \left( 1+\frac{1}{x_{n+1}}\right) -\left( 1+\frac{1}{x_{n}}\right) \right\vert \quad \because
\left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \notag \\
&=&\left\vert \frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_{n}}\right\vert \notag \\
&=&\left\vert \frac{x_{n}-x_{n+1}}{x_{n+1}x_{n}}\right\vert \tag{1}
\end{eqnarray}となります。さらに、\(\left( 1\right) \)の分母について、\begin{eqnarray}
\left\vert x_{n+1}x_{n}\right\vert &=&\left\vert \left( 1+\frac{1}{x_{n}}\right) x_{n}\right\vert \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \notag \\
&=&\left\vert x_{n}+1\right\vert \notag \\
&\geq &2\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\tag{2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert &=&\left\vert \frac{x_{n}-x_{n+1}}{x_{n+1}x_{n}}\right\vert \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\left\vert x_{n}-x_{n+1}\right\vert }{\left\vert
x_{n+1}x_{n}\right\vert } \\
&\leq &\frac{1}{2}\left\vert x_{n}-x_{n+1}\right\vert \quad \because \left(
2\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、コーシー列であるための判定条件より、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列です。さらに、先の命題より、これは数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束列であることと必要十分であるため目標が達成されました。

コーシー列は級数について考える際にも有用な概念です。級数については場を改めて解説します。

 

コーシー列と実数の連続性

復習になりますが、実数の公理系とは、\(\mathbb{R}\)が全順序体であることを規定する公理と、\(\mathbb{R}\)の連続性を規定する公理に分類されます。特に、実数の連続性を特徴づける公理としてデデキントの公理を採用しましたが、\(\mathbb{R}\)の全順序体としての公理を認めるとき以下の命題が成り立ちます。

命題(連続性の公理)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、以下の7つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{デデキントの公理} \\
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質} \\
&&\left( d\right) \ \text{上に有界な単調増加数列の収束定理} \\
&&\left( e\right) \ \text{下に有界な単調減少数列の収束定理} \\
&&\left( f\right) \ \text{カントールの縮小区間定理+アルキメデスの性質} \\
&&\left( g\right) \ \text{ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理+アルキメデスの性質}
\end{eqnarray*}
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上の命題より、\(\mathbb{R}\)の連続性を規定する公理としては、上の7つの性質の中のどれを採用しても問題ないことになります。加えて、連続性の公理はコーシー列を使って表現することも可能です。先に示したように、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を利用することでコーシー列が収束することを示すことができます。実は、それとは逆に、コーシー列の収束定理からボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を示すことができます。したがって、コーシー列の収束定理とボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理は必要十分であるため、コーシー列の収束定理とアルキメデスの性質がともに成り立つことが実数の連続性と必要十分であるということになります。証明のスケッチは以下の通りです。

コーシー列の収束定理からボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を導きます。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界であるものとします。この数列が収束する部分列を持つことを示すことが目標です。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界であることは、\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)が存在して、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in \left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。この区間\(\left[ a,b\right] \)を\(\left[ a,\frac{a+b}{2}\right] \)と\(\left[ \frac{a+b}{2},b\right] \)に分割します。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は無限個の項を持つため、先の2つの区間の少なくとも一方は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の無限個の項を要素として持つため、そのような区間を\(I_{1}=\left[ a_{1},b_{1}\right] \)で表記します。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{1}\right) \ I\supset I_{1} \\
&&\left( b_{1}\right) \ b_{1}-a_{1}=\frac{b-a}{2}
\end{eqnarray*}がとも成り立ちます(確認してください)。区間\(I_{1}\)の要素である数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の要素の中から1つを任意に選び、それを\(x_{l\left( 1\right) }\in I_{1}\)で表記します。その上で、区間\(I_{1}\)を\(\left[ a_{1},\frac{a_{1}+b_{1}}{2}\right] \)と\(\left[ \frac{a_{1}+b_{1}}{2},b_{1}\right] \)に分割します。\(I_{1}\)には数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の無限個の項が含まれるため、先の2つの区間の少なくとも一方は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の無限個の項を要素として持ちます。そこで、そのような区間を\(I_{2}=\left[ a_{2},b_{2}\right] \)で表記します。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{2}\right) \ I_{1}\supset I_{2} \\
&&\left( b_{2}\right) \ b_{2}-a_{2}=\frac{b-a}{2^{2}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます(確認してください)。区間\(I_{2}\)には数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の無限個の項が含まれるため、\(l\left( 1\right) <l\left( 2\right) \)かつ\(x_{l\left( 2\right) }\in I_{2}\)を満たすような\(\left\{ x_{n}\right\} \)の要素を選ぶことができます。

以上のプロセスを繰り返すことにより、\begin{eqnarray}
&&I\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \cdots \supset I_{n}\supset \cdots \tag{1} \\
&&b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}} \tag{2}
\end{eqnarray}を満たす区間列\(\left\{ I_{n}\right\} =\left\{ \left[ a_{n},b_{n}\right] \right\} \)と、\begin{equation}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{l\left( n\right) }\in I_{n} \tag{3}
\end{equation}を満たす\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)が得られます。さらに、番号\(N\)を任意に選ぶと、\(p,q\geq N\)を満たす任意の番号\(p,q\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{l\left( p\right) }-x_{l\left( q\right) }\right\vert &\leq
&b_{N}-a_{N}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 3\right) \\
&=&\frac{b-a}{2^{N}}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x_{l\left( p\right) }-x_{l\left( q\right) }\right\vert \leq \frac{b-a}{2^{N}} \tag{4}
\end{equation}となります。\(\left( 4\right) \)の右辺については、\begin{equation*}
\lim_{N\rightarrow \infty }\left( \frac{b-a}{2^{N}}\right) =0
\end{equation*}となります。つまり、\(N\)を十分大きくすれば\(\left( 4\right) \)の右辺はいくらでも小さくできるため、先の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)はコーシー列です。するとコーシー列の収束定理より\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)は収束しますが、これは数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列であるため、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスが成り立つことが示されました。

命題(ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の言い換え)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理とコーシー列の収束定理は必要十分である。
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以上の命題より、実数の連続性は以下の様な様々な形で表現可能であることが明らかになりました。

命題(連続性の公理)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、以下の8つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{デデキントの公理} \\
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質} \\
&&\left( d\right) \ \text{上に有界な単調増加数列の収束定理} \\
&&\left( e\right) \ \text{下に有界な単調減少数列の収束定理} \\
&&\left( f\right) \ \text{カントールの縮小区間定理+アルキメデスの性質} \\
&&\left( g\right) \ \text{ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理+アルキメデスの性質} \\
&&\left( h\right) \ \text{コーシー列の収束定理+アルキメデスの性質}
\end{eqnarray*}
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次回から実数空間の位相について解説します。

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