コーシー列と収束列

実数の連続性を公理として認めると、コーシー列が収束することを保証できます。また、収束列はコーシー列であるため、数列がコーシー列であることは収束列であるための必要十分条件になります。
コーシー列

収束列はコーシー列

収束列とは項の番号を大きくしていくと項が一定の値に限りなく近づく数列ですが、項が一定の値に限りなく近づくならば項の変化がどこまでも小さくなっていきそうです。つまり、直感的に考えると、収束列はコーシー列でもありそうです。

実際、収束列は常にコーシー列です。収束列\(\{x_{n}\}\)については定義より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N}:\left( n\geq N\Rightarrow |x_{n}-\alpha |<\tfrac{\varepsilon }{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、上の番号\(N\)に対して\(m,n\geq N\)を満たす番号\(m,n\in \mathbb{N}\)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{m}-\alpha \right\vert &<&\frac{\varepsilon }{2} \\
\left\vert x_{n}-\alpha \right\vert &<&\frac{\varepsilon }{2}
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。したがって、\(m,n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\)に関する項\(x_{m},x_{n}\)の距離に関して、\begin{align*}
|x_{m}-x_{n}|& =|(x_{m}-\alpha )-(x_{n}-\alpha )| \\
& \leq |x_{m}-\alpha |+|x_{n}-\alpha | \\
& \leq \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2} \\
& =\varepsilon
\end{align*}となるため\(\{x_{n}\}\)はコーシー列です。

命題(収束列はコーシー列)
収束列はコーシー列である。
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コーシー列は収束列

収束列はコーシー列であることが明らかになりましたが、逆に、コーシー列は必ず収束するでしょうか。順番に考えてきましょう。

一般に、数列\(\{x_{n}\}\)が収束する場合には、その任意の部分列\(\{x_{l\left( n\right) }\}\)もまた収束列であり、それはもとの収束列\(\{x_{n}\}\)と同じ極限へ収束します。一方、数列\(\{x_{n}\}\)が収束しない場合には、たとえその部分列\(\{x_{l\left( n\right) }\}\)が収束する場合でも、もとの数列\(\{x_{n}\}\)は収束するとは限りません。

部分列の極限について復習する

現状、コーシー列\(\{x_{n}\}\)が収束することは明らかになっていないため(むしろ、コーシー列が収束することを示すことが現在の目標)、上の一般論にしたがうならば、仮にコーシー列\(\{x_{n}\}\)が収束する部分列\(\{x_{l\left( n\right) }\}\)を持っている場合でも、もとのコーシー列\(\{x_{n}\}\)が収束することは保証できないはずです。しかし、コーシー列\(\{x_{n}\}\)に話を限定する場合には、\(\{x_{n}\}\)が収束することを前提にせずとも、以下の命題が成り立ちます。

命題(コーシー列と部分列)
コーシー列\(\{x_{n}\}\)が収束する部分列\(\{x_{l\left( n\right) }\}\)を持ち、それが\(\alpha \in \mathbb{R}\)へ収束するならば、コーシー列\(\{x_{n}\}\)自身もまた\(\alpha \)へ収束する。
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上の命題を踏まえると、コーシー列が収束することを示すためには、コーシー列が収束する部分列を持つことを示せばよいことになります。これを示すためにはボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を利用します。

命題(ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理)
有界な数列は収束する部分列を持つ。
ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理について復習する

すでに示したようにコーシー列は有界であるため、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理より、コーシー列は収束する部分列を持ちます。

コーシー列の有界性について復習する
命題(コーシー列の部分列)
コーシー列は収束する部分列を持つ。
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したがって、コーシー列が収束することが示されました。

系(コーシー列は収束する)
コーシー列は収束する。

コーシー列の定義は数列の極限については何も述べてはいません。項の番号を大きくしていくと項の変化がどこまでも小さくなっていく数列をコーシー列と定めているだけです。しかし、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の土台にある実数の連続性を公理として認める場合には、コーシー列が収束することを保証できるというわけです。

 

コーシー列を用いた収束性の判定

収束列はコーシー列であるとともに、コーシー列は収束することが示されました。したがって以下が成り立ちます。

系(コーシー列と収束列の関係)
数列\(\{x_{n}\}\)がコーシー列であることは、\(\{x_{n}\}\)が収束列であるための必要十分条件である。

この命題の意味を考えておきましょう。数列\(\{x_{n}\}\)が与えられたとき、それが収束列であるかどうかを判定できない、もしくはその判定が難しい場合でも、\(\{x_{n}\}\)がコーシー列であることさえ示すことができれば、上の命題より\(\{x_{n}\}\)が収束列であることが保証されます。

例(コーシー列を用いた収束性の判定)
以下の条件をともに満たす数列\(\{x_{n}\}\)が収束列であることを証明します。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x_{1}=1 \\
&&\left( b\right) \ x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}}\quad \left( n\in \mathbb{N}\right)
\end{eqnarray*}数列\(\{x_{n}\}\)の隣り合う 2 つの項の関係に関する条件が与えられているため、\(\{x_{n}\}\)が収束することを直接示すよりも、\(\{x_{n}\}\)がコーシー列であるための判定条件\begin{equation}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert \leq \alpha \left\vert
x_{n+1}-x_{n}\right\vert \quad \left( n\in \mathbb{N},\ 0<\alpha <1\right) \tag{1}
\end{equation}を用いて\(\{x_{n}\}\)がコーシー列であることを示した方が簡単です。この数列の隣り合う 2 つの項の差に関しては、\begin{eqnarray}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert &=&\left\vert \left( 1+\frac{1}{x_{n+1}}\right) -\left( 1+\frac{1}{x_{n}}\right) \right\vert \quad \because
\left( b\right) \notag \\
&=&\left\vert \frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_{n}}\right\vert \notag \\
&=&\left\vert \frac{x_{n}-x_{n+1}}{x_{n+1}x_{n}}\right\vert \tag{2}
\end{eqnarray}となります。さらに、\(\left( 1\right) \)の分母について、\begin{eqnarray}
\left\vert x_{n+1}x_{n}\right\vert &=&\left\vert \left( 1+\frac{1}{x_{n}}\right) x_{n}\right\vert \quad \because \left( b\right) \notag \\
&=&\left\vert x_{n}+1\right\vert \notag \\
&\geq &2\quad \because \left( a\right) ,\left( b\right) \tag{3}
\end{eqnarray}が成り立ちます。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{n+2}-x_{n+1}\right\vert &=&\left\vert \frac{x_{n}-x_{n+1}}{x_{n+1}x_{n}}\right\vert \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{\left\vert x_{n}-x_{n+1}\right\vert }{\left\vert
x_{n+1}x_{n}\right\vert } \\
&\leq &\frac{1}{2}\left\vert x_{n}-x_{n+1}\right\vert \quad \because \left(
3\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left( 1\right) \)が成り立つこと、つまり\(\{x_{n}\}\)がコーシー列であることが示されました。したがって、先の命題より、この\(\{x_{n}\}\)は収束します。
数列がコーシー列であることの判定条件について復習する

さらに、一般の収束列と同様に、コーシー列が収束する部分列を持つ場合には、コーシー列自身がその部分列と同じ極限に収束します。したがって、コーシー列\(\{x_{n}\}\)の部分列の極限さえ求められれば\(\{x_{n}\}\)は収束列であることを保証できると同時に、その極限もまた判明します。

コーシー列は級数について考える際にも有用な概念です。級数については場を改めて解説します。

次回はコーシー列と実数の連続性の関係について解説します。
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