収束列と有界性

数列のすべての項からなる集合が上に有界ならば、その数列は上に有界であると言います。また、数列のすべての項からなる集合が下に有界ならば、その数列は下に有界であると言います。上に有界かつ下に有界な数列を有界な数列と呼びます。収束列は有界ですが、有界な数列は収束するとは限りません。

有界な数列

数列\(\{x_{n}\}\)のすべての項からなる集合\(\{x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \}\)が上に有界ならば、すなわち、\begin{equation*}
\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq M
\end{equation*}が成り立つならば、数列\(\{x_{n}\}\)は上に有界である(bounded from above)と言います。またこのとき、\(U\)を数列\(\{x_{n}\}\)の上界(upper bound)と呼びます。

数列\(\{x_{n}\}\)のすべての項からなる集合\(\{x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \}\)が下に有界ならば、すなわち、\begin{equation*}
\exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :L\leq x_{n}
\end{equation*}が成り立つならば、数列\(\{x_{n}\}\)は下に有界である(bounded from below)と言います。またこのとき、\(L\)を数列\(\{x_{n}\}\)の下界(lower bound)と呼びます。

数列\(\{x_{n}\}\)のすべての項からなる集合\(\{x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \}\)が上に有界かつ下に有界ならば、すなわち、\begin{equation*}
\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} \ \forall n\in \mathbb{N} :L\leq x_{n}\leq M
\end{equation*}が成り立つならば、数列\(\{x_{n}\}\)は有界である(bounded)と言います。

有界な集合について復習する

有界な閉区間を用いるならば、数列\(\{x_{n}\}\)が有界であることを、\begin{equation*}
\exists \left[ L,U\right] \subset \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in \left[ L,U\right] \end{equation*}と表現できます。また、絶対値を用いるならば、数列\(\{x_{n}\}\)が有界であることを、\begin{equation*}
\exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert x_{n}\right\vert \leq \varepsilon
\end{equation*}と表現できます。

例(上に有界な数列)
一般項が\(x_{n}=\frac{n+2}{2n-1}\)で与えられる数列\(\{x_{n}\}\)の項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\frac{1+2}{2\cdot 1-1}=3 \\
x_{2} &=&\frac{2+2}{2\cdot 2-1}=\frac{4}{3} \\
x_{3} &=&\frac{3+2}{2\cdot 3-1}=1 \\
x_{4} &=&\frac{4+2}{2\cdot 4-1}=\frac{6}{7} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}です。\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}\)は減少し続けるため、任意の項は\(x_{1}=3\)以下です。したがって、この数列\(\{x_{n}\}\)は上に有界であり、\(3\)は上界の1つです。
例(下に有界な数列)
一般項が\(x_{n}=\frac{n}{n+1}\)で与えられる数列\(\{x_{n}\}\)の項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} \\
x_{2} &=&\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3} \\
x_{3} &=&\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4} \\
x_{4} &=&\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}です。\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}\)は増加し続けるため、任意の項は\(x_{1}=\frac{1}{2}\)以上です。したがって、この数列\(\{x_{n}\}\)は下に有界であり、\(\frac{1}{2}\)は下界の1つです。

 

収束列は有界

収束列は有界です。またその対偶より、有界ではない数列は収束しません。

命題(収束列は有界)
収束列は有界である。
証明を見る(プレミア会員限定)
例(収束列は有界)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)の項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&2-\frac{1}{1}=1 \\
x_{2} &=&2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \\
x_{3} &=&2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}です。つまり、項は\(1\)から増加し続けるため、任意の項は\(1\)以上です。また、この数列は収束列であり、その極限は\(2\)です。したがって、この数列の任意の項は\(2\)以下です。以上より、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :1\leq x_{n}\leq 2
\end{equation*}が成り立つため、この数列は有界です。
上の数列が収束することの証明を見る(プレミア会員限定)

 

有界列は収束列であるとは限らない

収束列は必ず有界ですが、その逆は成り立つとは限りません。つまり、有界列は収束するとは限りません。

実際、一般項が\(x_{n}=\left( -1\right) ^{n}\)で与えられる数列は、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :-1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}を満たすため有界ですが、これは振動列であるため収束しません。

次回は収束列と演算の関係について解説します。
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