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SEQUENCE OF NUMBERS

収束する数列と有界性

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有界な数列

復習になりますが、実数空間\(\mathbb{R}\)の空ではない部分集合\(A\)について、ある実数\(U\)が\(A\)の任意の要素以上である場合には、つまり、\begin{equation*}
\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:x\leq U
\end{equation*}が成り立つならば、\(U\)を\(A\)の上界と呼びます。また、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)が上界を持つとき、\(A\)は上に有界であると言います。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項からなる集合\begin{equation}
\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}は\(\mathbb{R}\)の空ではない部分集合であるため、上に有界であるか否かを検討することができます。\(\left( 1\right) \)が上に有界であるとき、すなわち、\begin{equation*}
\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq U
\end{equation*}が成り立つとき、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は上に有界である(bounded from above)であると言います。また、\(\left( 1\right) \)の上界を数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上界(upper bound)と呼びます。

例(上に有界な数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n+2}{2n-1}
\end{equation*}で与えられているとき、この数列の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\frac{1+2}{2\cdot 1-1}=3 \\
x_{2} &=&\frac{2+2}{2\cdot 2-1}=\frac{4}{3} \\
x_{3} &=&\frac{3+2}{2\cdot 3-1}=1 \\
x_{4} &=&\frac{4+2}{2\cdot 4-1}=\frac{6}{7} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}ですが、\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}\)は減少し続けるため、この数列のすべての項は\(3\)以下です。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq 3
\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\{x_{n}\}\)は上に有界であり、\(3\)は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上界の1つです。ちなみに、\(3\)以上の任意の実数はこの数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の上界です。
例(上に有界ではない数列)
正の無限大へ発散する数列は上に有界ではありません。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大へ発散することとは、\begin{equation*}\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow x_{n}>M\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、実数\(M\)を任意に選んだとき、この数列\(\left\{x_{n}\right\} \)のある項以降の任意の項が\(M\)より大きくなることが保証されるため\(\left\{ x_{n}\right\} \)は上に有界ではありません。

復習になりますが、実数空間\(\mathbb{R}\)の空ではない部分集合\(A\)について、ある実数\(L\)が\(A\)の任意の要素以下である場合には、つまり、\begin{equation*}
\exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:L\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、\(L\)を\(A\)の下界と呼びます。また、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)が下界を持つとき、\(A\)は下に有界であると言います。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項からなる集合\begin{equation}
\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}は\(\mathbb{R}\)の空ではない部分集合であるため、下に有界であるか否かを検討することができます。\(\left( 2\right) \)が下に有界であるとき、すなわち、\begin{equation*}
\exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :L\leq x_{n}
\end{equation*}が成り立つとき、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は下に有界である(bounded from below)であると言います。また、\(\left( 2\right) \)の下界を数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の下界(lower bound)と呼びます。

例(下に有界な数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n}{n+1}
\end{equation*}で与えられているとき、この数列の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} \\
x_{2} &=&\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3} \\
x_{3} &=&\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4} \\
x_{4} &=&\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}ですが、\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}\)は増加し続けるため、この数列のすべての項は\(\frac{1}{2}\)以上です。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :\frac{1}{2}\leq x_{n}
\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\{x_{n}\}\)は下に有界であり、\(\frac{1}{2}\)は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の下界の1つです。ちなみに、\(\frac{1}{2}\)以下の任意の実数はこの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の下界です。
例(下に有界ではない数列)
負の無限大へ発散する数列は上に有界ではありません。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が負の無限大へ発散することとは、\begin{equation*}\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow x_{n}<M\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、実数\(M\)を任意に選んだとき、この数列\(\left\{x_{n}\right\} \)のある項以降の任意の項が\(M\)より小さくなることが保証されるため\(\left\{ x_{n}\right\} \)は下に有界ではありません。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が上に有界かつ下に有界であるとき、すなわち、\begin{equation}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :L\leq x_{n}\leq U \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立つとき、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界である(bounded)と言います。

例(有界な数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n^{2}+1}
\end{equation*}で与えられているとき、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :0\leq \frac{1}{n^{2}+1}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界です。

 

有限な実数へ収束する数列は有界

有限な実数へ収束する数列は有界であることが保証されます。

命題(収束する数列は有界)
有限な実数へ収束する数列は有界である。

証明

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例(収束する数列は有界)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=2-\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているとき、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2
\end{equation*}が成り立つため(確認してください)、上の命題より\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界であるはずです。実際、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :1\leq x_{n}\leq 2
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。
例(収束する数列は有界)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n+1}{n}
\end{equation*}で与えられているとき、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=1
\end{equation*}が成り立つため(確認してください)、上の命題より\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界であるはずです。実際、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}
\end{equation*}と変形できるとともに、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :1\leq 1+\frac{1}{n}\leq 2
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :1\leq x_{n}\leq 2
\end{equation*}となるため\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界です。

 

有界な数列は収束するとは限らない

有限な実数へ収束する数列は有界であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、有界な数列は有限な実数へ収束するとは限りません。以下の例から明らかです。

例(有界な数列は収束するとは限らない)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているとき、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :-1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}を満たすため\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界ですが、これは振動列であるため収束しません。

 

数列が収束しないことの証明

有限な実数へ収束する数列は有界であることが明らかになりました。対偶より、有界ではない数列は有限な実数へ収束しません。したがって、数列が有界でないことを証明できれば、その数列が有限な実数へ収束しないことを示したことになります。

例(数列が収束しないことの証明)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}で与えられているものとします。実数\(U\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、アルキメデスの性質より、\begin{equation*}\exists N\in \mathbb{N} :U<N
\end{equation*}が成り立ちますが、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の定義より、これは、\begin{equation*}\exists N\in \mathbb{N} :U<x_{N}
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、どのような実数\(U\)を選んだ場合でも、それより大きい\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項が\(x_{N}\)が存在するため、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は上に有界ではありません。つまり\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界ではなく、したがって\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。
例(数列が収束しないことの証明)
以前に、正の無限大へ発散する数列や負の無限大へ発散する数列はいずれも有限な実数へ収束しないことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明しましたが、以上の事実を利用するとそれを別の形で証明できます。具体的には、先に確認したように、正の無限大へ発散する数列は上に有界ではなく、負の無限大へ発散する数列は下に有界でないため、これらはいずれも有界ではなく、したがって有限な実数へ収束しません。

 

演習問題

問題(有界な数列)
本文中では、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が有界であることを、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :L\leq x_{n}\leq U
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。以上を踏まえたとき、\begin{equation*}
\exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert x_{n}\right\vert \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界であるための必要十分条件であることを示してください。
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問題(有界な数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left\{ \frac{1}{7n}\right\}
\end{equation*}で与えられています。この数列は上に有界ですか、下に有界ですか、それぞれについて理由とともに答えてください。

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問題(有界な数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left\{ n\left( -1\right) ^{n+1}\right\}
\end{equation*}で与えられています。この数列は上に有界ですか、下に有界ですか、それぞれについて理由とともに答えてください。

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問題(有界な数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられています。この数列は収束しますか。議論してください。

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問題(有界な数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq x_{n+1}
\end{equation*}を満たすとき、この数列は単調増加であると言います。以下のそれぞれに主張について、それが正しいか正しくないか、理由とともに述べてください。

  1. 上に有界な単調増加数列が存在する。
  2. 任意の単調増加数列は上に有界である。
  3. 上に有界な数列は単調増加である。
  4. 下に有界な単調増加数列が存在する。
  5. 任意の単調増加数列は下に有界である。
  6. 下に有界な数列は単調増加である。
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次回は定数数列と呼ばれる種類の数列が収束することを示します。

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