収束する数列と有界性

数列のすべての項からなる集合が上に有界ならば、その数列は上に有界であると言います。また、数列のすべての項からなる集合が下に有界ならば、その数列は下に有界であると言います。上に有界かつ下に有界な数列を有界な数列と呼びます。収束列は有界ですが、有界な数列は収束するとは限りません。
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有界な数列

復習になりますが、実数空間\(\mathbb{R}\)の空ではない部分集合\(A\)について、ある実数\(U\)が\(A\)の任意の要素以上である場合には、つまり、\begin{equation*}
\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:x\leq U
\end{equation*}が成り立つならば、\(U\)を\(A\)の上界と呼びます。また、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)が上界を持つとき、\(A\)は上に有界であると言います。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項からなる集合\begin{equation}
\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}は\(\mathbb{R}\)の空ではない部分集合であるため、上に有界であるか否かを検討することができます。\(\left( 1\right) \)が上に有界であるとき、すなわち、\begin{equation*}
\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq U
\end{equation*}が成り立つとき、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は上に有界である(bounded from above)であると言います。また、\(\left( 1\right) \)の上界を数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上界(upper bound)と呼びます。

例(上に有界な数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{n+2}{2n-1}
\end{equation*}で与えられているとき、この数列の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\frac{1+2}{2\cdot 1-1}=3 \\
x_{2} &=&\frac{2+2}{2\cdot 2-1}=\frac{4}{3} \\
x_{3} &=&\frac{3+2}{2\cdot 3-1}=1 \\
x_{4} &=&\frac{4+2}{2\cdot 4-1}=\frac{6}{7} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}ですが、\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}\)は減少し続けるため、この数列のすべての項は\(3\)以下です。つまり、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq 3
\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\{x_{n}\}\)は上に有界であり、\(3\)は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上界の1つです。ちなみに、\(3\)以上の任意の実数はこの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上界です。

復習になりますが、実数空間\(\mathbb{R}\)の空ではない部分集合\(A\)について、ある実数\(L\)が\(A\)の任意の要素以下である場合には、つまり、\begin{equation*}
\exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:L\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、\(L\)を\(A\)の下界と呼びます。また、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)が下界を持つとき、\(A\)は下に有界であると言います。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項からなる集合\begin{equation}
\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}は\(\mathbb{R}\)の空ではない部分集合であるため、下に有界であるか否かを検討することができます。\(\left( 2\right) \)が下に有界であるとき、すなわち、\begin{equation*}
\exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :L\leq x_{n}
\end{equation*}が成り立つとき、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は下に有界である(bounded from below)であると言います。また、\(\left( 2\right) \)の下界を数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の下界(lower bound)と呼びます。

例(下に有界な数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{n}{n+1}
\end{equation*}で与えられているとき、この数列の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} \\
x_{2} &=&\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3} \\
x_{3} &=&\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4} \\
x_{4} &=&\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}ですが、\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}\)は増加し続けるため、この数列のすべての項は\(\frac{1}{2}\)以上です。つまり、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :\frac{1}{2}\leq x_{n}
\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\{x_{n}\}\)は下に有界であり、\(\frac{1}{2}\)は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の下界の1つです。ちなみに、\(\frac{1}{2}\)以下の任意の実数はこの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の下界です。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が上に有界かつ下に有界であるとき、すなわち、\begin{equation}
\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :L\leq x_{n}\leq U \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立つとき、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界である(bounded)と言います。

例(有界な数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n^{2}+1}
\end{equation*}で与えられているとき、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :0\leq \frac{1}{n^{2}+1}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界です。

 

収束する数列は有界

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束するものとし、その極限を\(a\in \mathbb{R} \)で表します。すなわち、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <\varepsilon
\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。\(\left( 1\right) \)は任意の正の実数\(\varepsilon \)について成り立つため$\varepsilon
=1$とすると、\begin{equation*}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <1\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow a-1<x_{n}<a+1\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(N\)項以降のすべての項を上下から挟む実数\(\alpha +1\)と\(\alpha -1\)が存在するため、第\(N\)項以降に限定すると\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界です。問題になるのは残された項、すなわち初項から第\(N-1\)項までの\(N-1\)個の項ですが、その個数は有限であるためその中から最大のものと最小のものを常にとることができます。以上を踏まえた上で、\begin{eqnarray*}
U &=&\max \left\{ x_{1},\cdots ,x_{N-1},a+1\right\} \\
L &=&\max \left\{ x_{1},\cdots ,x_{N-1},a-1\right\}
\end{eqnarray*}とそれぞれおけば、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :L\leq x_{n}\leq U
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界であることが示されました。

命題(収束する数列は有界)
収束する数列は有界である。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(収束する数列は有界)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=2-\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているとき、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2
\end{equation*}が成り立つため(確認してください)、上の命題よりこの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界であるはずです。実際、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :1\leq x_{n}\leq 2
\end{equation*}が成り立つため(確認してください)\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界です。

 

有界な数列は収束するとは限らない

収束する数列は有界であることが明らかになりました。対偶より、有界ではない数列は収束しません。例えば、正の無限大や負の無限大に発散する数列はいずれも有界ではなく、したがって収束しません。

逆に、有界な数列は収束するのでしょうか。以下の例が示唆するように、有界な数列は収束するとは限りません。

例(有界な数列は収束するとは限らない)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているとき、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :-1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}を満たすため\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界ですが、これは振動列であるため収束しません。

次回は定数数列と呼ばれる種類の数列が収束することを示します。

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