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数列

有界数列と収束数列の関係

目次

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上に有界な数列

実数空間\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合\(A\)が与えられたとき、ある実数\(U\)が\(A\)の任意の要素以上である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:x\leq U
\end{equation*}が成り立つならば、\(U\)を\(A\)の上界と呼びます。また、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が上界を持つとき、\(A\)は上に有界であると言います。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項からなる集合\begin{equation}\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}は\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合であるため、上に有界であるか検討できます。\(\left( 1\right) \)が上に有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq U
\end{equation*}が成り立つ場合には、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は上に有界である(bounded from above)と言います。また、\(\left( 1\right) \)の上界を数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上界(upper bound)と呼びます。

例(上に有界な数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-n
\end{equation*}であるものとします。この数列の項は\(x_{1}=-1\)を出発点に減少し続けるため、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq -1
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は上に有界であり、\(-1\)は上界です。ちなみに、\(-1\)より大きい任意の実数もまたこの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上界です。
例(上に有界な数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}であるものとします。この数列の項は\(1\)または\(-1\)であるため、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は上に有界であり、\(1\)は上界です。ちなみに、\(1\)より大きい任意の実数もまたこの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上界です。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が上に有界であることとは、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq U
\end{equation*}が成り立つことを意味します。したがって、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が上に有界ではないこととは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\forall U\in \mathbb{R} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :x_{n}>U
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、どのような実数を選んだ場合でも、それより大きい実数が数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の要素の中に存在する場合、その数列は上に有界ではありません。

数列は上に有界であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(上に有界ではない数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}であるものとします。この数列は上に有界ではありません。つまり、\begin{equation*}
\forall U\in \mathbb{R} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :x_{n}>U
\end{equation*}が成り立つということです。実際、\(U\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(U\)より大きい自然数\(n\in \mathbb{N} \)は必ず存在するため、\begin{equation*}n>U
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{n}>U
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が上に有界ではないことが明らかになりました。

 

下に有界な数列

実数空間\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合\(A\)が与えられたとき、ある実数\(L\)が\(A\)の任意の要素以下である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:L\leq x
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(L\)を\(A\)の下界と呼びます。また、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が下界を持つとき、\(A\)は下に有界であると言います。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項からなる集合\begin{equation}\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}は\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合であるため、下に有界であるか検討できます。\(\left( 2\right) \)が下に有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :L\leq x_{n}
\end{equation*}が成り立つ場合には、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は下に有界である(bounded from below)であると言います。また、\(\left( 2\right) \)の下界を数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の下界(lower bound)と呼びます。

例(下に有界な数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}であるものとします。この数列の項は\(x_{1}=1\)を出発点に増加し続けるため、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :1\leq x_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は下に有界であり、\(1\)は下界です。ちなみに、\(1\)より小さい任意の実数もまたこの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の下界です。
例(下に有界な数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}であるものとします。この数列の項は\(1\)または\(-1\)であるため、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :-1\leq x_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は下に有界であり、\(-1\)は下界です。ちなみに、\(-1\)より小さい任意の実数もまたこの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の下界です。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が下に有界であることとは、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :L\leq x_{n}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。したがって、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が下に有界ではないこととは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :L>x_{n}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、どのような実数を選んだ場合でも、それより小さい実数が数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の要素の中に存在する場合、その数列は下に有界ではありません。

数列は下に有界であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(下に有界ではない数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-n
\end{equation*}であるものとします。この数列は下に有界ではありません。つまり、\begin{equation*}
\exists L\in \mathbb{R} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :L>x_{n}
\end{equation*}が成り立つということです。実際、\(L\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(L\)より負の整数\(-n\in \mathbb{Z} \)は必ず存在するため、\begin{equation*}L>-n
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
L>x_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が下に有界ではないことが明らかになりました。

 

有界な数列

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が上に有界かつ下に有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :L\leq x_{n}\leq U
\end{equation*}が成り立つ場合には、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界である(bounded)と言います。

例(有界な数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}であるものとします。先に示したようにこの数列は上に有界かつ下に有界であるため、したがって有界です。

例(有界な数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n^{2}+1}
\end{equation*}で与えられているとき、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :0\leq \frac{1}{n^{2}+1}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界です。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界ではないこととは、この数列が上に有界でないか、下に有界でないか、その少なくとも一方であることを意味します。

例(有界ではない数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-n
\end{equation*}であるものとします。先に示したようにこの数列は上に有界である一方で下に有界ではなく、したがって有界ではありません。

例(有界ではない数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}であるものとします。先に示したようにこの数列は下に有界である一方で上に有界ではなく、したがって有界ではありません。

 

有限な実数へ収束する数列は有界

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数\(a\in \mathbb{R} \)へ収束することとは、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が\(a\)に限りなく近づくことを意味しますが、イプシロン・エヌ論法を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。したがって、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束することとは、上の条件を満たす実数\(a\in \mathbb{N} \)が存在すること、すなわち、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

有限な実数へ収束する数列は有界であることが保証されます。

命題(収束する数列は有界)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束するならば、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界な数列である。
証明

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例(収束する数列は有界)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=2-\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているとき、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2
\end{equation*}が成り立つため(確認してください)、上の命題より\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界であるはずです。実際、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :1\leq x_{n}\leq 2
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。
例(収束する数列は有界)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n+1}{n}
\end{equation*}で与えられているとき、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=1
\end{equation*}が成り立つため(確認してください)、上の命題より\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界であるはずです。実際、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}
\end{equation*}と変形できるとともに、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :1\leq 1+\frac{1}{n}\leq 2
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :1\leq x_{n}\leq 2
\end{equation*}となるため\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界です。

 

有界な数列は収束するとは限らない

有限な実数へ収束する数列は有界であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、有界な数列は有限な実数へ収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(有界な数列は収束するとは限らない)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているとき、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :-1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}を満たすため\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界ですが、これは振動列であるため収束しません。

 

数列が収束しないことの証明

有限な実数へ収束する数列は有界であることが明らかになりました。対偶より、有界ではない数列は有限な実数へ収束しません。したがって、数列が有界でないことを証明できれば、その数列が有限な実数へ収束しないことを示したことになります。

例(数列が収束しないことの証明)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}で与えられているものとします。実数\(U\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、アルキメデスの性質より、\begin{equation*}\exists N\in \mathbb{N} :U<N
\end{equation*}が成り立ちますが、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の定義より、これは、\begin{equation*}\exists N\in \mathbb{N} :U<x_{N}
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、どのような実数\(U\)を選んだ場合でも、それより大きい\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項が\(x_{N}\)が存在するため、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は上に有界ではありません。つまり\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界ではなく、したがって\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。
例(数列が収束しないことの証明)
以前に、正の無限大へ発散する数列や負の無限大へ発散する数列はいずれも有限な実数へ収束しないことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明しましたが、以上の事実を利用するとそれを別の形で証明できます。具体的には、先に確認したように、正の無限大へ発散する数列は上に有界ではなく、負の無限大へ発散する数列は下に有界でないため、これらはいずれも有界ではなく、したがって有限な実数へ収束しません。

 

演習問題

問題(有界な数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n}{n+1}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列が有界であることを示してください。

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問題(有界な数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n+2}{2n-1}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列が有界であることを示してください。

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問題(正の無限大へ発散する数列は上に有界ではない)
正の無限大へ発散する数列は上に有界ではない一方で下に有界であることを示してください。

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問題(負の無限大へ発散する数列は上に有界ではない)
負の無限大へ発散する数列は下に有界ではない一方で上に有界であることを示してください。

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問題(有界数列の代替的な定義)
本文中では、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が有界であることを、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :L\leq x_{n}\leq U
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。以上を踏まえたとき、\begin{equation*}
\exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert x_{n}\right\vert \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界であるための必要十分条件であることを示してください。
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問題(有界な数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left\{ \frac{1}{7n}\right\}
\end{equation*}で与えられています。この数列は上に有界ですか、下に有界ですか、それぞれについて理由とともに答えてください。

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問題(有界な数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left\{ n\left( -1\right) ^{n+1}\right\}
\end{equation*}で与えられています。この数列は上に有界ですか、下に有界ですか、それぞれについて理由とともに答えてください。

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問題(有界な数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられています。この数列は収束しますか。議論してください。

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問題(有界な数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq x_{n+1}
\end{equation*}を満たすとき、この数列は単調増加であると言います。以下のそれぞれに主張について、それが正しいか正しくないか、理由とともに述べてください。

  1. 上に有界な単調増加数列が存在する。
  2. 任意の単調増加数列は上に有界である。
  3. 上に有界な数列は単調増加である。
  4. 下に有界な単調増加数列が存在する。
  5. 任意の単調増加数列は下に有界である。
  6. 下に有界な数列は単調増加である。
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