収束列と演算

収束列の各項を定数倍して得られる数列も収束し、その極限はもとの収束列の極限の定数倍に等しくなります。収束列どうしの和、差、積、商などについても同様の関係が成り立ちます。

収束列の定数倍の極限 収束列の和の極限 収束列の差の極限 収束列の積の極限 収束列の商の極限

2019年1月29日:公開

収束列の定数倍の極限

収束列\(\{x_{n}\}\)と実数\(c\)が与えられたとき、この数列の一般項\(x_{n}\)を\(c\)倍して得られる値\(c\cdot x_{n}\)を一般項とする新たな数列\(\{c\cdot x_{n}\}\)を構成できます。

数列\(\{x_{n}\}\)が収束する場合には数列\(\{c\cdot x_{n}\}\)もまた収束し、両者の極限の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(収束列の定数倍の極限)
収束列\(\{x_{n}\}\)と実数\(c\in \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、数列\(\{c\cdot x_{n}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{n}\right) =c\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}を満たす。特に\(c=-1\)の場合には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -x_{n}\right) =-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}となる。
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上の命題より、数列\(\{x_{n}\}\)が収束することが分かっている場合には、数列\(\{c\cdot x_{n}\}\)が収束することをわざわざ証明する必要はありません。しかも、\(\{c\cdot x_{n}\}\)の極限を得るためには\(\{x_{n}\}\)の極限を\(c\)倍すればよいのです。

例(収束列の定数倍の極限)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)は収束列であり、その極限は\(2\)です。一般項が\(y_{n}=\frac{1}{2}x_{n}\)で与えられる数列\(\{y_{n}\}\)を構成すると、上の命題より\(\{y_{n}\}\)も収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2}x_{n}\right) \\
&=&\frac{1}{2}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\right) \quad \because
\text{収束列の定数倍の極限} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot 2 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。

 

収束列の和の極限

収束列\(\{x_{n}\},\{y_{n}\}\)が与えられたとき、この数列の一般項\(x_{n},y_{n}\)どうしを足して得られる値\(x_{n}+y_{n}\)を一般項とする新たな数列\(\{x_{n}+y_{n}\}\)を構成できます。

数列\(\{x_{n}\},\{y_{n}\}\)がともに収束する場合には数列\(\{x_{n}+y_{n}\}\)もまた収束し、両者の極限の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(収束列の和の極限)
収束列\(\{x_{n}\},\{y_{n}\}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、数列\(\{x_{n}+y_{n}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}を満たす。
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上の命題より、数列\(\{x_{n}\},\{y_{n}\}\)がともに収束することが分かっている場合には、数列\(\{x_{n}+y_{n}\}\)が収束することをわざわざ証明する必要はありません。しかも、\(\{x_{n}+y_{n}\}\)の極限を得るためには\(\{x_{n}\}\)の極限と\(\{y_{n}\}\)の極限を足せばよいのです。

例(収束列の和の極限)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)は収束列であり、その極限は\(2\)です。また、一般項が\(y_{n}=\frac{n+1}{n-1}\)として与えられる数列\(\{y_{n}\}\)も収束列であり、その極限は\(1\)です。一般項が\(x_{n}+y_{n}\)で与えられる数列\(\{x_{n}+y_{n}\}\)を構成すると、上の命題より\(\{x_{n}+y_{n}\}\)も収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \text{収束列の和の極限} \\
&=&2+1 \\
&=&3
\end{eqnarray*}となります。さらに、一般項が\(2x_{n}+3y_{n}\)で与えられる数列\(\{2x_{n}+3y_{n}\}\)を構成すると、上の命題と先の収束列の定数倍の極限に関する命題より\(\{2x_{n}+3y_{n}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n}+3y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n}\right) +\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 3y_{n}\right) \quad \therefore \text{収束列の和の極限} \\
&=&2\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}+3\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \text{収束列の定数倍の極限} \\
&=&2\cdot 2+3\cdot 1 \\
&=&7
\end{eqnarray*}となります。

 

収束列の差の極限

収束列\(\{x_{n}\},\{y_{n}\}\)が与えられたとき、この数列の一般項\(x_{n},y_{n}\)の差\(x_{n}-y_{n}\)を一般項とする新たな数列\(\{x_{n}-y_{n}\}\)を構成できます。

数列\(\{x_{n}\},\{y_{n}\}\)がともに収束する場合には数列\(\{x_{n}-y_{n}\}\)もまた収束し、両者の極限の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(収束列の差の極限)
収束列\(\{x_{n}\},\{y_{n}\}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、数列\(\{x_{n}-y_{n}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}を満たす。
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上の命題より、数列\(\{x_{n}\},\{y_{n}\}\)がともに収束することが分かっている場合には、数列\(\{x_{n}-y_{n}\}\)が収束することをわざわざ証明する必要はありません。しかも、\(\{x_{n}-y_{n}\}\)の極限を得るためには\(\{x_{n}\}\)の極限と\(\{y_{n}\}\)の極限の差をとればよいのです。

例(収束列の差の極限)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)は収束列であり、その極限は\(2\)です。また、一般項が\(y_{n}=\frac{n+1}{n-1}\)として与えられる数列\(\{y_{n}\}\)も収束列であり、その極限は\(1\)です。一般項が\(x_{n}-y_{n}\)で与えられる数列\(\{x_{n}-y_{n}\}\)を構成すると、上の命題より\(\{x_{n}-y_{n}\}\)も収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \text{収束列の差の極限} \\
&=&2-1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。さらに、一般項が\(2x_{n}-3y_{n}\)で与えられる数列\(\{2x_{n}-3y_{n}\}\)を構成すると、上の命題と先の収束列の定数倍の極限に関する命題より\(\{2x_{n}-3y_{n}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n}-3y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n}\right) -\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 3y_{n}\right) \quad \therefore \text{収束列の差の極限} \\
&=&2\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}-3\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \text{収束列の定数倍の極限} \\
&=&2\cdot 2-3\cdot 1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。

 

収束列の積の極限

収束列\(\{x_{n}\},\{y_{n}\}\)が与えられたとき、この数列の一般項\(x_{n},y_{n}\)の積\(x_{n}\cdot y_{n}\)を一般項とする新たな数列\(\{x_{n}\cdot y_{n}\}\)を構成できます。

数列\(\{x_{n}\},\{y_{n}\}\)がともに収束する場合には数列\(\{x_{n}\cdot y_{n}\}\)もまた収束し、両者の極限の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(収束列の積の極限)
収束列\(\{x_{n}\},\{y_{n}\}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、数列\(\{x_{n}\cdot y_{n}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}を満たす。
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上の命題より、数列\(\{x_{n}\},\{y_{n}\}\)がともに収束することが分かっている場合には、数列\(\{x_{n}\cdot y_{n}\}\)が収束することをわざわざ証明する必要はありません。しかも、\(\{x_{n}\cdot y_{n}\}\)の極限を得るためには\(\{x_{n}\}\)の極限と\(\{y_{n}\}\)の極限の積をとればよいのです。

例(収束列の積の極限)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)は収束列であり、その極限は\(2\)です。また、一般項が\(y_{n}=\frac{n+1}{n-1}\)として与えられる数列\(\{y_{n}\}\)も収束列であり、その極限は\(1\)です。一般項が\(x_{n}\cdot y_{n}\)で与えられる数列\(\{x_{n}\cdot y_{n}\}\)を構成すると、上の命題より\(\{x_{n}\cdot y_{n}\}\)も収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \text{収束列の積の極限} \\
&=&2\cdot 1 \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。さらに、一般項が\(2x_{n}y_{n}-y_{n}\)で与えられる数列\(\{2x_{n}y_{n}-y_{n}\}\)を構成すると、これまで示した諸命題より\(\{2x_{n}y_{n}-y_{n}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n}y_{n}-y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n}y_{n}\right) -\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \therefore \text{収束列の差の極限} \\
&=&2\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right) -\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \text{収束列の定数倍の極限} \\
&=&2\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \text{収束列の積の極限} \\
&=&2\cdot 2\cdot 1-1 \\
&=&3
\end{eqnarray*}となります。

 

収束列の商の極限

収束列\(\{x_{n}\},\{y_{n}\}\)が与えられたとき、任意の\(n\)に対して\(y_{n}\not=0\)が成り立つ場合には、商\(\frac{x_{n}}{y_{n}}\)を一般項とする新たな数列\(\{\frac{x_{n}}{y_{n}}\}\)を構成できます。

数列\(\{x_{n}\},\{y_{n}\}\)がともに収束すると同時に、\(\{y_{n}\}\)の極限が非ゼロである場合には数列\(\{\frac{x_{n}}{y_{n}}\}\)もまた収束し、両者の極限の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(収束列の商の極限)
収束列\(\{x_{n}\}\)と、任意の\(n\)に対して\(y_{n}\not=0\)であると同時に\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}\not=0\)を満たす収束列\(\{y_{n}\}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、数列\(\{\frac{x_{n}}{y_{n}}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}}
\end{equation*}を満たす。
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上の命題より、数列\(\{x_{n}\},\{y_{n}\}\)がともに収束することが分かっている場合には、数列\(\{\frac{x_{n}}{y_{n}}\}\)が収束することをわざわざ証明する必要はありません。しかも、\(\{\frac{x_{n}}{y_{n}}\}\)の極限を得るためには\(\{x_{n}\}\)の極限と\(\{y_{n}\}\)の極限の商をとればよいのです。

例(収束列の商の極限)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)は収束列であり、その極限は\(2\)です。また、一般項が\(y_{n}=\frac{n+2}{n}\)として与えられる数列\(\{y_{n}\}\)の任意の項は非ゼロであると同時に、これは収束列であり、その極限は\(1\)です。そこで、一般項が\(\frac{x_{n}}{y_{n}}\)で与えられる数列\(\{\frac{x_{n}}{y_{n}}\}\)を構成すると、上の命題より\(\{\frac{x_{n}}{y_{n}}\}\)も収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}}\quad \because \text{収束列の商の極限} \\
&=&\frac{2}{1} \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。さらに、一般項が\(\frac{2x_{n}y_{n}-x_{n}}{y_{n}}\)で与えられる数列\(\{\frac{2x_{n}y_{n}-x_{n}}{y_{n}}\}\)を構成すると、これまで示した諸命題より\(\{\frac{2x_{n}y_{n}-x_{n}}{y_{n}}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{2x_{n}y_{n}-x_{n}}{y_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n} y_{n}-x_{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}}\quad \therefore \text{収束列の商の極限} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n}y_{n}\right) -\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}}\quad \therefore \text{収束列の差の極限} \\
&=&\frac{2\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right) -\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}}\quad \because \text{収束列の定数倍の極限} \\
&=&\frac{2\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}-\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}}\quad \because \text{収束列の積の極限} \\
&=&\frac{2\cdot 2\cdot 1-2}{1} \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。

 

本節の含意

本節において示した諸命題を利用すれば、収束列の極限を導出する際にわざわざイプシロン・デルタ論法に立ち戻って証明する必要がなくなるため、手間を大幅に省くことができます。

例えば 3 つの数列\(\{x_{n}\},\{y_{n}\},\{z_{n}\}\)が与えられたとき、一般項が、\begin{equation*}
\frac{2x_{n}-y_{n}}{z_{n}}
\end{equation*}で与えられる新たな数列\(\{\frac{2x_{n}-y_{n}}{z_{n}}\}\)について考えます。イプシロン・デルタ論法にもとづいてこの数列の極限を求めるためには、極限の候補として最初に何らかの実数\(\alpha \)を設定した上で、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\ \Rightarrow \ \left\vert \frac{2x_{n}-y_{n}}{z_{n}}-\alpha \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを証明する必要があります。一方、\(\{x_{n}\},\{y_{n}\},\{z_{n}\}\)の極限がそれぞれ分かっている場合には、本節で示した諸命題を用いて、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{2x_{n}-y_{n}}{z_{n}}\right) =\frac{2\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}-\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }z_{n}}
\end{equation*}と簡単に極限を計算することができます。

次回は収束列と順序の関係について学びます。
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