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SEQUENCE OF NUMBERS

数列の無限極限

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正の無限大へ発散する数列

復習になりますが、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)とは無限個の実数を順番に並べたもの\begin{equation*}
x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\cdots
\end{equation*}ですが、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が限りなく大きくなる場合、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は正の無限大に発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty
\end{equation*}で表します。

例(正の無限大に発散する数列)
一般項が\(x_{n}=2^{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)の項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&2^{1}=2 \\
x_{2} &=&2^{2}=4 \\
x_{3} &=&2^{3}=8 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}であり、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)は限りなく大きくなります。したがって、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

数列の発散に関して厳密な議論を行うためには「限りなく大きくなる」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。結論から言うと、数列の発散を厳密に定義する最にもイプシロン・デルタ論法を利用します。

まず、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)が限りなく大きいと言うためには、\(x_{n}\)の大きさを表す指標が必要です。そこで、\(x_{n}\)の大きさを表す指標として実数\(M\)を導入したとき、\begin{equation}
x_{n}>M \quad\cdots (1)
\end{equation}が成り立つならば、「\(x_{n}\)は\(M\)よりも大きい」と言えます。

次に問題になるのは「\(n\)が大きくなるにつれて」という表現の定式化です。\(n\)が大きくなるにつれて数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)が実数\(M\)よりも大きくなることとは、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のある項から先の任意の項\(x_{n}\)について、\(x_{n} \)が\(M\)よりも大きいこととして言い換え可能です。つまり、ある番号\(N\)が存在して、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(N\)項以降のすべての項が\(x_{n}\)について\(\left( 1\right) \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow x_{n}>M\right) \quad\cdots (2)
\end{equation}となります。上の論理式が成り立つならば、「\(n\)が大きくなるにつれて数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)は実数\(M\)よりも大きくなる」と言えます。

最後に問題になるのは「限りなく大きくなる」という表現の定式化です。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)に発散することとは、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が限りなく大きくなることを意味しますが、この場合、限りなく大きい実数\(M\)を任意に選んだ場合においても、\(n\)が大きくなるにつれて数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)は\(M\)よりも大きくなるはずです。\(\left( 2\right) \)を踏まえるとこれは、\begin{equation}
\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow x_{n}>M\right) \quad\cdots (3)
\end{equation}と表現できます。そこで、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(\left( 3\right) \)を満たす場合、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は正の無限大に発散すると言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty
\end{equation*}と表現します。以上が数列が正の無限大に発散することの厳密な定義です。

例(正の無限大に発散する数列)
一般項が\(x_{n}=2^{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)の項は、\begin{equation*}
2,4,8,16,32,\cdots
\end{equation*}であるため、この数列は明らかに正の無限大に発散しますが、そのことを以下で厳密に証明します。目標は以下の論理式\begin{equation*}
\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :(n\geq N\Rightarrow 2^{n}>M)
\end{equation*}が成り立つことを示すことです。実数\(M\)を任意に選びます。以下の不等式\begin{equation*}
2^{n}>M
\end{equation*}を解くと\(n>\frac{\log M}{\log 2}\)を得ます。したがって、\(N>\frac{\log M}{\log 2}\)を満たす\(N\in \mathbb{N} \)を適当に選べば、\(n\geq N\)を満たすような任意の\(n\)について\(2^{n}>M\)が成り立つため、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty \)が成り立つことが示されました。

正の無限大へ発散する数列は収束しません。

命題(正の無限大へ発散する数列は収束しない)
正の無限大へ発散する数列は収束しない。
証明

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負の無限大へ発散する数列

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が限りなく小さくなる場合、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は負の無限大に発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=-\infty
\end{equation*}で表します。

例(負の無限大に発散する数列)
一般項が\(x_{n}=-\left( 2^{n}\right) \)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)の項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&-\left( 2^{1}\right) =-2 \\
x_{2} &=&-\left( 2^{2}\right) =-4 \\
x_{3} &=&-\left( 2^{3}\right) =-8 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}であり、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)は限りなく小さくなります。したがって、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=-\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

数列の発散に関して厳密な議論を行うためには「限りなく小さくなる」という曖昧な表現を厳密に定義する必要がありますが、そのためには正の無限大へ発散する数列に関する議論において、不等号の向きを変えるだけで十分です。つまり、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が負の無限大に発散することとは、限りなく小さい実数\(M\)を任意に選んだ場合においても、\(n\)が大きくなるにつれて数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項\(x_{n}\)は\(M\)よりも小さくなることとして、すなわち、\begin{equation*}
\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow x_{n}<M\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。上の論理式が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=-\infty
\end{equation*}で表します。

例(負の無限大に発散する数列)
一般項が\(x_{n}=-\left( 2^{n}\right) \)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)の項は、\begin{equation*}
-2,-4,-8,-16,-32,\cdots
\end{equation*}であるため、この数列は明らかに負の無限大に発散しますが、そのことを以下で厳密に証明します。目標は以下の論理式\begin{equation*}
\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :(n\geq N\Rightarrow -2^{n}<M)
\end{equation*}が成り立つことを示すことです。実数\(M\)を任意に選びます。以下の不等式\begin{equation*}
-2^{n}<M
\end{equation*}を解くと\(n>\frac{\log \left( -M\right) }{\log 2}\ \left( -M>0\right) \)を得ます。したがって、\(N>\frac{\log \left( -M\right) }{\log 2}\)を満たす\(N\in \mathbb{N} \)を適当に選べば、\(n\geq N\)を満たすような任意の\(n\)について\(-2^{n}<M\)が成り立つため、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=-\infty \)が成り立つことが示されました。

負の無限大へ発散する数列は収束しません。証明は先の命題と同様です。

命題(負の無限大へ発散する数列は収束しない)
負の無限大へ発散する数列は収束しない。

 

振動する数列

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束せず、正の無限大や負の無限大にも発散しない場合、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は振動する(oscillating)と言います。

例(発散する数列)
一般項が\(x_{n}=(-2)^{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)の項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\left( -2\right) ^{1}=-2 \\
x_{2} &=&\left( -2\right) ^{2}=4 \\
x_{3} &=&\left( -2\right) ^{3}=-8 \\
x_{4} &=&\left( -2\right) ^{4}=16 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}であり、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)の絶対値はいくらでも大きくなるため、この数列は収束列ではありません。また、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)は正の実数と負の実数を交互にとるため、この数列は正の無限大や負の無限大に発散しません。したがって、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は振動します。

 

発散する数列

収束しない数列を発散列(divergent sequence)と呼びます。発散列には正の無限大に発散する数列、負の無限大に発散する数列、そして、振動する数列の3種類があります。

 

演習問題

問題(数列の無限極限)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=n
\end{equation*}として与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束しないことを証明してください。
解答

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問題(数列の無限極限)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}として与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束しないことを証明してください。
解答

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次回は有界な数列という概念について解説した上で、それと収束性の関係について解説します。

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