調和数列
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}a+\left( n-1\right) d\not=0
\end{equation*}を満たす定数\(a,d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{a+\left( n-1\right) d}
\end{equation*}として表される場合、このような数列を調和数列（harmonic progression）と呼びます。調和数列の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\frac{1}{a} \\
x_{2} &=&\frac{1}{a+d} \\
x_{3} &=&\frac{1}{a+2d} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。
調和数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、その一般項\(x_{n}\)の逆数\begin{equation*}\frac{1}{x_{n}}=a+\left( n-1\right) d
\end{equation*}を一般項として持つ数列\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)をとると、これは初項が\(a\)であり公差が\(d\)であるような等差数列に他なりません。つまり、調和数列とは、等差数列の一般項の逆数を一般項とする数列です。ただし、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について\(a+\left( n-1\right) d\not=0\)である必要があります。調和数列とは、任意の項が非ゼロであるような等差数列の一般項の逆数を一般項として持つ数列です。
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x_{n}} &=&n \\
&=&1+\left( n-1\right) 1
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)は初項が\(1\)で公差が\(1\)であるような等差数列です。したがって、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は調和数列です。この数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&\frac{1}{1}=1 \\
x_{2} &=&\frac{1}{2} \\
x_{3} &=&\frac{1}{3} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x_{n}} &=&2n-1 \\
&=&1+\left( n-1\right) 2
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)は初項が\(1\)で公差が\(2\)であるような等差数列です。したがって、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は調和数列です。この数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&\frac{1}{2\cdot 1-1}=1 \\
x_{2} &=&\frac{1}{2\cdot 2-1}=\frac{1}{3} \\
x_{3} &=&\frac{1}{2\cdot 3-1}=\frac{1}{5} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x_{n}} &=&1-2n \\
&=&\left( -1\right) +\left( n-1\right) \left( -2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)は初項が\(-1\)で公差が\(-2\)であるような等差数列です。したがって、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は調和数列です。この数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&\frac{1}{1-2\cdot 1}=-1 \\
x_{2} &=&\frac{1}{1-2\cdot 2}=-\frac{1}{3} \\
x_{3} &=&\frac{1}{1-2\cdot 3}=-\frac{1}{5} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x_{n}} &=&a \\
&=&a+\left( n-1\right) 0
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)は初項が\(a\)で公差が\(0\)であるような等差数列です。したがって、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は調和数列です。この数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&\frac{1}{a} \\
x_{2} &=&\frac{1}{a} \\
x_{3} &=&\frac{1}{a} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は定数数列です。定数数列は特別な調和数列であるということです。
調和数列の再帰的な定義
繰り返しになりますが、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が調和数列であることとは、その一般項\(x_{n}\)が、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :a+\left( n-1\right) d\not=0
\end{equation*}を満たす定数\(a,d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{a+\left( n-1\right) d}
\end{equation*}と表されることを意味します。この場合、数列\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)は初項が\(a\)で公差が\(d\)の等差数列であり、その一般項は、\begin{equation*}\frac{1}{x_{n}}=a+\left( n-1\right) d
\end{equation*}となります。等差数列\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)を再帰的に表現すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
\frac{1}{x_{1}}=a \\
\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_{n}}=d\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{1}{x_{1}}=a \\
\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{1}{x_{n}}+d\end{array}\right.
\end{equation*}となるため、これを調和数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の再帰的な表現として採用することもできます。実際、この再帰式を利用すると、\begin{eqnarray*}\frac{1}{x_{1}} &=&a \\
\frac{1}{x_{2}} &=&\frac{1}{x_{1}}+d=a+d \\
\frac{1}{x_{3}} &=&\frac{1}{x_{2}}+d=a+2d \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}と次々に計算できるため、これらの項の逆数をとれば、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\frac{1}{a} \\
x_{2} &=&\frac{1}{a+d} \\
x_{3} &=&\frac{1}{a+2d} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となり、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項を具体的に特定できます。
\begin{array}{l}
\frac{1}{x_{1}}=1 \\
\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{1}{x_{n}}+1\end{array}\right.
\end{equation*}によって定義されているものとします。つまり、\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)は等差数列であるため\(\left\{ x_{n}\right\} \)は調和数列です。具体的には、\begin{eqnarray*}\frac{1}{x_{1}} &=&1 \\
\frac{1}{x_{2}} &=&\frac{1}{x_{1}}+1=1+1=2 \\
\frac{1}{x_{3}} &=&\frac{1}{x_{2}}+1=2+1=3 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となるため、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&\frac{1}{1}=1 \\
x_{2} &=&\frac{1}{2} \\
x_{3} &=&\frac{1}{3} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{l}
\frac{1}{x_{1}}=1 \\
\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{1}{x_{n}}+2\end{array}\right.
\end{equation*}によって定義されているものとします。つまり、\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)は等差数列であるため\(\left\{ x_{n}\right\} \)は調和数列です。具体的には、\begin{eqnarray*}\frac{1}{x_{1}} &=&1 \\
\frac{1}{x_{2}} &=&\frac{1}{x_{1}}+2=1+2=3 \\
\frac{1}{x_{3}} &=&\frac{1}{x_{2}}+1=3+2=5 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となるため、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&\frac{1}{1}=1 \\
x_{2} &=&\frac{1}{3} \\
x_{3} &=&\frac{1}{5} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{l}
\frac{1}{x_{1}}=-1 \\
\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{1}{x_{n}}-2\end{array}\right.
\end{equation*}によって定義されているものとします。つまり、\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)は等差数列であるため\(\left\{ x_{n}\right\} \)は調和数列です。具体的には、\begin{eqnarray*}\frac{1}{x_{1}} &=&-1 \\
\frac{1}{x_{2}} &=&\frac{1}{x_{1}}-2=-1-2=-3 \\
\frac{1}{x_{3}} &=&\frac{1}{x_{2}}-2=-3-2=-5 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となるため、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&\frac{1}{-1}=-1 \\
x_{2} &=&-\frac{1}{3} \\
x_{3} &=&-\frac{1}{5} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{l}
\frac{1}{x_{1}}=a \\
\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{1}{x_{n}}\end{array}\right.
\end{equation*}によって定義されているものとします。ただし、\(a\not=0\)です。つまり、\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)は等差数列であるため\(\left\{x_{n}\right\} \)は調和数列です。具体的には、\begin{eqnarray*}\frac{1}{x_{1}} &=&a \\
\frac{1}{x_{2}} &=&\frac{1}{x_{1}}=a \\
\frac{1}{x_{3}} &=&\frac{1}{x_{2}}=a \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となるため、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&\frac{1}{a} \\
x_{2} &=&\frac{1}{a} \\
x_{3} &=&\frac{1}{a} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。
調和数列の部分和
調和数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、数列\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}\frac{1}{x_{n}}=a+\left( n-1\right) d
\end{equation*}であるため、等差数列の部分和より、数列\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)の部分和は、\begin{equation*}\sum_{v=1}^{n}\left( \frac{1}{x_{v}}\right) =\frac{n\left[ 2a+\left(
n-1\right) d\right] }{2}
\end{equation*}として導出できます。その一方で、もとの調和数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分和\begin{equation*}\sum_{v=1}^{n}x_{v}=\sum_{v=1}^{n}\frac{1}{a+\left( v-1\right) d}
\end{equation*}を公式として表現するのは難しく、部分和を具体的に計算せざるを得ません。
ただ、\(n\)の値が十分大きい場合には、一定の条件のもとで、調和数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分和の近似値を以下のように特定できます。証明ではリーマン積分に関する知識が必要です。
\end{equation*}を満たす定数\(a,d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{a+\left( n-1\right) d}
\end{equation*}と表されるものとする。さらに、以下の条件\begin{equation*}
2a>d\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分和\begin{equation*}s_{n}=\sum_{v=1}^{n}x_{v}
\end{equation*}をとったとき、十分大きい\(n\)について、以下の近似関係\begin{equation*}s_{n}\approx \frac{1}{d}\ln \left[ \frac{2a+\left( 2n-1\right) d}{2a-d}\right] \end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x_{n}} &=&n \\
&=&1+\left( n-1\right) 1
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)は初項が\(1\)で公差が\(1\)であるような等差数列です。したがって、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は調和数列です。初項\(1\)と公差\(1\)の間に以下の関係\begin{equation*}2\cdot 1>1\not=0
\end{equation*}が成立するため、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分和について、十分大きい\(n\)について、以下の近似関係\begin{eqnarray*}s_{n} &\approx &\frac{1}{1}\ln \left[ \frac{2\cdot 1+\left( 2n-1\right) 1}{2\cdot 1-1}\right] \\
&=&\ln \left( 1+2n\right)
\end{eqnarray*}が成立します。
調和数列の極限
調和数列は有限な実数へ収束します。極限は以下の通りです。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項\(x_{n}\)が、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :a+\left( n-1\right) d\not=0
\end{equation*}を満たす定数\(a,d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{a+\left( n-1\right) d}
\end{equation*}と表されるものとする。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束するとともに、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ d &=&0\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\frac{1}{a} \\
\left( b\right) \ d &\not=&0\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x_{n}} &=&n \\
&=&1+\left( n-1\right) 1
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)は初項が\(1\)で公差が\(1\)であるような等差数列です。公差は、\begin{equation*}1\not=0
\end{equation*}を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x_{n}} &=&2n-1 \\
&=&1+\left( n-1\right) 2
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)は初項が\(1\)で公差が\(2\)であるような等差数列です。公差は、\begin{equation*}2\not=0
\end{equation*}を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x_{n}} &=&1-2n \\
&=&\left( -1\right) +\left( n-1\right) \left( -2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)は初項が\(-1\)で公差が\(-2\)であるような等差数列です。公差は、\begin{equation*}-2\not=0
\end{equation*}を満たすため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x_{n}} &=&a \\
&=&a+\left( n-1\right) 0
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)は初項が\(a\)で公差が\(0\)であるような等差数列です。したがって先の命題より、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\frac{1}{a}
\end{equation*}が成り立ちます。
演習問題
x_{10} &=&10
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。この数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の一般項を求めてください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】