単調性の証明戦略

隣り合う2つの項を比較する

数列\(\{x_{n}\}\)が単調増加であることを示す方法は様々です。最もシンプルな方法は、任意の\(n\in \mathbb{N}\)について\(x_{n}\leq x_{n+1}\)が成り立つことを示すというものです。単調減少、狭義単調増加、狭義単調減少についても同様に考えます。

例(単調性の証明)
数列\(\{x_{n}\}\)が\(x_{n}=r^{n}\ \left( r>1\right) \)として定義されるとき、任意の\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{eqnarray*}
x_{n+1} &=&r^{n+1} \\
&=&r\times r^{n} \\
&>&1\times r^{n}\quad \because r>1 \\
&=&x_{n}
\end{eqnarray*}すなわち\(x_{n+1}>x_{n}\)が成り立つため、\(\{x_{n}\}\)は狭義単調増加数列です。

 

任意の2つの項を比較する

数列\(\{x_{n}\}\)が与えられたとき、任意の\(m,n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
m<n\ \Rightarrow \ x_{m}\leq x_{n}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\{x_{n}\}\)は単調増加数列です。単調減少、狭義単調増加、狭義単調減少についても同様に考えます。

例(単調性の証明)
数列\(\{x_{n}\}\)が\(x_{n}=\frac{1}{n}\)として定義されるものとします。\(m<n\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
x_{m} &=&\frac{1}{m} \\
&>&\frac{1}{n}\quad \because m<n \\
&=&x_{n}
\end{eqnarray*}すなわち\(x_{m}>x_{n}\)が成り立つため、\(\{x_{n}\}\)は狭義単調減少数列です。

 

隣り合う2つの項の差の符号を見る

数列\(\{x_{n}\}\)が与えられたとき、任意の\(n\in \mathbb{N}\)について\(x_{n+1}-x_{n}\geq 0\)が成り立つ場合には、\(\{x_{n}\}\)は単調増加数列です。単調減少、狭義単調増加、狭義単調減少についても同様に考えます。

例(単調性の証明)
数列\(\{x_{n}\}\)が\(x_{n}=n^{2}\)として定義されるとき、任意の\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{eqnarray*}
x_{n+1}-x_{n} &=&\left( n+1\right) ^{2}-n^{2} \\
&=&\left( n^{2}+2n+1\right) -n^{2} \\
&=&2n+1 \\
&>&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\{x_{n}\}\)は狭義単調増加数列です。

 

隣り合う2つの項の商の符号を見る

数列\(\{x_{n}\}\)が与えられたとき、任意の\(n\in \mathbb{N}\)について\(x_{n}>0\)かつ\(\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\geq 0\)が成り立つ場合には、\(\{x_{n}\}\)は単調増加数列です。単調減少、狭義単調増加、狭義単調減少についても同様に考えます。

例(単調性の証明)
数列\(\{x_{n}\}\)が\(x_{n}=\frac{n}{n+1}\)として定義されるとき、任意の\(n\in \mathbb{N}\)について\(x_{n}>0\)であると同時に、\begin{eqnarray*}
\frac{x_{n+1}}{x_{n}} &=&\frac{n+1}{\left( n+1\right) +1}\cdot \frac{n+1}{n} \\
&=&\frac{\left( n+1\right) ^{2}}{\left( n+2\right) n} \\
&=&\frac{n^{2}+2n+1}{n^{2}+2n} \\
&=&1+\frac{1}{n^{2}+2n} \\
&>&1
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\{x_{n}\}\)は狭義単調増加数列です。

 

関数を利用する

数列\(\{x_{n}\}\)が与えられたとき、それに対して\(f\left( x\right) =x_{n}\)を満たす関数\(f: \mathbb{R} \supset \lbrack 1,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}\)を構成します。この\(f\)が増加関数ならば\(\{x_{n}\}\)は単調増加数列です。単調減少、狭義単調増加、狭義単調減少についても同様に考えます。

例(単調性の証明)
数列\(\{x_{n}\}\)が\(x_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}\)として定義されるとき、これに対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{x}{x^{2}+1}
\end{equation*}を満たす関数\(f: \mathbb{R} \supset \lbrack 1,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}\)を構成します。任意の\(x\geq 1\)について、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{\left( x\right) ^{\prime }\left( x^{2}+1\right) -x\left( x^{2}+1\right) ^{\prime }}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{1\left( x^{2}+1\right) -x\left( 2x\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{1-x^{2}}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&\leq &0\quad \because x\geq 1
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は減少関数です。したがって\(\{x_{n}\}\)は単調減少数列です。

 

数学的帰納法を活用する

数学的帰納法を用いる方法も有用です。具体的には、数列\(\{x_{n}\}\)が与えられたとき、\(x_{1}\leq x_{2}\)を示すと同時に、\(k\in \mathbb{N}\)について\(x_{k}\leq x_{k+1}\)を仮定します。このとき\(x_{k+!}\leq x_{k+2}\)を示すことができれば、数学的帰納法より\(\{x_{n}\}\)は単調増加数列です。単調減少、狭義単調増加、狭義単調減少についても同様に考えます。

例(単調性の証明)
数列\(\{x_{n}\}\)が任意の\(n\in \mathbb{N}\)について\(x_{n+1}=\frac{x_{n}+3}{5}\)であると同時に\(x_{1}=1\)を満たすものとして定義されているとします。このとき、\begin{equation*}
x_{2}=\frac{x_{1}+3}{5}=\frac{1+3}{5}=\frac{4}{5}<1=x_{1}
\end{equation*}が成り立ちます。\(k\in \mathbb{N}\)について\(x_{k}<x_{k+1}\)が成り立つものと仮定します。このとき、\begin{eqnarray*} x_{k+2} &=&\frac{x_{k+1}+3}{5} \\ &>&\frac{x_{k}+3}{5}\quad \because x_{k}<x_{k+1} \\
&=&x_{k+1}
\end{eqnarray*}が成り立つため、数学的帰納法より\(\{x_{n}\}\)は狭義単調増加数列です。

次回は有界単調数列の収束定理について学びます。
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