単調数列（単調増加数列と単調減少数列）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項に関して、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq x_{n+1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列を単調増加数列（monotonically increasing sequence）と呼びます。単調増加数列の項は先へ行くにつれて大きくなることはあっても小さくなることはありません。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調増加であることを示すための最もシンプルな方法は、隣り合う任意の2つの項を比較するというものです。つまり、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}x_{n}\leq x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つことを示せば\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調増加であることを示したことになります。逆に、少なくとも1つの番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}>x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つことを示せば\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調増加ではないことを示したことになります。
\end{equation*}であるものとします。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&n^{2}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&\leq &\left( n+1\right) ^{2}\quad \because n\in \mathbb{N} \\
&=&x_{n+1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、この数列は単調増加です。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項に関して、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq x_{n+1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{1}\geq x_{2}\geq x_{3}\geq \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列を単調減少数列（monotonically decreasing sequence）と呼びます。単調減少数列の項は先へ行くにつれて小さくなることはあっても大きくなることはありません。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調減少であることを示す方法は単調増加の場合と同様です。つまり、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}x_{n}\geq x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つことを示せば\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調減少であることを示したことになります。逆に、少なくとも1つの番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}<x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つことを示せば\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調減少ではないことを示したことになります。
\end{equation*}であるものとします。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&\frac{1}{n}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&\geq &\frac{1}{n+1}\quad \because n\in \mathbb{N} \\
&=&x_{n+1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、この数列は単調減少です。
単調増加数列と単調減少数列を総称して単調数列（monotone sequence）と呼びます。言い換えると、ある数列が単調数列であることとは、その数列が単調増加もしくは単調減少の少なくとも一方であることを意味します。ちなみに、以下の例のように、単調増加かつ単調減少であるような単調数列も存在します。
\end{equation*}として与えられているとき、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&c\leq c=x_{n+1} \\
x_{n} &=&c\geq c=x_{n+1}
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、この数列は単調増加かつ単調減少です。
\end{equation*}で与えられているものとします。最初の3つの項\(x_{1},x_{2},x_{3}\)に注目すると、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の定義より、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&-1<1=x_{2} \\
x_{2} &=&1>-1=x_{3}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left\{x_{n}\right\} \)は単調増加と単調減少のどちらでもありません。
狭義単調数列（狭義単調増加数列と狭義単調減少数列）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項に関して、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}<x_{n+1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{1}<x_{2}<x_{3}<\cdots
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列を狭義単調増加数列（strictly monotonically increasing sequence）と呼びます。狭義単調増加数列の項は先へ行くにつれて大きくなり続けます。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が狭義単調増加であることを示すためには、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}x_{n}<x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つことを示すことになります。逆に、少なくとも1つの番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}\geq x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つ場合には\(\left\{ x_{n}\right\} \)が狭義単調増加ではありません。
\end{equation*}であるものとします。先ほど、この数列が単調増加であることを示しましたが、これは狭義単調増加でもあります。実際、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&n^{2}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&<&\left( n+1\right) ^{2} \\
&=&x_{n+1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つからです。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項に関して、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>x_{n+1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{1}>x_{2}>x_{3}>\cdots
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列を狭義単調減少数列（strictly monotonically decreasing sequence）と呼びます。狭義単調減少数列の項は先へ行くにつれて小さくなり続けます。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が狭義単調減少であることを示すためには、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}x_{n}>x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つことを示すことになります。逆に、少なくとも1つの番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}\leq x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つ場合には\(\left\{ x_{n}\right\} \)が狭義単調減少ではありません。
\end{equation*}であるものとします。先ほど、この数列が単調減少であることを示しましたが、これは狭義単調減少でもあります。実際、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&\frac{1}{n}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&>&\frac{1}{n+1} \\
&=&x_{n+1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つからです。
狭義単調増加数列と狭義単調減少数列を総称して狭義単調数列（strictly monotone sequence）と呼びます。狭義単調数列との対比で、先に解説した単調数列を広義単調数列（weakly monotone sequence）と呼ぶことがあります。狭義単調増加かつ狭義単調減少であるような数列は存在しないため（演習問題）、ある数列が狭義単調数列であることとは、その数列が狭義単調増加もしくは狭義単調減少のどちらか一方であることを意味します。
単調数列と狭義単調数列の関係
狭義単調増加数列は単調増加であり、狭義単調減少数列は単調減少です。
上の命題の対偶より、単調増加ではない数列は狭義単調増加ではなく、単調減少ではない数列は狭義単調減少ではありません。
先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、単調増加数列は狭義単調増加であるとは限りませんし、単調減少数列は狭義単調減少であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}として与えられているものとします。任意の\(n\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&c\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&\leq &c \\
&=&x_{n+1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left\{x_{n}\right\} \)は単調増加です。一方で、例えば、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&c\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&\geq &c \\
&=&x_{2}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left\{x_{n}\right\} \)は狭義単調増加ではありません。\(\left\{x_{n}\right\} \)が単調減少である一方で狭義単調減少でないことの証明も同様です。
数列が単調であることの証明戦略：任意の2つの項を比較する
与えられた数列が単調もしくは狭義単調であることを確認するための最も基本的な方法は、隣り合う任意の2つの項を比較するというものです。ただ、数列が単調もしくは狭義単調であることを判定する方法は他にも存在します。まず、数列の「隣り合う」任意の2つの項を比較する代わりに、隣り合うとは限らない任意の2つの項を比較することによっても、その数列が単調もしくは狭義単調であることが判定可能です。具体的には、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、任意の番号\(m,n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}m<n\Rightarrow x_{m}\leq x_{n}
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列は単調増加です。同様に、任意の番号\(m,n\)について、\begin{equation*}m<n\Rightarrow x_{m}\geq x_{n}
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列は単調減少です。
狭義単調数列についても同様です。つまり、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、任意の番号\(m,n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}m<n\Rightarrow x_{m}<x_{n}
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列は狭義単調増加です。同様に、任意の番号\(m,n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}m<n\Rightarrow x_{m}>x_{n}
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列は狭義単調減少です。
\end{equation*}として与えられているものとします。\(m<n\)を満たす番号\(m,n\in \mathbb{N} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x_{m} &=&m^{2}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&<&n^{2}\quad \because m<n \\
&=&x_{n}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、この数列は狭義単調増加です。
\end{equation*}として与えられているものとします。\(m<n\)を満たす番号\(m,n\in \mathbb{N} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x_{m} &=&\frac{1}{m}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&>&\frac{1}{n}\quad \because m<n \\
&=&x_{n}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、この数列は狭義単調減少数列です。
数列が単調であることの証明戦略：隣り合う2つの項の差の符号を評価する
数列の隣り合う任意の2つの項の差の符号を評価することによっても、その数列が単調もしくは狭義単調であることが判定可能です。具体的には、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n+1}-x_{n}\geq 0
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列は単調増加です。同様に、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n+1}-x_{n}\leq 0
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列は単調減少です。
狭義単調数列についても同様です。つまり、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n+1}-x_{n}>0
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列は狭義単調増加です。同様に、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n+1}-x_{n}<0
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列は狭義単調減少です。
\end{equation*}として与えられているものとします。任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}x_{n+1}-x_{n} &=&\left( n+1\right) ^{2}-n^{2}\quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left( n^{2}+2n+1\right) -n^{2} \\
&=&2n+1 \\
&>&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\{x_{n}\}\)は狭義単調増加です。
\end{equation*}として与えられているものとします。任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}x_{n+1}-x_{n} &=&\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{n-\left( n+1\right) }{n\left( n+1\right) } \\
&=&-\frac{1}{n\left( n+1\right) } \\
&<&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、この数列は狭義単調減少です。
数列が単調であることの証明戦略：隣り合う2つの項の商を評価する
数列の隣り合う任意の2つの項の商の符号を評価することによっても、その数列が単調もしくは狭義単調であることが判定可能です。具体的には、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x_{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}\geq 1
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合、この数列は単調増加です。同様に、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x_{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}\leq 1
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合、この数列は単調減少です。
狭義単調数列についても同様です。つまり、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x_{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}>1
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合、この数列は狭義単調増加です。同様に、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x_{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}<1
\end{eqnarray*}が成り立つ場合、この数列は狭義単調減少です。
\end{equation*}として与えられているものとします。このとき、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について\(x_{n}>0\)であるとともに、\begin{eqnarray*}\frac{x_{n+1}}{x_{n}} &=&\frac{n+1}{\left( n+1\right) +1}\cdot \frac{n+1}{n}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{\left( n+1\right) ^{2}}{\left( n+2\right) n} \\
&=&\frac{n^{2}+2n+1}{n^{2}+2n} \\
&=&1+\frac{1}{n^{2}+2n} \\
&>&1
\end{eqnarray*}が成り立つため、この数列は狭義単調増加です。
\end{equation*}として与えられているものとします。ただし、\(r\)は定数であり\(0<r<1\)です。任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について\(x_{n}>0\)であるとともに、\begin{eqnarray*}\frac{x_{n+1}}{x_{n}} &=&\frac{r^{n+1}}{r^{n}}\quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&r \\
&<&1\quad \because 0<r<1
\end{eqnarray*}が成り立つため、この数列は狭義単調減少です。
数列が単調であることの証明戦略：関数を利用する
数列\(\{x_{n}\}\)が与えられたとき、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}f\left( n\right) =x_{n}
\end{equation*}を満たす関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack 1,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。この関数\(f\)が増加関数であるならば数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は単調増加であり、\(f\)が減少関数であるならば\(\left\{ x_{n}\right\} \)は単調減少です。同様に、\(f\)が狭義単調増加関数であるならば数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は狭義単調増加であり、\(f\)が狭義単調減少関数であるならば\(\left\{ x_{n}\right\} \)は狭義単調減少です。
\end{equation*}として与えられているものとします。このとき、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を満たす関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack 1,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。任意の\(x\geq 1\)について、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&2x \\
&\geq &2\quad \because x\geq 1 \\
&>&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、この数列は狭義単調増加です。
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{x}{x^{2}+1}
\end{equation*}を満たす関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack 1,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。任意の\(x\geq 1\)について、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{\left( x\right) ^{\prime }\left(
x^{2}+1\right) -x\left( x^{2}+1\right) ^{\prime }}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{1\left( x^{2}+1\right) -x\left( 2x\right) }{\left( x^{2}+1\right)
^{2}} \\
&=&\frac{1-x^{2}}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&\leq &0\quad \because x\geq 1
\end{eqnarray*}が成り立つため、この関数\(f\)は減少関数であり、ゆえに数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は単調減少です。
数列が単調であることの証明戦略：数学的帰納法を用いる
数学的帰納法を用いる方法も有用です。具体的には、数列\(\{x_{n}\}\)が単調増加であることは、\begin{equation}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq x_{n+1} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味しますが、\(n=1\)の場合の主張、すなわち、\begin{equation*}x_{1}\leq x_{2}
\end{equation*}が成り立つことを示した上で、さらに、自然数\(k\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}x_{k}\leq x_{k+1}\Rightarrow x_{k+1}\leq x_{k+2}
\end{equation*}が成り立つことを示すことに成功すれば、数学的帰納法より\(\left( 1\right) \)を示したことになります。単調減少数列、狭義単調増加数列、狭義単調減少数列についても同様です。
\begin{array}{l}
x_{1}=1 \\
x_{n+1}=\frac{x_{n}+3}{5}\quad \left( n\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と再帰的に定義されているとき、この数列が狭義単調減少であること、すなわち、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つことを\(n\)に関する数学的帰納法で証明します。まず、\begin{eqnarray*}x_{2} &=&\frac{x_{1}+3}{5}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{1+3}{5}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{4}{5} \\
&<&1 \\
&=&x_{1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち\(x_{1}>x_{2}\)となるため、\(n=1\)について主張が成り立ちます。\(k\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、\(n=k\)について主張が成り立つものと仮定します。つまり\(x_{k}>x_{k+1}\)を仮定します。このとき、\begin{eqnarray*}x_{k+2} &=&\frac{x_{k+1}+3}{5}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&<&\frac{x_{k}+3}{5}\quad \because x_{k}>x_{k+1} \\
&=&x_{k+1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち\(x_{k+1}>x_{k+2}\)となるため\(n=k+1\)について主張が成り立ちます。したがって、数学的帰納法より任意の\(n\)について主張が成り立つことが示されました。
演習問題
\end{equation*}で表されているものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が狭義単調増加であることを示してください。
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は単調数列や狭義単調数列でしょうか。議論してください。
\begin{array}{l}
x_{1}=1 \\
x_{n+1}=\frac{2x_{n}}{x_{n}+3}\quad \left( n\geq 1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と再帰的に定義されています。この数列が狭義単調減少であることを示してください。
\begin{array}{l}
x_{1}>1 \\
x_{n+1}=2-\frac{1}{x_{n}}\quad \left( n\geq 1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を満たすものとします。この数列が狭義単調減少であることを示してください。
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