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単調数列

数列\(\{x_{n}\}\)の項に関して、\begin{equation*}
x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合には、この数列を単調増加数列(monotonically increasing sequence)と呼びます。

数列\(\{x_{n}\}\)の項に関して、\begin{equation*}
x_{1}\geq x_{2}\geq x_{3}\geq \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合には、この数列を単調減少数列(monotonically decreasing sequence)と呼びます。

単調増加数列と単調減少数列を総称して単調数列(monotone sequence)と呼びます。

例(単調数列)
数列\(\{x_{n}\}\)が\(x_{n}=n^{2}\)として定義されるとき、任意の\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{n}=n^{2}<\left( n+1\right) ^{2}=x_{n+1} \end{equation*}という関係が成り立つため、この数列は単調増加数列です。
例(単調数列)
数列\(\{x_{n}\}\)が\(x_{n}=\frac{1}{n}\)として定義されるとき、任意の\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*} x_{n}=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}という関係が成り立つため、この数列は単調減少数列です。
例(単調数列)
数列\(\{x_{n}\}\)が\(x_{n}=1\)として定義されるとき、任意の\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{eqnarray*}
x_{n} &=&1\leq 1=x_{n+1} \\
x_{n} &=&1\geq 1=x_{n+!}
\end{eqnarray*}などが成り立つため、この数列は単調増加数列であると同時に単調減少数列です。
例(非単調数列)
数列\(\{x_{n}\}\)が\(x_{n}=\frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n}\)として定義されるとき、例えば最初の3つの項\(x_{1},x_{2},x_{3}\)について、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&1>-\frac{1}{2}=x_{2} \\
x_{2} &=&-\frac{1}{2}<\frac{1}{3}=x_{3}
\end{eqnarray*}などが成り立つため、この数列は単調数列ではありません。

 

狭義単調数列

数列\(\{x_{n}\}\)の項に関して、\begin{equation*}
x_{1}<x_{2}<x_{3}<\cdots
\end{equation*}が成り立つ場合には、この数列を狭義単調増加数列(strictly monotonically increasing sequence)と呼びます。

数列\(\{x_{n}\}\)の項に関して、\begin{equation*}
x_{1}>x_{2}>x_{3}>\cdots
\end{equation*}が成り立つ場合には、この数列を狭義単調減少数列(strictly monotonically decreasing sequence)と呼びます。

狭義単調増加数列と狭義単調減少数列を総称して狭義単調数列(strictly monotone sequence)と呼びます。

狭義単調数列は単調数列ですが、その逆は成り立つとは限りません。

例(狭義単調数列)
数列\(\{x_{n}\}\)が\(x_{n}=n^{2}\)として定義されるとき、任意の\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{n}=n^{2}<\left( n+1\right) ^{2}=x_{n+1} \end{equation*}という関係が成り立つため、この数列は狭義単調増加数列です。
例(狭義単調数列)
数列\(\{x_{n}\}\)が\(x_{n}=\frac{1}{n}\)として定義されるとき、任意の\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*} x_{n}=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}という関係が成り立つため、この数列は狭義単調減少数列です。
例(狭義単調数列)
数列\(\{x_{n}\}\)が\(x_{n}=1\)として定義されるとき、任意の\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{eqnarray*}
x_{n} &=&1\leq 1=x_{n+1} \\
x_{n} &=&1\geq 1=x_{n+!}
\end{eqnarray*}などが成り立つため、この数列は単調数列ですが狭義単調数列ではありません。

次回は数列が単調であることを証明する方法をいくつか紹介します。
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