数列の項が先に行くにつれて大きくなることはあっても小さくなることがない場合、その数列を単調増加数列と呼びます。逆に、項が先に行くにつれて小さくなることはあっても大きくなることがない場合、その数列を単調減少数列と呼びます。

単調数列

数列\(\{x_{n}\}\)の項に関して、\begin{equation*}
x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列を単調増加数列(monotonically increasing sequence)と呼びます。つまり、単調増加数列の項は先へ行くにつれて大きくなることはあっても小さくなることはありません。また、\begin{equation*}
x_{1}\geq x_{2}\geq x_{3}\geq \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列を単調減少数列(monotonically decreasing sequence)と呼びます。つまり、単調減少数列の項は先へ行くにつれて小さくなることはあっても大きくなることはありません。単調増加数列と単調減少数列を総称して単調数列(monotone sequence)と呼びます。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調数列であることを示すための最もシンプルな方法は、隣り合う任意の2つの項を比較するというものです。具体的には、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}
x_{n}\leq x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つとき、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は単調増加数列です。逆に、少なくとも1つの番号\(n\)について、\begin{equation*}
x_{n}>x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つとき、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は単調増加数列ではありません。単調減少数列についても同様です。つまり、任意の番号\(n\)について、\begin{equation*}
x_{n}\geq x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つとき、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は単調減少数列である一方、少なくとも1つの番号\(n\)について、\begin{equation*}
x_{n}<x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つとき、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は単調減少数列ではありません。

例(単調数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=n^{2}
\end{equation*}として与えられているものとします。任意の番号\(n\)について、\begin{eqnarray*}
x_{n} &=&n^{2}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&\leq &\left( n+1\right) ^{2} \\
&=&x_{n+1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、この数列は単調増加数列です。
例(単調数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}として与えられているものとします。任意の番号\(n\)について、\begin{eqnarray*}
x_{n} &=&\frac{1}{n}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&\geq &\frac{1}{n+1} \\
&=&x_{n+1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、この数列は単調減少数列です。
例(単調数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=1
\end{equation*}として与えられているものとします。任意の番号\(n\)について、\begin{eqnarray*}
x_{n} &=&1\leq 1=x_{n+1} \\
x_{n} &=&1\geq 1=x_{n+!}
\end{eqnarray*}などが成り立つため、この数列は単調増加数列であるとともに単調減少数列でもあります。
例(単調数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が\begin{equation*}
x_{n}=\frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n}
\end{equation*}として与えられているものとします。例えば、最初の3つの項\(x_{1},x_{2},x_{3}\)について、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&1>-\frac{1}{2}=x_{2} \\
x_{2} &=&-\frac{1}{2}<\frac{1}{3}=x_{3}
\end{eqnarray*}などが成り立つため、この数列は単調増加数列と単調減少数列のいずれでもありません。

 

狭義単調数列

数列\(\{x_{n}\}\)の項に関して、\begin{equation*}
x_{1}<x_{2}<x_{3}<\cdots
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列を狭義単調増加数列(strictly monotonically increasing sequence)と呼びます。つまり、狭義単調増加数列の項は先へ行くにつれて大きくなり続けます。また、\begin{equation*}
x_{1}>x_{2}>x_{3}>\cdots
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列を狭義単調減少数列(strictly monotonically decreasing sequence)と呼びます。つまり、狭義単調減少数列の項は先へ行くにつれて小さくなり続けます。狭義単調増加数列と狭義単調減少数列を総称して狭義単調数列(strictly monotone sequence)と呼びます。狭義単調数列との対比で、先に解説した単調数列を広義単調数列(weakly monotone sequence)と呼ぶことがあります。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が狭義単調数列であることを示す際にも、隣り合う任意の2つの項を比較することが基本になります。具体的には、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}
x_{n}<x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つとき、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は狭義単調増加数列です。逆に、少なくとも1つの番号\(n\)について、\begin{equation*}
x_{n}\geq x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つとき、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は狭義単調増加数列ではありません。狭義単調減少数列についても同様です。つまり、任意の番号\(n\)について、\begin{equation*}
x_{n}>x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つとき、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は狭義単調減少数列である一方、少なくとも1つの番号\(n\)について、\begin{equation*}
x_{n}\leq x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つとき、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は狭義単調減少数列ではありません。

例(狭義単調数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=n^{2}
\end{equation*}として与えられているものとします。任意の番号\(n\)について、\begin{eqnarray*}
x_{n} &=&n^{2}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&<&\left( n+1\right) ^{2} \\
&=&x_{n+1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、この数列は狭義単調増加数列です。
例(狭義単調数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=r^{n}
\end{equation*}として与えられているものとします。ただし、\(r\)は定数であり\(r>1\)です。任意の番号\(n\)について、\begin{eqnarray*}
x_{n+1} &=&r^{n+1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&r\times r^{n} \\
&>&1\times r^{n}\quad \because r>1 \\
&=&x_{n}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、この数列は狭義単調減少数列です。
例(狭義単調数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}として与えられているものとします。任意の番号\(n\)について、\begin{eqnarray*}
x_{n} &=&\frac{1}{n}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&>&\frac{1}{n+1} \\
&=&x_{n+1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、この数列は狭義単調減少数列です。
例(狭義単調数列)
数列\(\{x_{n}\}\)の一般項が\begin{equation*}
x_{n}=1
\end{equation*}として与えられているものとします。任意の番号\(n\)について、\begin{eqnarray*}
x_{n} &=&1\leq 1=x_{n+1} \\
x_{n} &=&1\geq 1=x_{n+1}
\end{eqnarray*}などが成り立つため、この数列は狭義単調増加数列と狭義単調減少数列のいずれでもありません。

狭義単調増加数列は単調増加数列ですが(確認してください)、その逆は成り立つとは限りません。実際、上の最後の例で扱った数列は単調増加ですが狭義単調増加ではありません。同様に、狭義単調増加数列は単調減少数列ですが(確認してください)、逆に、単調減少数列は狭義単調増加数列であるとは限りません。

次回は数列が単調であることを証明する方法をいくつか紹介します。

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