確認テスト IV（数列）

以下の問いに答えてください（各5点）。

1. 数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left\{ \begin{array}{cl}
   n-1 & \left( if\ n\text{が奇数}\right) \\
   n^{2} & \left( if\ n\text{が偶数}\right)
   \end{array}\right.
   \end{equation*}で与えられているものとします。この数列の最初の\(6\)個の項を具体的に記述してください。
2. 数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}y_{n}=\left\{ \begin{array}{cl}
   1 & \left( if\ n=1\right) \\
   2 & \left( if\ n=2\right) \\
   y_{n-1}+y_{n-2} & \left( if\ n>2\right)
   \end{array}\right.
   \end{equation*}で与えられているものとします。この数列の最初の\(6\)個の項を具体的に記述してください。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n-1}\left( 2n-1\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。以下の問いに答えてください（各5点）。

1. 数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)が、\begin{equation*}\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ 1,5,-3,-7,9,13,-11,-15,\cdots \right\} \end{equation*}であるものとします。\(\left\{ a_{n}\right\} \)は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列でしょうか。判定してください。
2. 数列\(\left\{ b_{n}\right\} \)が、\begin{equation*}\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ 1,3,5,7,9,11,13,15,\cdots \right\} \end{equation*}であるものとします。\(\left\{ b_{n}\right\} \)は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列でしょうか。判定してください。
3. 数列\(\left\{ c_{n}\right\} \)が、\begin{equation*}\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ -3,-7,-11,-15,-19,-23,\cdots \right\} \end{equation*}であるものとします。\(\left\{ b_{n}\right\} \)は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列でしょうか。判定してください。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であるとともにすべての項が整数である場合には、\(\left\{x_{n}\right\} \)のある項以降のすべての項は一定であることを示してください。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束するものとします。つまり、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} :\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=L
\end{equation*}が成り立つということです。数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}y_{n}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}
\end{equation*}と定義する場合には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }y_{n}=L
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の値域\begin{equation*}\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}が有限集合である状況を想定します。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束する部分列を持つと言えるでしょうか。主張が成り立つ場合には証明を行い、成り立たない場合には反例を提示してください。
2. \(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束と言えるでしょうか。主張が成り立つ場合には証明を行い、成り立たない場合には反例を提示してください。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の項が自然数であるとともに\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列である場合には、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限もまた自然数であることを証明してください。