実数を順番に並べたものを数列や実数列と呼びます。ただし、数列はすべての自然数の集合を始集合とし、すべての自然数の集合を終集合とする写像として定式化することもできます。

2019年1月25日:公開

数列

実数を順番に並べたもの\begin{equation*}
x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\cdots
\end{equation*}を数列(sequence of number)や実数列(sequence of real number)などと呼びます。

数列を表現するためには、それを構成する 1 番目の実数\(x_{1}\)、2 番目の実数\(x_{2}\)、\(\cdots \)、\(n\) 番目の数\(x_{n}\)、\(\cdots \)をそれぞれ特定することになります。一般化すると、それぞれの自然数\(n\in \mathbb{N}\)に対して実数\(x_{n}\in \mathbb{R}\)を 1 つずつ特定することで 1 つの数列が得られるということです。そのようなこともあり、数列を写像\begin{equation*}
x: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}
\end{equation*}として定義することもできます。

写像について復習する

通常、写像\(f:X\rightarrow Y\)が値\(x\in X\)に対して定める像を\(f\left( x\right) \in Y\)と記述しますが、数列\(x: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}\)が自然数\(n\in \mathbb{N}\)に対して定める実数\(x\left( n\right) \in \mathbb{R}\)に関しては、これを、\begin{equation*}
x_{n}
\end{equation*}で表し(term)と呼びます。数列を\(\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\)や\(\{x_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}\)、もしくはよりシンプルに\(\{x_{n}\}\)と表現することもできます。

自然数を\(1\)から始まる整数と定義する場合には、数列の前から\(n\)番目の実数は\(x_{n}\)であり、これを数列の第\(n\)項(\(n\)-th term)と呼びます。特に、数列の最初の項\(x_{1}\)を初項(first term)と呼びます。

数列の第\(n\)項\(x_{n}\)を具体的に特定すれば、\(x_{n}\)中の\(n\)に具体的な自然数を代入することによりすべての項を明らかにできます。つまり、\(x_{n}\)は数列のすべての項を一般化した表現と考えられるため、これを一般項(general term)と呼ぶこともあります。また、数列の一般項が分かっている場合には、その数列を「一般項が\(x_{n}\)の数列」と呼ぶこともできます。

例(数列)
一般項が\(x_{n}=3n+2\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&3\cdot 1+2=5 \\
x_{2} &=&3\cdot 2+2=8 \\
x_{3} &=&3\cdot 3+2=11 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。
例(数列)
一般項が\(x_{n}=2\left( 3^{n-1}\right) \)として与えられる数列の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&2\left( 3^{0}\right) =2 \\
x_{2} &=&2\left( 3^{1}\right) =6 \\
x_{3} &=&2\left( 3^{2}\right) =18 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。
例(数列)
数列\(2,10,50,250,1250,\cdots \)の一般項は、\begin{equation*}
x_{n}=2\cdot 5^{n-1}
\end{equation*}となります。
例(数列)
数列\(3,7,11,15,19,\cdots \)の一般項は、\begin{equation*}
x_{n}=3+4\left( n-1\right)
\end{equation*}となります。

次回は収束列という概念について解説します。
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