実数を順番に並べたものを数列や実数列と呼びます。数列はすべての自然数からなる集合を定義域とし、すべての実数からなる集合を終集合とする写像として定式化することもできます。
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数列

無限個の実数を順番に並べたもの\begin{equation*}
x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\cdots
\end{equation*}を数列(sequence of number)や実数列(sequence of real number)などと呼びます。数学では有限個の実数を並べたものを数列として扱いません。数列は無限に続く数の列です。

例(数列)
すべての正の偶数を小さい順に並べると、\begin{equation*}
2,4,6,8,10,\cdots
\end{equation*}となりますが、これは数列です。また、すべての正の奇数を小さい順に並べると、\begin{equation*}
1,3,5,7,9,\cdots
\end{equation*}となりますが、これも数列です。また、すべての正の整数を小さい順に並べると、\begin{equation*}
1,2,3,4,5,\cdots
\end{equation*}となりますが、これも数列です。

数列をフォーマルな形で表現します。繰り返しになりますが、数列とは無限個の実数を順番に並べたものであるため、それを総体的に表現するためには、数列を構成する1番目の実数\(x_{1}\)、2番目の実数\(x_{2}\)、3番目の実数\(x_{3}\)、\(\cdots \)などをすべて特定する必要があります。数列は無限個の実数の並びですが、このような作業を実際に無限回行うことは不可能です。ただ、このような作業を「それぞれの自然数\(n\in \mathbb{N}\)に対して実数\(x_{n}\in \mathbb{R}\)を1つずつ定めること」として一般化できるため、数列を表現することとは、\(\mathbb{N}\)から\(\mathbb{R}\)への写像を与えることと実質的に同じです。そのようなこともあり、数列を写像\begin{equation*}
x:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}\end{equation*}として定義することもできます。この写像\(x\)がそれぞれの自然数\(n\)に対して定める像\(x\left( n\right) \)は、数列を構成する\(n\)番目の実数です。

通常、写像\(f:A\rightarrow B\)が定義域の値\(a\in A\)に対して定める像を\(f\left( a\right) \in B\)と表記しますが、数列に相当する写像\(x:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}\)が自然数\(n\in \mathbb{N}\)に対して定める像\(x\left( n\right) \in \mathbb{R}\)に関しては、これを、\begin{equation*}
x_{n}
\end{equation*}と表記し、数列の(term)と呼びます。数列を\(\left\{ x_{n}\right\} _{n=1}^{\infty }\)や\(\left\{ x_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N}}\)、もしくはよりシンプルに\(\left\{ x_{n}\right\} \)と表現することもできます。

自然数を\(1\)から始まる整数と定義するのであれば、数列を構成する前から\(n\)番目の項は\(x_{n}\)であり、これを数列の第\(n\)項(\(n\)-th term)と呼びます。特に、数列の最初の項\(x_{1}\)を初項(first term)と呼びます。

数列の第\(n\)項\(x_{n}\)が具体的な形で与えられているならば、\(x_{n}\)中の\(n\)に具体的な自然数を代入することにより、すべての項を具体的な形で明らかにできます。つまり、\(x_{n}\)は数列のすべての項を一般化した表現と考えられるため、これを一般項(general term)と呼ぶこともあります。数列の一般項\(x_{n}\)の形が分かっている場合には、その数列を「一般項が\(x_{n}\)の数列」と呼ぶこともできます。

例(数列)
一般項が\(x_{n}=3n+2\)として与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&3\cdot 1+2=5 \\
x_{2} &=&3\cdot 2+2=8 \\
x_{3} &=&3\cdot 3+2=11 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。
例(数列)
一般項が\(x_{n}=2\left( 3^{n-1}\right) \)として与えられる数列の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&2\left( 3^{0}\right) =2 \\
x_{2} &=&2\left( 3^{1}\right) =6 \\
x_{3} &=&2\left( 3^{2}\right) =18 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。
例(数列)
数列\(2,10,50,250,1250,\cdots \)の一般項は、\begin{equation*}
x_{n}=2\cdot 5^{n-1}
\end{equation*}となります。
例(数列)
数列\(3,7,11,15,19,\cdots \)の一般項は、\begin{equation*}
x_{n}=3+4\left( n-1\right)
\end{equation*}となります。

 

数列の表現方法(明示式と再帰式)

繰り返しになりますが、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項\(x_{n}\)が具体的な形で与えられれば、\(x_{n}\)中の\(n\)に具体的な自然数を代入することにより、この数列のそれぞれの項を具体的に特定できます。このような文脈において、数列の一般項を明示式(explicit formula)と呼び、明示式を通じて数列を表現することを数列の明示的な表現(explicit expression)と呼びます。

例(明示的に表現された数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が以下の明示式\begin{equation*}
x_{n}=3n-4
\end{equation*}によって明示的に表現されているとき、この数列の各項を、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&3\cdot 1-4=-1 \\
x_{2} &=&3\cdot 2-4=2 \\
x_{3} &=&3\cdot 3-4=5 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}という形で特定できます。

以下の例が示唆するように、数列の第\(n\)項とそれ以前の項の間に成立する関係式を通じて、数列のそれぞれの項を特定することもできます。このような文脈において、数列の項どうしの関係を表す式を再帰式(recursion formula)と呼び、再帰式を通じて数列を表現することを数列の再帰的な表現(recursive expression)と呼びます。

例(再帰的に表現された数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が以下の再帰式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=2 \\
x_{n}=2+x_{n-1}\end{array}\right.
\end{equation*}によって再帰的に表現されているとき、この数列の各項を、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&2 \\
x_{2} &=&2+x_{1}=2+2=4 \\
x_{3} &=&2+x_{2}=2+6=6 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}という形で特定できます。

 

等差数列

ある数列のそれぞれの項が、直前の項に定数を加えることにより得られるとき、そのような数列を等差数列(arithmetic progression)と呼びます。つまり、等差数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を表現する再帰式は、定数\(a,d\)を用いて、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=a \\
x_{n}=x_{n-1}+d\end{array}\right.
\end{equation*}と表すことができ、等差数列のそれぞれの項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&a \\
x_{2} &=&x_{1}+d=a+d \\
x_{3} &=&x_{2}+d=\left( a+d\right) +d=a+2d \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。

等差数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を表す再帰式を、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=a \\
x_{n}-x_{n-1}=d\end{array}\right.
\end{equation*}と言い換えることもできます。つまり、等差数列とは隣り合う項が共通の差\(d\)を持つ数列であり、この\(d\)を公差(common difference)と呼びます。

等差数列を明示的に表現することもできます。具体的には、初項が\(a\)で交差が\(d\)であるような等差数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}
x_{n}=a+\left( n-1\right) d
\end{equation*}となります(演習問題にします)。上の一般項\(x_{n}\)を変数\(n\)に関する関数とみなすとき、これは線型式です。したがって、横軸を\(n\)、縦軸を\(x_{n}\)とする平面上に等差数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項をプロットすると、それらの点はすべて傾きが\(d\)であるような直線上に位置します。

例(等差数列)
等差数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について、以下の2つの項\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&10 \\
x_{10} &=&37
\end{eqnarray*}だけが明らかになっているとき、この\(\left\{ x_{n}\right\} \)を表現する明示式と再帰式はそれぞれどのようになるでしょうか。交差を\(d\)とおくとき、明示式は、\begin{eqnarray*}
x_{n} &=&x_{1}+\left( n-1\right) d \\
&=&10+\left( n-1\right) d\quad \because x_{1}=10
\end{eqnarray*}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
x_{10} &=&10+\left( 10-1\right) d \\
&=&10+9d
\end{eqnarray*}となります。これと\(x_{10}=37\)より\(10+9d=37\)を得るため、これを解くと、\begin{equation*}
d=3
\end{equation*}を得ます。したがって、\(\left\{ x_{n}\right\} \)を表現する明示式は、\begin{eqnarray*}
x_{n} &=&10+3\left( n-1\right) \\
&=&3n+7
\end{eqnarray*}であり、\(\left\{ x_{n}\right\} \)を表現する再帰式は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=10 \\
x_{n}=x_{n-1}+3\end{array}\right.
\end{equation*}です。

 

等比数列

ある数列のそれぞれの項が、直前の項に定数を掛けることでにより得られるとき、そのような数列を等比数列(geometric progression)と呼びます。つまり、等比数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を表現する再帰式は、定数\(a,r\)を用いて、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=a \\
x_{n}=rx_{n-1}\end{array}\right.
\end{equation*}と表すことができ、等比数列のそれぞれの項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&a \\
x_{2} &=&rx_{1}=ra \\
x_{3} &=&rx_{2}=r\left( ra\right) =r^{2}a \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。

等比数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の各項が\(0\)でない場合には、先の再帰式を、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=a \\
\dfrac{x_{n}}{x_{n-1}}=r\end{array}\right.
\end{equation*}と言い換えることもできます。つまり、等差数列とは隣り合う項の比\(r\)が一定であるような数列であり、この\(r\)を公比(common ratio)と呼びます。

等比数列を明示的に表現することもできます。具体的には、初項が\(a\)で公比が\(r\)であるような等比数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}
x_{n}=ar^{n-1}
\end{equation*}となります(演習問題にします)。上の一般項\(x_{n}\)を\(n\)に関する関数とみなすとき、これは指数関数です。したがって、横軸を\(n\)、縦軸を\(x_{n}\)とする平面上に等差数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項をプロットすると、それらの点はすべて指数関数のグラフ上に位置します。

例(等差数列)
等差数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について、以下の2つの項\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&3 \\
x_{4} &=&192
\end{eqnarray*}だけが明らかになっているとき、この\(\left\{ x_{n}\right\} \)を表現する明示式と再帰式はそれぞれどのようになるでしょうか。公比を\(r\)とおくとき、明示式は、\begin{eqnarray*}
x_{n} &=&x_{1}r^{n-1} \\
&=&3r^{n-1}\quad \because x_{1}=3
\end{eqnarray*}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
x_{4} &=&3r^{4-1} \\
&=&3r^{3}
\end{eqnarray*}となります。これと\(x_{4}=192\)より\(3r^{3}=192\)を得るため、これを解くと、\begin{equation*}
r=4
\end{equation*}を得ます。したがって、\(\left\{ x_{n}\right\} \)を表現する明示式は、\begin{equation*}
x_{n}=3\cdot 4^{n-1}
\end{equation*}であり、\(\left\{ x_{n}\right\} \)を表現する再帰式は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=3 \\
x_{n}=4x_{n-1}\end{array}\right.
\end{equation*}です。

 

反復

\(\mathbb{R}\)の部分集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が任意に与えられたとき、定義域の要素である実数\(a\in X\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
x_{1}=a
\end{equation*}とおきます。\(x_{1}\)は\(X\)の要素であるため、\(f\)による\(x_{1}\)の像をとることができます。それを、\begin{equation*}
x_{2}=f\left( x_{1}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}とおきます。仮に\(x_{2}\)が\(X\)の要素ならば\(f\)による\(x_{2}\)の像をとることができるため、それを、\begin{equation*}
x_{3}=f\left( x_{2}\right) =f\left( f\left( x_{1}\right) \right) =f\left(
f\left( a\right) \right)
\end{equation*}とおきます。以降の\(x_{3},x_{4},\cdots \)についても同様に考えることにより、最終的に1つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が得られます。このようなプロセスを反復(iteration)と呼びます。

より正確には、反復とは、関数\(\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)から、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=a \\
x_{n}=f\left( x_{n-1}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}という再帰式によって特徴づけられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を生成するプロセスです。ただし、この数列を生成するためには、以下の条件\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N}:x_{n}\in X
\end{equation*}が満たされる必要があります。この条件が満たされないとき、すなわち\(x_{n}\not\in X\)であるような番号\(n\)が存在するとき、\(f\)は\(x_{n}\)の像\(f\left( x_{n}\right) \)を与えることができないため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(n+1\)項を定めることができません。

例(反復)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x+d
\end{equation*}を像として定めるものとします。ただし\(d\)は定数です。実数\(a\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上で、\(f\)に対して反復を行うと、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&a \\
x_{2} &=&f\left( x_{1}\right) =f\left( a\right) =a+d \\
x_{3} &=&f\left( x_{2}\right) =f\left( a+d\right) =\left( a+d\right) +d=a+2d
\\
x_{4} &=&f\left( x_{3}\right) =f\left( a+2d\right) =\left( a+2d\right)
+d=a+3d \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などを項とする数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が得られますが、これは等差数列に他なりません。
例(反復)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =xr
\end{equation*}を像として定めるものとします。ただし\(r\)は定数です。実数\(a\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上で、\(f\)に対して反復を行うと、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&a \\
x_{2} &=&f\left( x_{1}\right) =f\left( a\right) =ar \\
x_{3} &=&f\left( x_{2}\right) =f\left( ar\right) =\left( ar\right) r=ar^{2}
\\
x_{4} &=&f\left( x_{3}\right) =f\left( ar^{2}\right) =\left( ar^{2}\right)
r=ar^{3} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などを項とする数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が得られますが、これは等比数列に他なりません。

 

級数

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、それぞれの番号\(n\in \mathbb{N}\)について、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の初項\(x_{1}\)から第\(n\)項までの和を、\begin{equation*}
s_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}
\end{equation*}で表し、これを数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(n\)部分和(partial sum)と呼びます。部分和は実数であるため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(n\)部分和\(s_{n}\)を第\(n\)項とする新たな数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)を作ることができます。つまり、この数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の各項は、\begin{eqnarray*}
s_{1} &=&x_{1} \\
s_{2} &=&x_{1}+x_{2} \\
s_{3} &=&x_{1}+x_{2}+x_{3} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}です。この新たな数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)を数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の級数(series)や部分和の列(sequence of partial sums)などと呼びます。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の級数\(\left\{ s_{n}\right\} \)を明示的に表現すると、\begin{equation*}
s_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}
\end{equation*}となり、再帰的に表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
s_{1}=x_{1} \\
s_{n}=s_{n-1}+x_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

例(級数)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているとき、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の級数\(\left\{ s_{n}\right\} \)を明示的に表現すると、\begin{equation*}
s_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}
\end{equation*}となり、再帰的に表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
s_{1}=1 \\
s_{n}=s_{n-1}+\dfrac{1}{n}\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

次回は数列の収束について解説します。

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