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数列の平方根の極限

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収束する数列の平方根の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項が非負の実数ならば、すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq 0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\sqrt{x_{n}}=\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)が定義可能です。\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束する場合には\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)もまた有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{x_{n}}=\sqrt{\lim_{n\rightarrow \infty
}x_{n}}
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。

命題(収束する数列の平方根の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq 0
\end{equation*}が成り立つ場合にはそこから数列\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)を定義できる。\(\left\{x_{n}\right\} \)が収束する場合には\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{x_{n}}=\sqrt{\lim_{n\rightarrow \infty
}x_{n}}
\end{equation*}という関係が成立する。

証明

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つまり、収束する数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)の平方根の形をしている数列\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限の平方根をとれば\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの数列の平方根の形をしている数列\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)の収束する可能性を検討する際には、数列の極限の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束することを確認すればよいということになります。

例(収束する数列の平方根の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\sqrt{\frac{1}{n}+1}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{ \frac{1}{n}+1\right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}+1\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) +\lim_{n\rightarrow
\infty }1\quad \because \text{収束する数列の和} \\
&=&0+1\quad \because \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{\frac{1}{n}+1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\\
&=&\sqrt{\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}+1\right) }\quad
\because \text{収束する数列の平方根の極限} \\
&=&\sqrt{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。

 

発散する数列の平方根の極限

繰り返しになりますが、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項が非負の実数ならば、すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq 0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\sqrt{x_{n}}=\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)が定義可能です。\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大へ発散する場合には\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)もまた正の無限大へ発散します。

命題(正の無限大へ発散する数列の平方根の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq 0
\end{equation*}が成り立つ場合にはそこから数列\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)を定義できる。\(\left\{x_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)へ発散する場合には\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)もまた\(+\infty \)へ発散する。すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty \Rightarrow \lim_{n\rightarrow
\infty }\sqrt{x_{n}}=+\infty
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(正の無限大へ発散する数列の平方根の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\sqrt{n+1}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{n+1\right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( n+1\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}n+\lim_{n\rightarrow \infty }1\quad \because \text{数列の和の極限} \\
&=&\left( +\infty \right) +1\quad \because \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{n+1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&+\infty \quad \because \text{正の無限大へ発散する数列の平方根の極限}
\end{eqnarray*}となります。

上の命題は数列\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)が正の無限大へ発散するための十分条件を与えています。では、\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)が負の無限大へ発散するための十分条件を特定できるでしょうか。数列\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)の任意の項は非負の実数であるため、\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)が負の無限大へ発散する事態は起こり得ません(演習問題)。

 

演習問題

問題(数列の平方根の極限)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\sqrt{\frac{2}{n^{2}+1}}
\end{equation*}として与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限を求めてください。
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問題(数列の平方根の極限)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\sqrt{n^{4}+n^{2}+1}
\end{equation*}として与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限を求めてください。
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問題(数列の平方根)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq 0
\end{equation*}が成り立つ場合にはそこから数列\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)を定義できます。以上の条件を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)としてどのようなものを選んだ場合においても、数列\(\left\{ \sqrt{x_{n}}\right\} \)が負の無限大\(-\infty \)へ発散することはないことを示してください。
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