WIIS

数列

数列の和の極限(和の法則)

目次

Mailで保存
Xで共有

収束する数列どうしの和の極限

2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)がそれぞれ与えられたとき、\begin{equation*}x_{n}+y_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)が定義可能です。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束する場合には数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束し、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。

つまり、有限な実数へ収束する数列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)の和の形をしている数列\(\left\{x_{n}+y_{n}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束することが保証されるとともに、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限を足せば\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限が得られます。したがって、何らかの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)の和の形をしている数列\(\left\{x_{n}+y_{n}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、数列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。

命題(収束する数列どうしの和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束するならば\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束し、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}が成立する。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(収束する数列どうしの和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-\frac{3}{n}+\frac{1}{2n}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{3}{n}+\frac{1}{2n}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{3}{n}\right) +\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{2n}\right) \quad \because \text{数列の和の極限} \\
&=&-3\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}+\frac{1}{2}\cdot
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\quad \because \text{数列の定数倍の極限} \\
&=&-3\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0+0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

 

発散する数列どうしの和の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する場合や、ともに負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限に関して以下の関係\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算ルール\begin{eqnarray}\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) &=&+\infty \quad \cdots (2) \\
\left( -\infty \right) +\left( -\infty \right) &=&-\infty \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}が前提になっています。

以上の主張を具体的に表現すると、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=+\infty
\quad \cdots (4)
\end{equation}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) \quad \because \left(
4\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=-\infty
\quad \cdots (5)
\end{equation}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\left( -\infty \right) +\left( -\infty \right) \quad \because \left(
4\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。

命題(発散する数列どうしの和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)がともに正の無限大に\(+\infty \)に発散する場合や、\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)がともに負の無限大に\(-\infty \)に発散する場合には、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(発散する数列どうしの和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=2n^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}n
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{n^{2}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、数列\(\left\{n\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2n^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}n\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2n^{2}\right) +\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{\sqrt{2}}{2}n\right) \quad \because \text{数列の和の極限} \\
&=&2\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot
\lim_{n\rightarrow \infty }n\quad \because \text{数列の定数倍の極限} \\
&=&2\cdot \left( +\infty \right) +\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left( +\infty
\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)の一方が正の無限大\(+\infty \)に発散し、他方が負の無限大\(-\infty \)に発散する場合には、以下の関係\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}は成り立つとは限りません。実際、そのような場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は、\begin{eqnarray*}&&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right) \\
&&\left( -\infty \right) +\left( +\infty \right)
\end{eqnarray*}のいずれかになりますが、これらは拡大実数系において不定形とみなされ定義不可能です。

ただ、このような場合においても、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の一般項を変形してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。数列の極限が不定形になる場合の対処方法については場を改めて解説します。

例(不定形の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-n+n^{2}
\end{equation*}であるものとします。左側の数列\(\left\{ -n\right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -n\right) &=&-\lim_{n\rightarrow \infty }n
\\
&=&-\left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ち、右側の数列\(\left\{ n^{2}\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}=+\infty
\end{equation*}が成り立つため、この数列の極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
-n+n^{2}\right)
\end{equation*}は\(\left( -\infty \right) +\left( +\infty \right) \)型の不定形です。

 

収束する数列と発散する数列の和の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限に関して以下の関係\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算ルール\begin{eqnarray}\forall c &\in &\mathbb{R} :c+\left( +\infty \right) =+\infty \quad \cdots (2) \\
\forall c &\in &\mathbb{R} :c+\left( -\infty \right) =-\infty \quad \cdots (3) \\
\forall c &\in &\mathbb{R} :\left( +\infty \right) +c=+\infty \quad \cdots (4) \\
\forall c &\in &\mathbb{R} :\left( -\infty \right) +c=-\infty \quad \cdots (5)
\end{eqnarray}が前提になっています。

以上の主張を具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &\in &\mathbb{R} \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &=&+\infty
\end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}+\left( +\infty \right) \\
&=&+\infty \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &\in &\mathbb{R} \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &=&-\infty
\end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}+\left( -\infty \right) \\
&=&-\infty \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&+\infty \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\left( +\infty \right) +\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} \\
&=&+\infty \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&-\infty \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\left( -\infty \right) +\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} \\
&=&-\infty \quad \because \left( 4\right)
\end{eqnarray*}となります。

命題(収束する数列と発散する数列の和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)の一方が有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大に\(-\infty \)に発散する場合には、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(収束する数列と発散する数列の和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-n+\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{n\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、数列\(\left\{ \frac{\sqrt{2}}{2}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -n+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -n\right) +\lim_{n\rightarrow \infty
}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \quad \because \text{数列の和の極限} \\
&=&-\lim_{n\rightarrow \infty }n+\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \quad \because \text{数列の定数倍の極限} \\
&=&-\left( +\infty \right) +\frac{\sqrt{2}}{2}\quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \\
&=&\left( -\infty \right) +\frac{\sqrt{2}}{2} \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(数列の和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がともに発散するとき、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束する事態は起こり得るでしょうか。議論してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(数列の和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{3}{n}+\frac{7\pi }{2n}
\end{equation*}で与えられています。この数列は収束しますか。議論してください。ただし、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを前提としても構いません。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(数列の和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n+\frac{1}{2n}
\end{equation*}で与えられています。この数列は収束しますか。議論してください。ただし、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }n &=&+\infty \\
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つことを前提としても構いません。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(数列の和の極限)
有限\(N\)個の数列\(\left\{ x_{n}^{\left(1\right) }\right\} ,\cdots ,\left\{ x_{n}^{\left( N\right) }\right\} \)がいずれも有限な実数へ収束する場合には、一般項が、\begin{equation*}x_{n}^{\left( 1\right) }+\cdots +x_{n}^{\left( N\right) }
\end{equation*}で与えられる数列もまた有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}^{\left( 1\right) }+\cdots
+x_{n}^{\left( N\right) }\right) =\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}^{\left(
1\right) }+\cdots +\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}^{\left( N\right) }
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(再帰的に定義された数列の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が以下のように再帰的に定義されているものとします。\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=0 \\
x_{n+1}=\frac{1}{4}\left( x_{n}+1\right) \quad \left( n\in \mathbb{N} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}この数列が有限な実数へ収束することを前提とした上で、その極限を求めてください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録