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PROPOSITIONAL LOGIC

数列の和の極限

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収束する数列どうしの和の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ与えられたとき、\begin{equation*}
x_{n}+y_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)が定義可能です。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに収束する場合には\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)もまた収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。証明は以下の通りです。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限を\(a\in \mathbb{R} \)で、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限を\(b\in \mathbb{R} \)でそれぞれ表します。正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと、それに対して\(\frac{\varepsilon }{2}>0\)が成り立ちます。したがって、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ収束することから、\begin{eqnarray}
\exists N_{1} &\in &\mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{1}\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <\frac{\varepsilon }{2}\right) \quad \cdots (1) \\
\exists N_{2} &\in &\mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{2}\Rightarrow \left\vert x_{n}-b\right\vert <\frac{\varepsilon }{2}\right) \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}がともに成り立ちます。そこで、\begin{equation*}
N=\max \left\{ N_{1},N_{2}\right\}
\end{equation*}とおけば、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\)に対して\(n\geq N_{1}\)と\(n\geq N_{2}\)がともに成り立つため、\begin{eqnarray*}
\left\vert \left( x_{n}+y_{n}\right) -\left( a+b\right) \right\vert
&=&\left\vert \left( x_{n}-a\right) +\left( y_{n}-b\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x_{n}-a\right\vert +\left\vert y_{n}-b\right\vert \quad
\because \text{絶対値の劣加法性} \\
&<&\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}\quad \because n\geq N_{1}\text{と}\left( 1\right) ,\ n\geq N_{2}\text{と}\left( 2\right)
\\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上で、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert \left( x_{n}+y_{n}\right) -\left(
a+b\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことが示されましたが、これは数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)が極限\(a+b\)へ収束すること、すなわち\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}+\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}\)へ収束することを意味します。

命題(収束する数列どうしの和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに収束するならば\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成立する。
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つまり、収束する数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の和の形をしている数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限を足せば\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの数列どうしの和の形をしている数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、数列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。

例(収束する数列どうしの和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=-\frac{3}{n}+\frac{1}{2n}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)は2つの数列\(\left\{ -\frac{3}{n}\right\} \)と\(\left\{ \frac{1}{2n}\right\} \)の和として定義されていますが、\(\left\{ -\frac{3}{n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{3}{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left[ \left( -3\right) \frac{1}{n}\right] \\
&=&\left( -3\right) \cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\quad
\because \text{収束する数列の定数倍の極限} \\
&=&\left( -3\right) \cdot 0\quad \because \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}=0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{3}{n}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}となる一方で、数列\(\left\{ \frac{1}{2n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left[ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}\right] \\
&=&\frac{1}{2}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\quad \because
\text{収束する数列の定数倍の極限} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot 0\quad \because \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}=0
\\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2n}\right) =0 \quad \cdots (2)
\end{equation}となるため、先の命題より\(\left\{ x_{n}\right\} \)もまた収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{3}{n}+\frac{1}{2n}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{3}{n}\right) +\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{2n}\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \\
&=&0+0\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

発散する数列どうしの和の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する場合や、ともに負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます(証明は演習問題にします)。ただし、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)が定義する以下の関係\begin{eqnarray*}
\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) &=&+\infty \\
\left( -\infty \right) +\left( -\infty \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}を踏まえると、\(\left( 1\right) \)は、\(+\infty \)へ発散する数列どうしの和もまた\(+\infty \)へ発散し、\(-\infty \)へ発散する数列どうしの和もまた\(-\infty \)へ発散するという主張に相当します。

命題(発散する数列どうしの和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに正の無限大に\(+\infty \)に発散する場合や、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに負の無限大に\(-\infty \)に発散する場合には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}と言う関係が成り立つ。
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例(収束する数列どうしの和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=2n^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}n
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)は2つの数列\(\left\{ 2n^{2}\right\} \)と\(\left\{ \frac{\sqrt{2}}{2}n\right\} \)の和として定義されていますが、\(\left\{ 2n^{2}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2n^{2}\right) &=&2\cdot
\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\quad \because \text{発散する数列の定数倍の極限} \\
&=&2\cdot \left( +\infty \right) \quad \because \lim_{n\rightarrow \infty
}n^{2}=+\infty \\
&=&+\infty \quad \because \mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2n^{2}\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}となる一方で、数列\(\left\{ \frac{\sqrt{2}}{2}n\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\sqrt{2}}{2}n\right) &=&\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }n\quad \because \text{発散数列の定数倍の極限} \\
&=&\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left( +\infty \right) \quad \because
\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty \\
&=&+\infty \quad \because \mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\sqrt{2}}{2}n\right) =+\infty
\quad \cdots (2)
\end{equation}となるため、先の命題より数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2n^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}n\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2n^{2}\right) +\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{\sqrt{2}}{2}n\right) \quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) \quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&+\infty \quad \because \mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

ちなみに、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が正の無限大\(+\infty \)に発散し、他方が負の無限大\(-\infty \)に発散する場合には、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。実際、そのような場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は、\begin{eqnarray*}
&&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right) \\
&&\left( -\infty \right) +\left( +\infty \right)
\end{eqnarray*}のいずれかになりますが、これらは拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)において不定形とみなされ定義不可能だからです。数列の極限の和が不定形になる場合の対処方法については場を改めて解説します

 

収束する数列と発散する数列の和の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます(証明は演習問題にします)。ただし、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)が定義する以下の関係\begin{eqnarray*}
\forall c &\in &\mathbb{R} :c+\left( +\infty \right) =+\infty \\
\forall c &\in &\mathbb{R} :c+\left( -\infty \right) =-\infty \\
\forall c &\in &\mathbb{R} :\left( +\infty \right) +c=+\infty \\
\forall c &\in &\mathbb{R} :\left( -\infty \right) +c=-\infty
\end{eqnarray*}を踏まえると、\(\left( 1\right) \)は、有限な実数へ収束する数列と\(+\infty \)へ発散する数列の和は\(+\infty \)へ発散し、有限な実数へ収束する数列と\(-\infty \)へ発散する数列は\(-\infty \)へ発散するという主張に相当します。

命題(収束する数列と発散する数列の和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が有限な実数へ収束し、他方が正の無限大に\(+\infty \)もしくは負の無限大に\(-\infty \)に発散する場合には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}と言う関係が成り立つ。
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例(収束する数列と発散する数列の和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=-n+\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)は2つの数列\(\left\{ -n\right\} \)と\(\left\{ \frac{\sqrt{2}}{2}\right\} \)の和として定義されていますが、\(\left\{ -n\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -n\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }
\left[ \left( -1\right) \cdot n\right] \\
&=&\left( -1\right) \cdot \lim_{n\rightarrow \infty }n\quad \because \text{発散する数列の定数倍の極限} \\
&=&\left( -1\right) \cdot \left( +\infty \right) \quad \because
\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty \\
&=&-\infty \quad \because \mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -n\right) =-\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}となる一方で、数列\(\left\{ \frac{\sqrt{2}}{2}\right\} \)に関しては、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}\quad \because \text{定数数列の極限} \quad \cdots (2)
\end{equation}となるため、先の命題より数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -n+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -n\right) +\lim_{n\rightarrow \infty
}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \\
&=&\left( -\infty \right) +\frac{\sqrt{2}}{2}\quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \\
&=&-\infty \quad \because \mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

数列の和の極限

本節では数列の和の極限に関して3通りのケースを考えましたが、得られた命題を一般化すると以下のようになります。

命題(数列の和の極限)

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)を定義する。拡大実数\(a,b\in \mathbb{R} ^{\ast }\)について、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a,\quad \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=b
\end{equation*}がともに成り立つ場合、\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)については、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a+b
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(a,b\)がともに無限大の場合には、それらの符号が等しい場合にのみ上の関係は成り立つ。

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上の命題において\(a,b\)が拡大実数であるとは、それらが有限な実数にもなり得るし、正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)にもなり得るということです。\(a\)と\(b\)がともに有限な実数である場合、この命題は本節において最初に提示した命題になります。また、\(a,b\)がともに\(+\)である場合や\(a,b\)がともに\(-\infty \)である場合、この命題は本節において2番目に提示した命題になります。また、\(a,b\)の一方が有限な実数で他方が\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)である場合、この命題は本節において3番目に提示した命題になります。このような意味において、この命題は本節における議論の集約です。繰り返しになりますが、\(a,b\)の一方が\(+\infty \)で他方が\(-\infty \)である場合には\(a+b\)は不定形となってしまうため上の主張は成り立ちません。不定形の場合の対処方法については場を改めて解説します。

次回は数列の差の極限について解説します。

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