数列の和の極限

2つの数列が収束するとき、それらの一般項の和を一般項とする数列もまた収束します。また、ともに正の無限大に発散する2つの数列や、ともに負の無限大に発散する2つの数列の間にも同様の関係が成り立ちます。
数列 定数倍
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収束する数列どうしの和の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、それらの一般項の和\(x_{n}+y_{n}\)を一般項とする新たな数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)を構成できます。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに収束する場合には数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)もまた収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

証明は以下の通りです。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限を\(\alpha \in \mathbb{R} \)で、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限を\(\beta \in \mathbb{R} \)でそれぞれ表します。正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと、それに対して\(\frac{\varepsilon }{2}>0\)が成り立ちます。したがって、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ収束することから、\begin{eqnarray}
\exists N_{1} &\in & \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{1}\Rightarrow \left\vert x_{n}-\alpha \right\vert <\frac{\varepsilon }{2}\right) \tag{1} \\
\exists N_{2} &\in & \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{2}\Rightarrow \left\vert x_{n}-\alpha \right\vert <\frac{\varepsilon }{2}\right) \tag{2}
\end{eqnarray}がともに成り立ちます。そこで、\begin{equation*}
N=\max \left\{ N_{1},N_{2}\right\}
\end{equation*}とおけば、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\)に対して\(n\geq N_{1}\)と\(n\geq N_{2}\)がともに成り立つため、\begin{eqnarray*}
\left\vert \left( x_{n}+y_{n}\right) -\left( \alpha +\beta \right)
\right\vert &=&\left\vert \left( x_{n}-\alpha \right) +\left( y_{n}-\beta
\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x_{n}-\alpha \right\vert +\left\vert y_{n}-\beta
\right\vert \quad \because \text{絶対値の劣加法性} \\
&<&\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}\quad \because n\geq N_{1}\text{と}\left( 1\right) ,\ n\geq N_{2}\text{と}\left( 2\right)
\\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上で、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert \left( x_{n}+y_{n}\right) -\left(
\alpha +\beta \right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことが示されたため、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)は極限\(\alpha +\beta \)すなわち\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}+\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}\)へと収束することが明らかになりました。

命題(収束する数列どうしの和の極限)
収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)もまた収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}となる。
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上の命題より、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)が収束することが分かっている場合には、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)が収束することを収束数列の定義にもとづいてわざわざ証明する必要はありません。しかも、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限を得るためには\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限の和をとればよいということになります。

例(収束する数列どうしの和の極限)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)は収束し、その極限は、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2 \tag{1}
\end{equation}となります(確認してください)。また、一般項が\(y_{n}=\frac{n+1}{n}\)として与えられる数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)も収束し、その極限は、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=1 \tag{2}
\end{equation}となります(確認してください)。すると、先の命題より数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)もまた収束し、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \text{収束数列の和の極限} \\
&=&2+1\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&3
\end{eqnarray*}となります。同様に、数列\(\left\{ 2x_{n}+3y_{n}\right\} \)も収束し、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n}+3y_{n}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n}\right) +\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 3y_{n}\right) \quad \because \text{収束数列の和の極限} \\
&=&2\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}+3\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad
\because \text{収束数列の定数倍の極限} \\
&=&2\cdot 2+3\cdot 1\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&7
\end{eqnarray*}となります。

 

発散する数列どうしの和の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \tag{1}
\end{equation}という関係が成り立ちます。ただし、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)が定義する以下の関係\begin{equation*}
\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) =+\infty
\end{equation*}を踏まえると、\(\left( 1\right) \)は、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)もまた正の無限大\(+\infty \)へ発散するという主張に相当します。

証明は以下の通りです。実数\(M\)を任意に選んだとき、\(\frac{M}{2}\)もまた実数です。したがって、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに正の無限大\(+\infty \)へ発散することから、\begin{eqnarray}
\forall M &\in &\mathbb{R} ,\ \exists N_{1}\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{1}\Rightarrow x_{n}>\frac{M}{2}\right) \tag{2} \\
\forall M &\in &\mathbb{R} ,\ \exists N_{2}\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{2}\Rightarrow y_{n}>\frac{M}{2}\right) \tag{3}
\end{eqnarray}がともに成り立ちます。そこで、\begin{equation*}
N=\max \left\{ N_{1},N_{2}\right\}
\end{equation*}とおけば、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\)に対して\(n\geq N_{1}\)と\(n\geq N_{2}\)がともに成り立つため、\begin{eqnarray*}
x_{n}+y_{n} &>&\frac{M}{2}+\frac{M}{2}\quad \because n\geq N_{1}\text{と}\left( 2\right) ,\ n\geq N_{2}\text{と}\left( 3\right) \\
&=&M
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上で、\begin{equation*}
\forall M\in
\mathbb{R} ,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow x_{n}+y_{n}>M\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されたため、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)は正の無限大\(+\infty \)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =+\infty
\end{equation*}であることが示されました。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \tag{4}
\end{equation}という関係が成り立ちます。ただし、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)が定義する以下の関係\begin{equation*}
\left( -\infty \right) +\left( -\infty \right) =-\infty
\end{equation*}を踏まえると、\(\left( 4\right) \)は、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)もまた負の無限大\(-\infty \)へ発散するという主張に相当します。

命題(発散する数列どうしの和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、両者がともに正の無限大に\(+\infty \)に発散する、または両者がともに負の無限大\(-\infty \)に発散するならば、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}を満たす。
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つまり、ともに正の無限大に発散する数列の和は正の無限大に発散し、ともに負の無限大に発散する数列の和は負の無限大に発散するということです。

例(発散する数列の和の極限)
一般項が\(x_{n}=x^{2}\)で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty \tag{1}
\end{equation}が成り立ち(確認してください)、一般項が\(y_{n}=2n\)で与えられる数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)に関しても、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=+\infty \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます(確認してください)。したがって、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) \quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&+\infty \quad \because \text{拡大実数系}\mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が正の無限大に発散し、他方が負の無限大に発散する場合には、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \tag{1}
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。実際、そのような場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は、\begin{eqnarray*}
&&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right) \\
&&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right)
\end{eqnarray*}のいずれかになりますが、これらは拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)において不定形とみなされ定義不可能だからです。数列の極限の和が不定形になる場合の対処方法については、場を改めて解説します。

 

収束する数列と発散する数列の和の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \tag{1}
\end{equation}という関係が成り立ちます。ただし、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)の定義より、任意の実数\(c\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
c+\left( +\infty \right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると、\(\left( 1\right) \)は、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)は正の無限大\(+\infty \)へ発散するという主張に相当します。

証明は以下の通りです。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限を\(\alpha \in \mathbb{R} \)で表します。正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと、このとき、\begin{equation}
\exists N_{1}\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{1}\Rightarrow \left\vert x_{n}-\alpha \right\vert
<\varepsilon \right) \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。実数\(M>0\)を任意に選んだとき、\(M-\left( \alpha -\varepsilon \right) \)もまた実数です。したがって、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)へ発散することから、\begin{equation}
\exists N_{2}\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N_{2}\Rightarrow y_{n}>M-\left( \alpha -\varepsilon \right) \right] \tag{3}
\end{equation}が成り立ちます。そこで、\begin{equation*}
N=\max \left\{ N_{1},N_{2}\right\}
\end{equation*}とおけば、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\)に対して\(n\geq N_{1}\)と\(n\geq N_{2}\)がともに成り立つため、\begin{eqnarray*}
x_{n}+y_{n} &>&\left( \alpha -\varepsilon \right) +M-\left( \alpha
-\varepsilon \right) \quad \because n\geq N_{1}\text{と}\left(
2\right) ,\ n\geq N_{2}\text{と}\left( 3\right) \\
&=&M
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上で、\begin{equation*}
\forall M\in
\mathbb{R} ,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow x_{n}+y_{n}>M\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されたため、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)は正の無限大\(+\infty \)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =+\infty
\end{equation*}であることが示されました。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \tag{4}
\end{equation}が成り立つことが示されます(演習問題にします)。ただし、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)の定義より、任意の実数\(c\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
c+\left( -\infty \right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると、\(\left( 4\right) \)は、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)は負の無限大\(-\infty \)へ発散するという主張に相当します。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大または負の無限大へ発散し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が収束する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限に関して\(\left( 4\right) \)が成り立ちます(演習問題にします)。

命題(収束する数列と発散する数列の和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、一方が収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散するならば、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}を満たす。
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例(収束する数列と発散する数列の和の極限)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)は収束し、その極限は、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2 \tag{1}
\end{equation}となり、一般項が\(y_{n}=2n\)で与えられる数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=+\infty \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。したがって、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} \\
&=&2+\left( +\infty \right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\\
&=&+\infty \quad \because \text{拡大実数系}\mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

数列の和の極限

本節では数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の和に相当する数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限について考えました。その上で、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに収束する場合、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに正の無限大に発散する場合、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに負の無限大に発散する場合、そして、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が収束し他方が正の無限大もしくは負の無限大に発散する場合などには、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\}\)の極限に関して、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \tag{1}
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。ただし、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の少なくとも一方が正または負の無限大に発散する場合については、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)の定義が前提になっています。

一方、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が正の無限大に発散し、他方が負の無限大に発散する場合、それらの極限の和\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}は不定形になってしまうため、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限を求める際に\(\left( 1\right) \)の関係を利用することはできません。不定形の場合の対処方法については、場を改めて解説します。

次回は数列の差の極限について解説します。

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