教材一覧
SEQUENCE OF NUMBERS

数列の和の極限

< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

収束する数列どうしの和の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ与えられたとき、\begin{equation*}x_{n}+y_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)が定義可能です。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束する場合には\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(収束する数列どうしの和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに収束するならば\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成立する。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

つまり、収束する数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{y_{n}\right\} \)の和の形をしている数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{x_{n}+y_{n}\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限を足せば\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの数列どうしの和の形をしている数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、数列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。

例(収束する数列どうしの和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-\frac{3}{n}+\frac{1}{2n}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{3}{n}+\frac{1}{2n}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{3}{n}\right) +\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{2n}\right) \quad \because \text{収束する数列の和の極限} \\
&=&-3\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}+\frac{1}{2}\cdot
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\quad \because \text{収束する数列の定数倍の極限} \\
&=&-3\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0+0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

 

発散する数列どうしの和の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する場合や、ともに負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray*}\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) &=&+\infty \\
\left( -\infty \right) +\left( -\infty \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}が前提になっています。

命題(発散する数列どうしの和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに正の無限大に\(+\infty \)に発散する場合や、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに負の無限大に\(-\infty \)に発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(発散する数列どうしの和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=2n^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}n
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{n^{2}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、数列\(\left\{n\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2n^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}n\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2n^{2}\right) +\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{\sqrt{2}}{2}n\right) \quad \because +\infty \text{に発散する数列の和の極限} \\
&=&2\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot
\lim_{n\rightarrow \infty }n\quad \because +\infty \text{に発散する数列の定数倍の極限} \\
&=&2\cdot \left( +\infty \right) +\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left( +\infty
\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

ちなみに、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が正の無限大\(+\infty \)に発散し、他方が負の無限大\(-\infty \)に発散する場合には、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。実際、そのような場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は、\begin{eqnarray*}&&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right) \\
&&\left( -\infty \right) +\left( +\infty \right)
\end{eqnarray*}のいずれかになりますが、これらは拡大実数系において不定形とみなされ定義不可能です。ただ、このような場合においても、数列の和が有限な実数へ収束しないとは限りません。数列の極限の和が不定形である場合でも、その数列の一般項を変形してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。数列の極限の和が不定形になる場合の対処方法については場を改めて解説します。

 

収束する数列と発散する数列の和の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray*}\forall c &\in &\mathbb{R} :c+\left( +\infty \right) =+\infty \\
\forall c &\in &\mathbb{R} :c+\left( -\infty \right) =-\infty \\
\forall c &\in &\mathbb{R} :\left( +\infty \right) +c=+\infty \\
\forall c &\in &\mathbb{R} :\left( -\infty \right) +c=-\infty
\end{eqnarray*}が前提になっています。

命題(収束する数列と発散する数列の和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大に\(-\infty \)に発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(収束する数列と発散する数列の和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-n+\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{n\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -n+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -n\right) +\lim_{n\rightarrow \infty
}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \quad \because \text{収束する数列と発散する数列の和の極限} \\
&=&-\lim_{n\rightarrow \infty }n+\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \quad \because \text{発散する数列の定数倍の極限} \\
&=&-\left( +\infty \right) +\frac{\sqrt{2}}{2}\quad \because \left( 1\right)
\text{および定数数列の極限} \\
&=&\left( -\infty \right) +\frac{\sqrt{2}}{2} \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(数列の和の極限)
2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{y_{n}\right\} \)がともに発散するとき、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束することはあり得るでしょうか。議論してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(数列の和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{3}{n}+\frac{7\pi }{2n}
\end{equation*}で与えられています。この数列は収束しますか。議論してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(数列の和の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n+\frac{1}{2n}
\end{equation*}で与えられています。この数列は収束しますか。議論してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(数列の和の極限)
有限\(N\)個の数列\(\left\{ x_{n}^{\left(1\right) }\right\} ,\cdots ,\left\{ x_{n}^{\left( N\right) }\right\} \)がいずれも有限な実数へ収束する場合には、一般項が、\begin{equation*}x_{n}^{\left( 1\right) }+\cdots +x_{n}^{\left( N\right) }
\end{equation*}で与えられる数列もまた有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}^{\left( 1\right) }+\cdots
+x_{n}^{\left( N\right) }\right) =\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}^{\left(
1\right) }+\cdots +\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}^{\left( N\right) }
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

次回は数列の差の極限について解説します。

< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

拡大実数

数列の定数倍の極限

数列が収束するとき、その数列の一般項の定数倍を一般項とする数列もまた収束します。また、正の無限大や負の無限大に発散する数列と、その数列の定数倍の極限の間にも同様の関係が成り立ちます。

不定形

拡大実数系

R に属するすべての実数と正負の無限大+∞,−∞からなる集合を拡大実数系と呼びます。

DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

数列