実数の連続性はデデキントの切断という概念を用いて表現することもできます。

デデキントの切断

実数の連続性を規定する公理として以下の上限性質\begin{equation*}
\left( R\right) \ \forall A\subset \mathbb{R} :\left[ \left( A\not=\phi \ \wedge \ U\left( A\right) \not=\phi \right) \ \Rightarrow \ \exists \sup A\right] \end{equation*}を採用しました。また、これは以下の下限性質\begin{equation*}
\left( R^{\prime }\right) \quad \forall A\subset \mathbb{R} :\left[ \left( A\not=\phi \ \wedge \ L\left( A\right) \not=\phi \right) \
\Rightarrow \ \exists \sup A\right] \end{equation*}と言い換え可能であることを示しました。実数の連続性は上限性質や下限性質などとは異なる様々な命題として表現できることが知られています。デデキントの切断(Dedekind cut)はそのような概念の 1 つです。

デデキントの切断とは、実数の集合\(\mathbb{R}\)を以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\cup B=\mathbb{R}\\
&&\left( b\right) \ A\cap B=\phi \\
&&\left( c\right) \ A\not=\phi \ \\
&&\left( d\right) \ B\not=\phi \\
&&\left( e\right) \ \left( a\in A\ \wedge \ b\in B\right) \ \Rightarrow \ a<b
\end{eqnarray*}を満たす 2 つの部分集合\(A,B\)に分けたときの\(A\)と\(B\)の対であり、これを\(\left\langle A,B\right\rangle \)で表します。条件\(\left( a\right) \)から\(\left( d\right) \)は、\(\mathbb{R}\)を空でない 2 つの集合に分割したものが\(\left\langle A,B\right\rangle \)であることを意味し、条件\(\left( e\right) \)は\(B\)の任意の要素が\(A\)の任意の要素より大きいことを意味します。

例(デデキントの切断)
\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A,B\)を、\begin{eqnarray*}
A &=&\{x\in \mathbb{R}\ |\ x<0\} \\
B &=&\{x\in \mathbb{R}\ |\ x\geq 0\}
\end{eqnarray*}と定めるとき、\(A,B\)はデデキントの切断を規定する\(\left( a\right) \)から\(\left( e\right) \)までの性質を明らかに満たすため、\(\left\langle A,B\right\rangle \)はデデキントの切断です。

 

デデキントの切断による連続性の表現

\(\mathbb{R}\)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、論理的には以下の 4 通りの可能性が考えられます。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \max A\text{と}\min B\text{がともに存在する。} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない。} \\
&&\left( c\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する。} \\
&&\left( d\right) \ \max A\text{と}\min B\text{がともに存在しない。}
\end{eqnarray*}例えば、切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を、\begin{eqnarray*}
A &=&\{x\in \mathbb{R}\ |\ x<0\} \\ B &=&\{x\in \mathbb{R}\ |\ x\geq 0\} \end{eqnarray*}と定めるとき、\(\max A\)は存在しませんが\(\min B=0\)となるため、これは上の\(\left( c\right) \)の場合に該当します。また、切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を、\begin{eqnarray*} A &=&\{x\in \mathbb{R}\ |\ x\leq 0\} \\ B &=&\{x\in \mathbb{R}\ |\ x>0\}
\end{eqnarray*}と定めるとき、\(\max A=0\)である一方で\(\min B\)は存在しないため、これは上の\(\left( b\right) \)の場合に該当します。実は、\(\mathbb{R}\)の任意の切断に関して上の\(\left( b\right) \)または\(\left( c\right) \)のどちらか一方が成り立つこととして\(\mathbb{R}\)の連続性を特徴づけることもできます。

定理(デデキントの切断による連続性の表現)
\(\mathbb{R}\)の任意の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)について\(\max A\)と\(\min B\)のどちらか一方が存在することは、\(\mathbb{R}\)が連続性の公理を満たすための必要十分条件である。
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有理数の切断

デデキントの切断を用いて実数の連続性を表現しましたが、連続性は実数に固有の性質であるため、例えば有理数は同様の性質を満たしません。有理数の集合\(\mathbb{Q}\)はデデキントの意味における連続性を満たさないことを確認しておきましょう。

有理数の切断を実数の場合と同様に定義します。すなわち、有理数の集合\(\mathbb{Q}\)を以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\cup B=\mathbb{Q}\\
&&\left( b\right) \ A\cap B=\phi \\
&&\left( c\right) \ A\not=\phi \ \\
&&\left( d\right) \ B\not=\phi \\
&&\left( e\right) \ \left( a\in A\ \wedge \ b\in B\right) \ \Rightarrow \ a<b
\end{eqnarray*}を満たす 2 つの部分集合\(A,B\)に分けたときの対\(\left\langle A,B\right\rangle \)として\(\mathbb{Q}\)の切断を定義します。\(\mathbb{Q}\)が連続性を満たすのであれば任意の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)に対して\(\max A\)か\(\min B\)のどちらか一方が存在することになりますが、そうはならないことを示す反例を以下で提示します。そこで、\(\mathbb{Q}\)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)の中でも\(A=\{x\in \mathbb{Q}\ |\ x<\sqrt{2}\}\)かつ\(B=\{x\in \mathbb{Q}\ |\ x\geq \sqrt{2}\}\)に注目します。

仮に\(\max A\)が存在するのであれば、それは有理数であると同時に\(A\)の要素であるため\(\max A<\sqrt{2}\)が成り立ちます。しかし、限りなく小さい有理数\(\varepsilon >0\)に対して\(\max A+\varepsilon <\sqrt{2}\)が成り立つため、これは\(\max A\)が\(A\)の最大値であることと矛盾します。したがって\(\max A\)は存在しません。 仮に\(\min B\)が存在するのであれば、それは有理数であると同時に\(B\)の要素であるため\(\min B>\sqrt{2}\)が成り立ちます。\(\sqrt{2}\)は無理数ですので\(\min B=\sqrt{2}\)とはなり得ないからです。しかし、限りなく小さい有理数\(\varepsilon >0\)に対して\(\sqrt{2}<\min B-\varepsilon \)が成り立つため、これは\(\min B\)が\(B\)の最小値であることと矛盾します。したがって\(\min B\)は存在しません。

以上の議論より、\(\max A\)と\(\min B\)がどちらも存在しないような\(\mathbb{Q}\)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)が存在することが示されたため、\(\mathbb{Q}\)はデデキントの意味における連続性の公理を満たしません。

次回はアルキメデスの原理と呼ばれる概念について解説します。
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