有理数の稠密性
有理数とは整数\(z\in \mathbb{Z} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて分数\begin{equation*}\frac{z}{n}
\end{equation*}の形で表現される実数のことです。したがって、すべての有理数からなる集合は、\begin{equation*}\mathbb{Q} =\left\{ \frac{z}{n}\in \mathbb{R} \ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}となります。
2つの有理数\(\frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\in \mathbb{Q} \)が等しいことは、\begin{equation*}\frac{z_{1}}{n_{1}}=\frac{z_{2}}{n_{2}}\Leftrightarrow z_{1}\cdot
n_{2}=z_{2}\cdot n_{1}
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。例えば、2つの有理数\(\frac{1}{2},\frac{2}{4}\)について\(1\cdot 4=2\cdot 2\)が成り立つため、上の定義のもと、これらは等しい有理数とみなされます。約分したときに同じ数になる有理数どうしを区別せず、それらを同一の有理数とみなすということです。
有理数は数直線を用いて視覚的に表現できます。上図のように1本の直線を引き、直線上に存在する1つの点を適当に選んだ上で、その点の座標を\(0\)と定めます。この点を原点と呼びます。原点の右側に存在する1つの点を適当に選んだ上で、その点の座標を\(1\)と定めます。\(n\)を自然数、\(z\)を正の整数とします。原点\(0\)と点\(1\)の間の距離を\(n\)等分すれば\(\frac{1}{n}\)という距離の単位が得られます。その上で、原点の右側にあり、なおかつ原点からの距離が\(\frac{1}{n}\)の\(z\)倍であるような点の座標を\(\frac{z}{n}\)と定めます。また、原点の左側にあり、なおかつ原点からの距離が\(\frac{1}{n}\)の\(z\)倍であるような点の座標と\(-\frac{z}{n}\)と定めます。以上のルールにしたがえば、すべての有理数に対して数直線上の点を1つずつ割り当てることができます。ただし、約分したときに同じ数になる有理数どうしを同一視します。座標が有理数であるような点を有理点と呼ぶこととします。有理数と有理点は1対1で対応しているため両者を同一視できます。
2つの異なる有理数\(x,y\in \mathbb{Q} \)を任意に選びます。\(x<y\)としても一般性は失われません。これは数直線上において有理点\(x\)が有理点\(y\)よりも左側に位置することを意味します。有理数集合\(\mathbb{Q} \)は四則演算について閉じている（\(0\)で割る場合を除く）ため、先の有理数\(x,y\)に対して、\begin{equation*}\frac{x+y}{2}\in \mathbb{Q} \end{equation*}が成り立つとともに、この有理数は、\begin{equation*}
x<\frac{x+y}{2}<y
\end{equation*}を満たします。これは数直線上において有理点\(\frac{x+y}{2}\)が2つの有理点\(x,y\)の間に位置することを意味します。以上より、数直線上に存在する2つの異なる有理点\(x,y\)を任意に選んだ場合、それらの間には別の有理点が必ず存在することが明らかになりました。
2つの異なる有理数\(x,y\in \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき、\(x\)と\(y\)の間にはそれらとは異なる有理数\(z\in \mathbb{Q} \)が存在する。
以上の命題は2つの異なる任意の有理数に関して成立するため、数直線上において限りなく近い場所に位置する2つの有理点の間にも別の有理点が存在することが保証されます。したがって、数直線上には有理点が細かく密集して並んでいるはずです。以上の事実を有理数の稠密性と呼びます。
有理数の非連続性
有理数を整数\(z\)と自然数\(n\)の比\begin{equation*}\frac{z}{n}
\end{equation*}として表現される実数として定義した以上、整数と自然数の比として表すことができないような実数について思い巡らすのは自然のなりゆきです。整数\(z\)と自然数の比\(\frac{z}{n}\)として表現できない数を無理数（irrational number）と呼びます。
古代ギリシアの数学者であるピタゴラスは無理数が存在することを証明しました。一辺の長さが\(1\)であるような正方形の斜辺の長さを\(x\)で表すとき、ピタゴラスの定理より、\begin{equation*}x^{2}=1^{2}+1^{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x^{2}=2
\end{equation*}が成り立ちますが、ピタゴラスは以上の条件を満たす\(x\)が有理数ではないことを証明しました。無理数は有理数ではない数として定義されるため、彼は無理数が存在することを示したことになります。
以下の条件\begin{equation}
x^{2}=2 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(x\)は有理数ではなく、したがって無理数であることが明らかになりました。\(x\)は一辺の長さが\(1\)であるような正方形の斜辺の長さであり、辺の長さは正であるため、\(\left( 1\right) \)を満たす正の実数を、\begin{equation*}\sqrt{2}
\end{equation*}で表記します。では、この無理数\(\sqrt{2}\)を座標とする点は数直線上のどこに位置するのでしょうか。
\(\sqrt{2}\)は有理数ではないため、\(\sqrt{2}\)を座標とする点は有理点ではありません。その一方で、\(\sqrt{2}\)は一辺の長さが\(1\)であるような正方形の斜辺の長さに相当する数であるため、数直線上において有理点\(1\)よりも右側に位置する何らかの点であるはずです。座標が無理数であるような数直線上の点を無理点と呼ぶこととします。
数直線上には有理点が細かく密集して分布しているものの、有理点の間には無理点\(\sqrt{2}\)に相当する隙間が存在することが明らかになりました。しかも、無理点は\(\sqrt{2}\)だけではなく、無限に存在します。
\end{equation*}は無理数である。
上の命題は任意の有理数\(q\)について成立しますが、有理数は無限に存在するため、\(\sqrt{2}+q\)という形で表される無理数もまた無限に存在します。無理数は無限に存在するということです。
数直線上には有理点が細かく密集して分布しているものの、有理点とは異なる無理点もまた無数に存在することが明らかになりました。有理数集合\(\mathbb{Q} \)は隙間だらけであり、その隙間を埋めているのが無理数であるということです。以上の主張を集合の概念を用いて厳密に表現するためにデデキント切断（Dedekind cut）と呼ばれる概念を導入します。
有理数集合のデデキント切断
有理数集合\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断（Dedekind cut）とは、\(\mathbb{Q} \)を以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\cup B=\mathbb{Q} \\
&&\left( b\right) \ A\cap B=\phi \\
&&\left( c\right) \ A\not=\phi \ \\
&&\left( d\right) \ B\not=\phi \\
&&\left( e\right) \ \forall a,b\in \mathbb{Q} :\left[ \left( a\in A\wedge b\in B\right) \Rightarrow a<b\right]
\end{eqnarray*}を満たす2つの部分集合\(A,B\)に分割した場合の\(A\)と\(B\)の対のことであり、これを、\begin{equation*}\left\langle A,B\right\rangle
\end{equation*}で表記します。\(\left( a\right) \)から\(\left( d\right) \)までの条件は、\(\mathbb{Q} \)を空集合ではない2つの集合\(A,B\)に分割したものが\(\left\langle A,B\right\rangle \)であることを意味し、条件\(\left( e\right) \)は、\(B\)の任意の要素が\(A\)の任意の要素よりも大きいことを意味します。
\(\mathbb{Q} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を数直線を用いて表現したものが上の図です。数直線上のそれぞれの目盛りは有理点を表しています。\(A,B\)はともに有理点からなる非空の集合ですが、\(\mathbb{Q} \)の切断の定義より、それぞれの有理点は\(A,B\)のどちらか一方に属するとともに、\(A\)に属する任意の有理点は、\(B\)に属する任意の有理点よりも左側に位置します。
点\(P\)は2つの有理数集合\(A,B\)を分離する境界点であり、その座標\(p\)は以下の条件\begin{equation*}\forall a\in A,\ \forall b\in B:a\leq p\leq b
\end{equation*}を満たす実数です。\(P\)が有理点である場合には\(A\)または\(B\)のどちらか一方の要素である一方、\(P\)が無理点である場合には\(A\)と\(B\)のどちらにも属さず、\(A\)と\(B\)の隙間に位置します。
有理数集合のデデキント切断による無理数の定義
無理数\(p\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)を有理数集合\(\mathbb{Q} \)の隙間として表現するための準備として、\(p\)を基準に\(\mathbb{Q} \)を以下の2つの集合\begin{eqnarray*}L_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ r<p\right\} \\
U_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ p<r\right\}
\end{eqnarray*}へと分割します。\(L_{p}\)は\(p\)より小さいすべての有理数からなる集合であり、\(U_{p}\)は\(p\)より大きいすべての有理数からなる集合です。その上で、これらの集合の対\begin{equation*}\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle
\end{equation*}を無理数\(p\)による\(\mathbb{Q} \)の切断と呼ぶこととします。
無理数\(p\)による\(\mathbb{Q} \)の切断\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\forall x\in L_{p},\ \forall y\in U_{p}:x<p<y
\end{equation*}が成り立ちますが、これは切断\(\left \langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)を定義する無理数\(p\)が2つの有理数集合\(L_{p},U_{p}\)の隙間に存在する境界点であることを意味します。加えて、切断\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)の境界点となり得る無理数は\(p\)だけであり、他の任意の無理数は切断\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)の境界点になり得ないことが示されます。
U_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ p<r\right\}
\end{eqnarray*}を定義する。このとき、以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in L_{p},\ \forall y\in U_{p}:x<q<y
\end{equation*}を満たす無理数\(q\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)は1つだけ存在するとともに、それは、\begin{equation*}q=p
\end{equation*}として定まる。
以上の命題より、無理数による\(\mathbb{Q} \)の切断と無理数の間には1対1の関係が成立することが明らかになりました。したがって、両者を同一視することができます。
無理数による\(\mathbb{Q} \)の切断は以下の性質を満たす\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断です。
U_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ p<r\right\}
\end{eqnarray*}を定義する。このとき、\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)は有理数集合\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断であるとともに、\begin{equation*}\max L_{p}\text{と}\min U_{p}\text{はいずれも存在しない}
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題の逆も成立します。つまり、\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)が以下の条件\begin{equation*}\max A\text{と}\min B\text{はいずれも存在しない}
\end{equation*}を満たす場合、これは何らかの無理数による\(\mathbb{Q} \)の切断と一致します。
\end{equation*}を満たす場合、\begin{equation*}
\left\langle A,B\right\rangle =\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle
\end{equation*}を満たす無理数\(p\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)が存在する。ただし、\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)は\(p\)による\(\mathbb{Q} \)の切断であり、以下の条件\begin{eqnarray*}L_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ r<p\right\} \\
U_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ p<r\right\}
\end{eqnarray*}を満たす集合の組として定義される。
以上の2つの命題より、無理数による\(\mathbb{Q} \)の切断と\(\max A\)と\(\min B\)がいずれも存在しない\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)の間には1対1の関係が成立することが明らかになりました。また、先に示したように、無理数による\(\mathbb{Q} \)の切断と無理数の間には1対1の関係が成立します。したがって以下を得ます。
- 無理数\(p\)
- 無理数\(p\)による\(\mathbb{Q} \)の切断\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle=\left\langle \left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ r<p\right\} ,\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ p<r\right\} \right\rangle \)
- \(\max A\)と\(\min B\)がいずれも存在しない\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)
B &=&\left\{ x\in \mathbb{Q} \ |\ x^{2}\geq 2\wedge x>0\right\}
\end{eqnarray*}と定義します。\(\left\langle A,B\right\rangle \)は\(\max A\)と\(\min B\)がいずれも存在しない\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断であるため、先の命題より、この切断は無理数と同一視されます。具体的には、この切断に対応する無理数\(x\)が満たすべき条件は、\begin{equation*}\lnot \left( x^{2}<2\vee x\leq 0\right) \wedge \lnot \left( x^{2}\geq
2\wedge x>0\right)
\end{equation*}であり、これを同値変形すると、\begin{equation*}
x^{2}=2\wedge x>0
\end{equation*}を得ます（演習問題）。このような無理数\(x\)を\(\sqrt{2}\)で表します。
有理数集合のデデキント切断による有理数の定義（最大値バージョン）
有理数\(p\in \mathbb{Q} \)が与えられれば、それを基準に\(\mathbb{Q} \)を以下の2つの集合\begin{eqnarray*}L_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ r\leq p\right\} \\
U_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ p<r\right\}
\end{eqnarray*}へと分割することができます。\(L_{p}\)は\(p\)以下のすべての有理数からなる集合であり、\(U_{p}\)は\(p\)より大きいすべての有理数からなる集合です。その上で、これらの集合の対\begin{equation*}\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle
\end{equation*}を有理数\(p\)による\(\mathbb{Q} \)の切断と呼ぶこととします。
有理数\(p\)による\(\mathbb{Q} \)の切断\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\forall x\in L_{p},\ \forall y\in U_{p}:x\leq p<y
\end{equation*}が成り立ちますが、これは切断\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)を定義する有理数\(p\)が\(L_{p}\)の最大値である一方で\(U_{p}\)の要素ではないことを意味します。加えて、切断\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)の境界点となり得る有理数は\(p\)だけであり、他の任意の有理数は切断\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)の境界点になり得ないことが示されます。
U_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ p<r\right\}
\end{eqnarray*}を定義する。このとき、以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in L_{p},\ \forall y\in U_{p}:x\leq q<y
\end{equation*}を満たす有理数\(q\in \mathbb{Q} \)は1つだけ存在するとともに、それは、\begin{equation*}q=p
\end{equation*}として定まる。
以上の命題より、有理数による\(\mathbb{Q} \)の切断と有理数の間には1対1の関係が成立することが明らかになりました。したがって、両者を同一視することができます。
有理数による\(\mathbb{Q} \)の切断は以下の性質を満たす\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断です。
U_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ p<r\right\}
\end{eqnarray*}を定義する。このとき、\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)は有理数集合\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断であるとともに、\begin{equation*}\max L_{p}=p\text{である一方で}\min U_{p}\text{は存在しない}
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題の逆も成立します。つまり、\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)が以下の条件\begin{equation*}\max A\text{は存在する一方で}\min B\text{は存在しない}
\end{equation*}を満たす場合、これは何らかの有理数による\(\mathbb{Q} \)の切断と一致します。
\end{equation*}を満たす場合、\begin{equation*}
\left\langle A,B\right\rangle =\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle
\end{equation*}を満たす有理数\(p\in \mathbb{Q} \)が存在する。ただし、\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)は\(p\)による\(\mathbb{Q} \)の切断であり、以下の条件\begin{eqnarray*}L_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ r\leq p\right\} \\
U_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ p<r\right\}
\end{eqnarray*}を満たす集合の組として定義される。
以上の2つの命題より、有理数による\(\mathbb{Q} \)の切断と\(\max A\)は存在する一方で\(\min B\)は存在しない\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)の間には1対1の関係が成立することが明らかになりました。また、先に示したように、有理数による\(\mathbb{Q} \)の切断と有理数の間には1対1の関係が成立します。したがって以下を得ます。
- 有理数\(p\)
- 有理数\(p\)による\(\mathbb{Q} \)の切断\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle=\left\langle \left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ r\leq p\right\} ,\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ p<r\right\} \right\rangle \)
- \(\max A\)は存在するが\(\min B\)は存在しない\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)
B &=&\left\{ x\in \mathbb{Q} \ |\ \frac{1}{2}<x\right\}
\end{eqnarray*}と定義します。\(\left\langle A,B\right\rangle \)は\(\max A\)は存在する一方で\(\min B\)は存在しない\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断であるため、先の命題より、この切断は有理数と同一視されます。具体的には、この切断に対応する無理数\(x\)は、\begin{equation*}x=\max A=\frac{1}{2}
\end{equation*}です。
有理数集合のデデキント切断による有理数の定義（最小値バージョン）
有理数\(p\in \mathbb{Q} \)が与えられれば、それを基準に\(\mathbb{Q} \)を以下の2つの集合\begin{eqnarray*}L_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ r<p\right\} \\
U_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ p\leq r\right\}
\end{eqnarray*}へと分割することができます。\(L_{p}\)は\(p\)より大きいすべての有理数からなる集合であり、\(U_{p}\)は\(p\)以上のすべての有理数からなる集合です。その上で、これらの集合の対\begin{equation*}\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle
\end{equation*}を有理数\(p\)による\(\mathbb{Q} \)の切断と呼ぶこととします。
有理数\(p\)による\(\mathbb{Q} \)の切断\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\forall x\in L_{p},\ \forall y\in U_{p}:x<p\leq y
\end{equation*}が成り立ちますが、これは切断\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)を定義する有理数\(p\)が\(L_{p}\)の要素ではない一方で\(U_{p}\)の最小値であることを意味します。加えて、切断\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)の境界点となり得る有理数は\(p\)だけであり、他の任意の有理数は切断\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)の境界点になり得ないことが示されます。
U_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ p\leq r\right\}
\end{eqnarray*}を定義する。このとき、以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in L_{p},\ \forall y\in U_{p}:x<q\leq y
\end{equation*}を満たす有理数\(q\in \mathbb{Q} \)は1つだけ存在するとともに、それは、\begin{equation*}q=p
\end{equation*}として定まる。
以上の命題より、有理数による\(\mathbb{Q} \)の切断と有理数の間には1対1の関係が成立することが明らかになりました。したがって、両者を同一視することができます。
有理数による\(\mathbb{Q} \)の切断は以下の性質を満たす\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断です。
U_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ p\leq r\right\}
\end{eqnarray*}を定義する。このとき、\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)は有理数集合\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断であるとともに、\begin{equation*}\max L_{p}\text{は存在しない一方で}\min U_{p}=p\text{である}
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題の逆も成立します。つまり、\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)が以下の条件\begin{equation*}\max A\text{は存在しない一方で}\min U_{p}\text{は存在する}
\end{equation*}を満たす場合、これは何らかの有理数による\(\mathbb{Q} \)の切断と一致します。
\end{equation*}を満たす場合、\begin{equation*}
\left\langle A,B\right\rangle =\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle
\end{equation*}を満たす有理数\(p\in \mathbb{Q} \)が存在する。ただし、\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle \)は\(p\)による\(\mathbb{Q} \)の切断であり、以下の条件\begin{eqnarray*}L_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ r<p\right\} \\
U_{p} &=&\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ p\leq r\right\}
\end{eqnarray*}を満たす集合の組として定義される。
以上の2つの命題より、有理数による\(\mathbb{Q} \)の切断と\(\max A\)は存在しない一方で\(\min U_{p}\)は存在する\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)の間には1対1の関係が成立することが明らかになりました。また、先に示したように、有理数による\(\mathbb{Q} \)の切断と有理数の間には1対1の関係が成立します。したがって以下を得ます。
- 有理数\(p\)
- 有理数\(p\)による\(\mathbb{Q} \)の切断\(\left\langle L_{p},U_{p}\right\rangle=\left\langle \left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ r<p\right\} ,\left\{ r\in \mathbb{Q} \ |\ p<r\right\} \right\rangle \)
- \(\max A\)は存在しないが\(\min U_{p}\)は存在する\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)
B &=&\left\{ x\in \mathbb{Q} \ |\ \frac{1}{2}\leq x\right\}
\end{eqnarray*}と定義します。\(\left\langle A,B\right\rangle \)は\(\max A\)は存在しない一方で\(\min U_{p}\)は存在する\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断であるため、先の命題より、この切断は有理数と同一視されます。具体的には、この切断に対応する無理数\(x\)は、\begin{equation*}x=\min B=\frac{1}{2}
\end{equation*}です。
有理数のデデキント切断による実数の定義
無理数と有理数はそれぞれ一定の性質を満たす\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断と同一視できることが明らかになりました。
無理数に関する結果は以下の通りです。
- 無理数\(p\)
- \(\max A\)と\(\min B\)がいずれも存在しない\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)
有理数に関する結果は以下の通りです。
- 有理数\(p\)
- \(\max A\)は存在するが\(\min B\)は存在しない\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)
- \(\max A\)は存在しないが\(\min B\)は存在する\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)
では、\(\max A\)と\(\min B\)がともに存在する\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)についてどのようなことが言えるのでしょうか。実は、そのようなデデキント切断は存在しません。
以上の命題より、\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)として以下の3通りのパターン\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する} \\
&&\left( c\right) \ \max A\text{と}\min B\text{がともに存在しない}
\end{eqnarray*}だけが起こり得ることが明らかになりました。\(\left( a\right) \)または\(\left(b\right) \)を満たす\(\mathbb{Q} \)の切断には有理数が1対1で対応し、\(\left( c\right) \)を満たす\(\mathbb{Q} \)の切断には無理数が1対1で対応します。以上より、\(\mathbb{Q} \)の切断は実数（有理数および無理数）と1対1で対応しているため、\(\mathbb{Q} \)の切断と実数を同一視できます。したがって、すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)と\(\mathbb{Q} \)の切断をすべて集めてできる集合は一致します。
演習問題
B &=&\left\{ x\in \mathbb{Q} \ |\ x^{2}\geq 2\wedge x>0\right\}
\end{eqnarray*}とそれぞれ定義します。このとき、\(\left\langle A,B\right\rangle \)は\(\mathbb{Q} \)の切断であるとともに、\(\max A\)と\(\min B\)はともに存在しないことを証明してください。
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