ユークリッド空間

ユークリッド空間

実数からなる順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\(x\)から\(y\)への距離(distance from \(x\) to \(y\))または1次元ユークリッド距離(one-dimensional Euclidean distance)を,\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定義します。つまり、順序対\(\left( x,y\right) \)に含まれる 2 つの実数\(x,y\)の差の絶対値が距離です。実数の差は実数であり、実数の絶対値は実数ですので、上のように定義される距離は常に実数です。

実数からなるそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して距離\(d\left( x,y\right) \in \mathbb{R}\)を定める関数\(d:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)を距離関数(distance function)や1次元のユークリッド距離関数(one-dimensional Euclidean distance function)などと呼びます。

\(\mathbb{R}\)とユークリッド距離関数\(d\)の組\(\left( \mathbb{R},d\right) \)を1次元のユークリッド空間(one-dimensional Euclidean space)と呼びます。ただし、文脈から明らかである場合にはユークリッド空間をシンプルに\(\mathbb{R}\)で表します。

\(\mathbb{R}\)をユークリッド空間とみなす場合には\(\mathbb{R}\)の要素である個々の実数を(point)と呼び,\(\mathbb{R}\)の部分集合を点集合(point set)と呼ぶことがあります。

 

距離の性質

ユークリッド距離関数は以下の性質を満たします。公理主義的実数論においては、これらの性質はいずれも実数の公理から示す必要があります。より正確には、実数の公理から示された絶対値の性質を用いて証明します。

命題(距離の性質)
\(\mathbb{R}\)上に定義されたユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)は以下の性質を満たす。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:[\left( x,y\right) =0\ \Leftrightarrow \ x=y] \\
&&\left( c\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:d\left( x,y\right) =d\left( y,x\right) \\
&&\left( d\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:d\left( x,z\right) \leq d\left( x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}
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性質\(\left( a\right) \)は、任意の実数\(x,y\)について、それらの距離が非負であることを意味します。性質\(\left( b\right) \)は、任意の実数\(x,y\)について、それらの距離が\(0\)であることとそれらの点が一致することが同値であることを意味します。条件\(\left( c\right) \)は、任意の実数\(x,y\)について、\(x\)から\(y\)への距離と\(y\)から\(x\)への距離が等しいことを意味します。条件\(\left( d\right) \)は、任意の実数\(x,y,z\)について、\(x\)から\(z\)への距離は、\(x\)から\(y\)を経由して\(z\)へ至る場合の距離以下であることを意味します。これは三角不等式(triangle inequality)と呼ばれる性質です。

 

イプシロン開近傍

ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)において、点\(a\in \mathbb{R}\)からの距離が\(\varepsilon >0\)よりも小さいようなすべての点からなる集合を、\begin{align*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) & =\left\{ x\in \mathbb{R}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \\
& =\left\{ x\in \mathbb{R}\ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
& =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{align*}で表し、これを点\(a\)の\(\varepsilon \)-近傍(\(\varepsilon \)-neighborhood of \(a\))や点\(a\)の\(\varepsilon \)-開近傍(\(\varepsilon \)-open neighborhood of \(a\))などと呼びます。

開近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)が与えられたとき,その中心\(a\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
a\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \Leftrightarrow \left\vert a-a\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}となりますが、\(\left\vert a-a\right\vert =0\)ゆえにこれは真です。つまり、点を中心とする任意の開近傍はその点を要素として持ちます。そこで、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)からその中心を除いて得られる集合を、\begin{align*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) \backslash \left\{ a\right\} & =\left\{ x\in \mathbb{R}\ |\ 0<d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \\
& =\left\{ x\in \mathbb{R}\ |\ 0<\left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
& =\left( a-\varepsilon ,a\right) \cup \left( a,a+\varepsilon \right)
\end{align*}で表し、これを点\(a\)の除外\(\varepsilon \)-近傍(deleted \(\varepsilon \)-neighborhood of \(a\))や点\(a\)の除外\(\varepsilon \)-開近傍(deleted \(\varepsilon \)-open neighborhood of \(a\))などと呼びます。

 

イプシロン閉近傍

ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)において、点\(a\in \mathbb{R}\)からの距離が\(\varepsilon >0\)以下であるようなすべての点からなる集合を、\begin{align*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) & =\left\{ x\in \mathbb{R}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\} \\
& =\left\{ x\in \mathbb{R}\ |\ \left\vert x-a\right\vert \leq \varepsilon \right\} \\
& =\left[ a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right] \end{align*}で表し、これを点\(a\)の\(\varepsilon \)-閉近傍(\(\varepsilon \)-closed neighborhood of \(a\))と呼びます。

閉近傍\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)が与えられたとき,その中心\(a\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
a\in D_{\varepsilon }\left( a\right) \Leftrightarrow \left\vert a-a\right\vert \leq \varepsilon
\end{equation*}となりますが、\(\left\vert a-a\right\vert =0\)ゆえにこれは真です。つまり、点を中心とする任意の閉近傍はその点を要素として持ちます。そこで、\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)からその中心を除いて得られる集合を、\begin{align*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) \backslash \left\{ a\right\} & =\left\{ x\in \mathbb{R}\ |\ 0<d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\} \\
& =\left\{ x\in \mathbb{R}\ |\ 0<\left\vert x-a\right\vert \leq \varepsilon \right\} \\
& =[a-\varepsilon ,a)\cup (a,a+\varepsilon ] \end{align*}で表し、これを点\(a\)の除外\(\varepsilon \)-閉近傍(deleted \(\varepsilon \)-closed neighborhood of \(a\))と呼びます。

次回からは数列について学びます。
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