公理主義的実数論では実数空間上に加法および乗法と呼ばれる二項演算を定義した上で、それらが体としての性質を満たすことを公理として定めます。演算に関する性質はいずれもそれらの公理から導かれて初めて正しいものとして認められます。
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体としての実数空間

公理主義的実数論の立場のもと、実数空間\(\mathbb{R}\)上に加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算を定義した上で、これらが満たすべき性質を公理として定めました。

加法\(+\)に関する公理は以下の通りです。

公理(加法に関する公理)
\(\mathbb{R}\)は加法\(+\)に関する可換群である。すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in
\mathbb{R}:\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in
\mathbb{R},\ \forall x\in
\mathbb{R}:x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in
\mathbb{R},\ \exists -x\in
\mathbb{R}:x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in
\mathbb{R}:x+y=y+x
\end{eqnarray*}を公理として定める。
加法について復習する

乗法\(\cdot \)に関する公理は以下の通りです。

公理(乗法に関する公理)
\(\mathbb{R}\backslash \{0\}\)は乗法\(\cdot \)に関する可換群である。すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in
\mathbb{R}:\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in
\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in
\mathbb{R}:x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in
\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in
\mathbb{R}:x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in
\mathbb{R}:x\cdot y=y\cdot x
\end{eqnarray*}を公理として定める。
乗法について復習する

以上に加えて、加法\(+\)と乗法\(\cdot \)の間には、\begin{equation*}
\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in
\mathbb{R}:\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z
\end{equation*}という関係が成り立つものと定めます。任意の実数\(x,y,z\)について、\(x+y\)と\(z\)の積が\(x\cdot y\)と\(y\cdot z\)の和と一致するということです。これを分配律(distributive law)と呼びます。

加法\(+\)の性質を規定する\(\left( R_{1}\right) \)から\(\left( R_{4}\right) \)までの公理と、乗法\(\cdot \)の性質を規定する\(\left( R_{5}\right) \)から\(\left( R_{8}\right) \)までの公理に加えて、\(+\)と\(\cdot \)の関係を規定する公理\(\left( R_{9}\right) \)を認めることことは、\(\mathbb{R}\)が\(+\)と\(\cdot \)に関して(field)であることを意味します。このような体を特に実数体(real number field)と呼びます。実数体を\((\mathbb{R},+,\cdot )\)で表しますが、実数体について言及していることが文脈から明らかである場合には、実数体を\(\mathbb{R}\)で表すことができます。

公理(体としての実数空間)
\(\mathbb{R}\)は加法\(+\)と乗法\(\cdot \)に関して体である。すなわち、\(\left( R_{1}\right) \)から\(\left( R_{9}\right) \)までを公理として定める。

 

加法単位元と乗法

実数\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
x\cdot 0 &=&x\cdot \left( 0+0\right) \quad \because \text{加法単位元の定義} \\
&=&x\cdot 0+x\cdot 0\quad \because \text{分配律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。加法単位元の定義より\(x\cdot 0=x\cdot 0+0\)であるため、これと上の関係より、\begin{equation*}
x\cdot 0+0=x\cdot 0+x\cdot 0
\end{equation*}を得ます。すると、加法に関する簡約法則より\(0=x\cdot 0\)を得ます。つまり、任意の実数と加法単位元\(0\)の積は\(0\)になります。

命題(加法単位元との積)
実数\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x\cdot 0=0
\end{equation*}が成り立つ。
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加法単位元\(0\)とは異なる実数\(x,y\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(x\cdot y=0\)が成り立つものと仮定して矛盾を導きます。実際、\begin{align*}
x& =x\cdot 1\quad \because \ \text{乗法単位元の定義} \\
& =x\cdot \left( y\cdot y^{-1}\right) \quad \because y\not=0\text{と乗法逆元の定義} \\
& =\left( x\cdot y\right) \cdot y^{-1}\quad \because \ \text{乗法の結合律} \\
& =0\cdot y^{-1}\quad \because x\cdot y=0 \\
& =0\quad \because \left( a\right)
\end{align*}すなわち\(x=0\)となりますが、これは\(x\not=0\)と矛盾です。したがって、\(0\)とは異なる任意の実数どうしの積もまた\(0\)ではありません。ちなみに、\(\left( a\right) \)の導出には、任意の実数と\(0\)の積が\(0\)になるという先の命題を利用しています。逆に、\(x\cdot y\not=0\)から\(x\not=0\)かつ\(y\not=0\)を示すこともできます(演習問題にします)。したがって、実数\(x,y\)を任意に選んだとき、これらがともに\(0\)でないことと、積\(x\cdot y\)が\(0\)でないことは必要十分です。

命題(加法単位元ではない実数どうしの積)
実数\(x,y\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( x\not=0\ \wedge \ y\not=0\right) \ \Leftrightarrow \ x\cdot y\not=0
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題の対偶をとると以下を得ます。つまり、実数\(x,y\)を任意に選んだとき、これらの少なくとも一方が\(0\)であることと、積\(x\cdot y\)が\(0\)であることは必要十分です。

命題(加法単位元ではない実数どうしの積)
実数\(x,y\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
x\cdot y=0\ \Leftrightarrow \ \left( x=0\ \vee \ y=0\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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加法逆元と乗法

実数\(x,y\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{align*}
x\cdot y+\left( -x\right) \cdot y& =\left[ x+\left( -x\right) \right] \cdot
y\quad \because \text{分配律} \\
& =0\cdot y\quad \because \text{加法逆元の定義} \\
& =0\quad \because \left( a\right)
\end{align*}が成り立ちます。ただし、\(\left( a\right) \)の導出には、任意の実数と\(0\)の積が\(0\)になるという先の命題を利用しています。上の関係は、\(\left( -x\right) \cdot y\)が\(x\cdot y\)の加法逆元であることを意味するため、\begin{equation*}
\left( -x\right) \cdot y=-\left( x\cdot y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。同様にして\(x\cdot \left( -y\right) =-\left( x\cdot y\right) \)を示すことができます。

命題(加法逆元との積)
実数\(x,y\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( -x\right) \cdot y=x\cdot \left( -y\right) =-\left( x\cdot y\right)
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(x=1\)である場合には、\begin{equation*}
\left( -1\right) \cdot y=-y
\end{equation*}を得る。
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上の命題を用いると以下を導くことができます。

命題(加法逆元どうしの積)
実数\(x,y\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( -x\right) \cdot \left( -y\right) =x\cdot y
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(x=y=1\)である場合には、\begin{equation*}
\left( -1\right) \cdot \left( -1\right) =1
\end{equation*}を得る。
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加法単位元と除法

実数\(x\in \mathbb{R}\)と加法単位元\(0\)とは異なる実数\(y\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選ぶと、商\(\frac{x}{y}=x\cdot y^{-1}\in \mathbb{R}\)が存在します。\(x\)は任意の実数であるため、\(x=0\)とすると、\begin{eqnarray*}
\frac{x}{y} &=&\frac{0}{y}\quad \because x=0 \\
&=&0\cdot y^{-1}\quad \because \text{除法の定義} \\
&=&0\quad \because \text{実数と}0\text{の積は}0
\end{eqnarray*}すなわち\(\frac{x}{y}=0\)を得ます。これとは逆に、\(\frac{x}{y}=0\)から\(x=0\)を導くこともできます(演習問題とします)。したがって以下の命題を得ます。

命題(加法単位元と除法)
\(x\in \mathbb{R}\)と\(y\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}
x=0\ \Leftrightarrow \ \frac{x}{y}=0
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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実数\(x,y\)に関する商は\(\frac{x}{y}=x\cdot y^{-1}\)と定義されますが、乗法逆元\(y^{-1}\)は加法単位元\(0\)とは異なる実数\(y\)に対してのみ定義されているため、商\(\frac{x}{y}\)もまた\(y\not=0\)に対してのみ定義されていることになります。つまり、実数の公理系において「実数を\(0\)で割る」ことは定義されていません。なお、実数を\(0\)で割ることを認めた場合、実数の公理は矛盾したものになってしまいます。そのことを示すために、実数\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上で、これを\(0\)で割ることができるものと仮定して矛盾を導きます。\(x\)を\(0\)で割ることができるとは、\begin{equation*}
\frac{x}{0}=x\cdot 0^{-1}
\end{equation*}が実数であること、すなわち\(0^{-1}\)が実数であることを意味します。\(x\)は任意の実数であるため、\(x=0\)とすると、\begin{equation*}
\frac{0}{0}=0\cdot 0^{-1}
\end{equation*}となります。先に示したように、任意の実数と\(0\)の積は\(0\)です。仮定より\(0^{-1}\)は実数であるため、\begin{equation}
0\cdot 0^{-1}=0 \tag{1}
\end{equation}を得ます。一方、\(0^{-1}\)は\(0\)の乗法逆元であるため、\begin{equation}
0\cdot 0^{-1}=1 \tag{2}
\end{equation}を得ます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より\(0=1\)となりますが、これは実数の公理と矛盾です。

次回は実数どうしを比較する大小関係を規定する公理について解説します。

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