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DEFINITION OF REAL NUMBER

実数体

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実数体

公理主義的実数論の立場のもと、実数空間\(\mathbb{R} \)上に加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算を定義した上で、それらが満たすべき性質を公理として定めました。繰り返しになりますが、加法に関する公理は以下の通りです。

公理(加法に関する公理)
\(\mathbb{R} \)は加法\(+\)に関する可換群であるものと定める。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x
\end{eqnarray*}が成り立つものと定める。

また、乗法\(\cdot \)に関する公理は以下の通りです。

公理(乗法に関する公理)
\(\mathbb{R} \backslash \{0\}\)は乗法\(\cdot \)に関する可換群であるものと定める。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x
\end{eqnarray*}が成り立つものと定める。

では、加法\(+\)と乗法\(\cdot \)の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。公理主義的実数論において、加法\(+\)と乗法\(\cdot \)の間には以下の関係が成り立つものと定めます。

公理(加法と乗法の関係に関する公理)
加法と\(+\)と乗法\(\cdot \)の間には、\begin{equation*}\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z
\end{equation*}が成り立つものと定める。

つまり、任意の実数\(x,y,z\)について、\(x+y\)と\(z\)の積が\(x\cdot y\)と\(y\cdot z\)の和と一致するものと定めるということです。これを分配律(distributive law)と呼びます。

加法の性質を規定する\(\left( R_{1}\right) \)から\(\left( R_{4}\right) \)までの公理と、乗法の性質を規定する\(\left( R_{5}\right) \)から\(\left( R_{8}\right) \)までの公理に加えて、加法と乗法の関係を規定する公理\(\left( R_{9}\right) \)を認めることは、\(\mathbb{R} \)が加法と乗法に関して(field)であるものと認めることを意味します。このような体を特に実数体(real number field)と呼びます。通常、実数体を\((\mathbb{R} ,+,\cdot )\)で表記しますが、実数体について言及していることが文脈から明らかである場合には、実数体を\(\mathbb{R} \)で表すことができます。

公理(体としての実数空間)
\(\mathbb{R} \)は加法\(+\)と乗法\(\cdot \)に関して体であるものと定める。すなわち、\(\left( R_{1}\right) \)から\(\left(R_{9}\right) \)までを公理として定める。

 

加法単位元との積

これまで度々指摘したように、分配律を公理として認めると、任意の実数と加法単位元\(0\)の積が\(0\)になること、すなわち、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}x\cdot 0=0
\end{equation*}が成り立つことが示されます。証明は以下の通りです。

実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x\cdot 0+0 &=&x\cdot 0\quad \because \text{加法単位元の定義} \\
&=&x\cdot \left( 0+0\right) \quad \because \text{加法単位元の定義} \\
&=&x\cdot 0+x\cdot 0\quad \because \text{分配律}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x\cdot 0+0=x\cdot 0+x\cdot 0
\end{equation*}を得ます。すると、加法に関する簡約法則より、\begin{equation*}
0=x\cdot 0
\end{equation*}を得ます。以上で証明が完了しました。

命題(加法単位元との積)
実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x\cdot 0=0
\end{equation*}が成り立つ。

以上の命題は実数の公理から導かれたものであるため、今後は議論の前提として利用できます。上の命題からは様々な有用な命題を導くことができます。

 

加法単位元の乗法逆元

乗法の性質を規定する公理では、加法単位元\(0\)とは異なる実数\(x\)に対してのみ、その乗法単位元\(x^{-1}\)の存在を保証します。では、\(0\)の乗法逆元\(0^{-1}\)は存在するのでしょうか。任意の実数と\(0\)の積が\(0\)になることを利用すると、\(0^{-1}\)が存在しないことが示されます。

命題(加法単位元の乗法逆元)
\(0^{-1}\)は存在しない。
証明

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乗法逆元の符号

\(0\)とは異なる実数\(x\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x^{-1}\right) ^{-1}=x
\end{equation*}が成り立つことを以前に示しましたが、その際に指摘したように、上の関係は\(\left(x^{-1}\right) ^{-1}\)が存在することを前提としています。つまり、乗法逆元は\(0\)とは異なる実数に対してのみ定義される概念であるため、\(\left( x^{-1}\right) ^{-1}\)が存在することを保証するためには\(x^{-1}\)が\(0\)とは異なる必要があるということです。乗法逆元の定義より\(x^{-1}\)は実数ですが、任意の実数と\(0\)の積が\(0\)になることを利用すると、\(x^{-1}\)が\(0\)とは異なる実数であることが示されます。

命題(乗法逆元の符号)

任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}x^{-1}\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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積の符号

\(0\)とは異なる実数\(x,y\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x\cdot y\right) ^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}
\end{equation*}が成り立つことを以前に示しましたが、その際に指摘したように、上の関係は\(\left(x\cdot y\right) ^{-1}\)が存在することを前提としています。つまり、乗法逆元は\(0\)とは異なる実数に対してのみ定義される概念であるため、\(\left( x\cdot y\right) ^{-1}\)が存在することを保証するためには\(x\cdot y\)が\(0\)とは異なる必要があるということです。\(\mathbb{R} \)は乗法について閉じているため\(x\cdot y\)は実数ですが、任意の実数と\(0\)の積が\(0\)になることを利用すると、\(x\cdot y\)が\(0\)とは異なる実数であることが示されます。

命題(非ゼロの実数どうしの積の符号)
任意の\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( x\not=0\wedge y\not=0\right) \Rightarrow x\cdot y\not=0
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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上の命題とは逆に、\(x\cdot y\not=0\)から\(x\not=0\)と\(y\not=0\)を導くこともできます。つまり、積\(x\cdot y\)が\(0\)ではない場合には\(x\)と\(y\)はともに\(0\)ではありません。

命題(積の符号)
任意の\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}x\cdot y\not=0\Rightarrow \left( x\not=0\wedge y\not=0\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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以上より、以下の命題が得られます。つまり、2つの実数がともに\(0\)ではないことと、それらの積が\(0\)ではないことは必要十分です。

命題(積の符号)
任意の\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( x\not=0\wedge y\not=0\right) \Leftrightarrow x\cdot y\not=0
\end{equation*}が成り立つ。
例(積の符号)
上の命題の対偶をとると、任意の\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( x=0\vee y=0\right) \Leftrightarrow x\cdot y=0
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、2つの実数の少なくとも一方が\(0\)であることと、それらの積が\(0\)であることは必要十分です。

 

商の符号

\(0\)とは異なる実数\(x,y\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( \frac{x}{y}\right) ^{-1}=\frac{y}{x}
\end{equation*}が成り立つことを以前に示しましたが、その際に指摘したように、上の関係は\(\left( \frac{x}{y}\right) ^{-1}\)が存在することを前提としています。つまり、乗法逆元は\(0\)とは異なる実数に対してのみ定義される概念であるため、\(\left( \frac{x}{y}\right) ^{-1}\)が存在することを保証するためには\(\frac{x}{y}\)が\(0\)とは異なる必要があるということです。\(\mathbb{R} \)は除法について閉じている(\(0\)で割る場合を除く)ため\(\frac{x}{y}\)は実数ですが、任意の実数と\(0\)の積が\(0\)になることを利用すると、\(\frac{x}{y}\)が\(0\)とは異なる実数であることが示されます。

命題(非ゼロの実数どうしの商の符号)
任意の\(x\in \mathbb{R} \)と\(y\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}x\not=0\Rightarrow \frac{x}{y}\not=0
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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上の命題とは逆に、\(\frac{x}{y}\not=0\)から\(x\not=0\)を導くこともできます。つまり、商\(\frac{x}{y}\)が\(0\)ではない場合には分子\(x\)もまた\(0\)ではありません。

命題(商の符号)
任意の\(x\in \mathbb{R} \)と\(y\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}\frac{x}{y}\not=0\Rightarrow x\not=0
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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以上より、以下の命題が得られます。つまり、商の分子が\(0\)ではないことと商が\(0\)ではないことは必要十分です。

命題(商の符号)
任意の\(x\in \mathbb{R} \)と\(y\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}x\not=0\Leftrightarrow \frac{x}{y}\not=0
\end{equation*}が成り立つ。
例(商の符号)
上の命題の対偶をとると、任意の\(x\in \mathbb{R} \)と\(y\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}x=0\Leftrightarrow \frac{x}{y}=0
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、商の分子が\(0\)であることと商が\(0\)であることは必要十分です。

 

加法逆元と乗法

実数\(x,y\)を任意に選んだとき、\(\mathbb{R} \)は乗法について閉じているため積\(x\cdot y\)は実数です。すると加法逆元の定義より\(-\left( x\cdoty\right) \)もまた実数ですが、これについては、\begin{equation*}\left( -x\right) \cdot y=x\cdot \left( -y\right) =-\left( x\cdot y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。これもまた任意の実数と\(0\)の積が\(0 \)になるという命題を用いて証明されます。

命題(加法逆元と乗法)

任意の\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( -x\right) \cdot y=x\cdot \left( -y\right) =-\left( x\cdot y\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(加法逆元の解釈)
上の命題より、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( -x\right) \cdot y=x\cdot \left( -y\right)
\end{equation*}を得ます。特に、\(x=1\)の場合には、\begin{equation*}\left( -1\right) \cdot y=1\cdot \left( -y\right)
\end{equation*}となりますが、乗法単位元の定義より、このとき、\begin{equation*}
\left( -1\right) \cdot y=-y
\end{equation*}を得ます。つまり、実数\(y\)の加法逆元\(-y\)は、その実数と\(-1\)の積と実質的に等しいということです。
例(加法逆元どうしの積)
実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、加法単位元の定義より\(-x,-y\in \mathbb{R} \)となります。したがって、実数\(x,-y\in \mathbb{R} \)に対して、上の命題より、\begin{equation*}\left( -x\right) \cdot \left( -y\right) =x\cdot \left[ -\left( -y\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。\(-\left(-y\right) =y\)であるため、このとき、\begin{equation*}\left( -x\right) \cdot \left( -y\right) =x\cdot y
\end{equation*}を得ます。つまり、2つの実数の加法逆元どうしの積はもとの実数の積と一致します。特に、\(x=y=1\)の場合には、\begin{equation*}\left( -1\right) \cdot \left( -1\right) =1\cdot 1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( -1\right) \cdot \left( -1\right) =1
\end{equation*}を得ます。つまり、加法単位元の加法逆元どうしの積は加法単位元と一致します。

 

演習問題

問題(分配律)
\(\mathbb{R} \)における分配律を、\begin{equation*}\forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z
\end{equation*}と定義しましたが、\begin{equation*}
\forall x,y,z\in \mathbb{R} :x\cdot \left( y+z\right) =x\cdot y+x\cdot z
\end{equation*}という命題もまた成立することを実数の公理から証明してください。
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問題(商)
実数\(a,c\in \mathbb{R} \)と\(b,d\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(商)
実数\(x,y,z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( y\not=0\wedge z\not=0\right) \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{x\cdot z}{y\cdot z}
\end{equation*}が成り立つことを実数の公理から証明してください。
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問題(商)
実数\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( b\not=0\wedge d\not=0\right) \Rightarrow \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}
\end{equation*}が成り立つことを実数の公理から証明してください。
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問題(積)
実数\(x,y,z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x\cdot y=0\wedge x\not=0\right) \Rightarrow y=0
\end{equation*}が成り立つことを実数の公理から証明してください。
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問題(加法の交換律)
\(\mathbb{R} \)における加法の交換律を、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x
\end{equation*}と定義しましたが、実は、加法の交換律はそれ以外の実数の公理から導出することができます。そのことを証明してください。
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次回は実数どうしを比較する大小関係を規定する公理について解説します。

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公理主義的実数論では実数空間上に加法と呼ばれる二項演算を定義した上で、それが可換群(アーベル群)としての性質を満たすことを公理として定めます。加法に関する性質はいずれもそれらの公理から導かれて初めて正しいものとして認められます。

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除法と呼ばれる二項演算は乗法から間接的に定義されます。除法に関する性質もまた、乗法の性質を規定する公理から証明されてはじめて正しいものとして認められます。

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DISCUSSION

質問とコメント

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