実数体

実数体

公理主義的実数論の立場のもと、すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)上に加法\begin{equation*}+:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と呼ばれる二項演算を定義した上で、以下の性質\begin{eqnarray*}
&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。加えて、乗法\begin{equation*}
\cdot :\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と呼ばれる二項演算を定義した上で、以下の性質\begin{eqnarray*}
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。

では、加法\(+\)と乗法\(\cdot \)の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。公理主義的実数論において、加法\(+\)と乗法\(\cdot \)の間には以下の関係\begin{equation*}\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z
\end{equation*}が成り立つものと定めます。これを分配律（distributive law）と呼びます。つまり、任意の実数\(x,y,z\)について、\(x+y\)と\(z\)の積が\(x\cdot y\)と\(y\cdot z\)の和と一致するものと定めるということです。

加法の性質を規定する\(\left( R_{1}\right) \)から\(\left( R_{4}\right) \)までの公理と、乗法の性質を規定する\(\left( R_{5}\right) \)から\(\left( R_{8}\right) \)までの公理に加えて、加法と乗法の関係を規定する公理\(\left( R_{9}\right) \)を認めることは、\(\mathbb{R} \)が加法と乗法に関して体（field）であることを意味します。このような体を特に実数体（real number field）と呼び、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,+,\cdot \right)
\end{equation*}で表記します。実数体について言及していることが文脈から明らかである場合には、これをシンプルに、\begin{equation*}\mathbb{R} \end{equation*}と表記できます。

加法単位元との積

これまで度々指摘したように、分配律を公理として認めると、任意の実数と加法単位元\(0\)の積が\(0\)になること、すなわち、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}x\cdot 0=0
\end{equation*}が成り立つことが示されます。

以上の命題は実数の公理から導かれたものであるため、今後は議論の前提として利用できます。上の命題からは様々な有用な命題を導くことができます。

加法単位元の乗法逆元

乗法の性質を規定する公理では、加法単位元\(0\)とは異なる実数\(x \)に対してのみ、その乗法単位元\(x^{-1}\)の存在を保証します。では、\(0\)の乗法逆元\(0^{-1}\)は存在するのでしょうか。任意の実数と\(0\)の積が\(0\)になることを利用すると、\(0^{-1}\)が存在しないことが示されます。

乗法逆元の符号

\(0\)とは異なる実数\(x\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x^{-1}\right) ^{-1}=x
\end{equation*}が成り立つことを以前に示しましたが、その際に指摘したように、上の関係は\(\left(x^{-1}\right) ^{-1}\)が存在することを前提としています。つまり、乗法逆元は\(0\)とは異なる実数に対してのみ定義される概念であるため、\(\left( x^{-1}\right) ^{-1}\)が存在することを保証するためには\(x^{-1}\)が\(0\)とは異なる必要があるということです。乗法逆元の定義より\(x^{-1}\)は実数ですが、任意の実数と\(0\)の積が\(0\)になることを利用すると、\(x^{-1}\)が\(0\)とは異なる実数であることが示されます。

積の符号

\(0\)とは異なる実数\(x,y\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x\cdot y\right) ^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}
\end{equation*}が成り立つことを以前に示しましたが、その際に指摘したように、上の関係は\(\left(x\cdot y\right) ^{-1}\)が存在することを前提としています。つまり、乗法逆元は\(0\)とは異なる実数に対してのみ定義される概念であるため、\(\left( x\cdot y\right) ^{-1}\)が存在することを保証するためには\(x\cdot y\)が\(0\)とは異なる必要があるということです。\(\mathbb{R} \)は乗法について閉じているため\(x\cdot y\)は実数ですが、任意の実数と\(0\)の積が\(0\)になることを利用すると、\(x\cdot y\)が\(0\)とは異なる実数であることが示されます。

上の命題とは逆に、\(x\cdot y\not=0\)から\(x\not=0\)と\(y\not=0\)を導くこともできます。つまり、積\(x\cdot y\)が\(0\)ではない場合には\(x\)と\(y\)はともに\(0\)ではありません。

以上より、以下の命題が得られます。つまり、2つの実数がともに\(0\)ではないことと、それらの積が\(0\)ではないことは必要十分です。

商の符号

\(0\)とは異なる実数\(x,y\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( \frac{x}{y}\right) ^{-1}=\frac{y}{x}
\end{equation*}が成り立つことを以前に示しましたが、その際に指摘したように、上の関係は\(\left( \frac{x}{y}\right) ^{-1}\)が存在することを前提としています。つまり、乗法逆元は\(0\)とは異なる実数に対してのみ定義される概念であるため、\(\left( \frac{x}{y}\right) ^{-1}\)が存在することを保証するためには\(\frac{x}{y}\)が\(0\)とは異なる必要があるということです。\(\mathbb{R} \)は除法について閉じている（\(0\)で割る場合を除く）ため\(\frac{x}{y}\)は実数ですが、任意の実数と\(0\)の積が\(0\)になることを利用すると、\(\frac{x}{y}\)が\(0\)とは異なる実数であることが示されます。

上の命題とは逆に、\(\frac{x}{y}\not=0\)から\(x\not=0\)を導くこともできます。つまり、商\(\frac{x}{y}\)が\(0\)ではない場合には分子\(x\)もまた\(0\)ではありません。

以上より、以下の命題が得られます。つまり、商の分子が\(0\)ではないことと商が\(0\)ではないことは必要十分です。

加法逆元と乗法

実数\(x,y\)を任意に選んだとき、\(\mathbb{R} \)は乗法について閉じているため積\(x\cdot y\)は実数です。すると加法逆元の定義より\(-\left( x\cdot y\right) \)もまた実数ですが、これについては、\begin{equation*}\left( -x\right) \cdot y=x\cdot \left( -y\right) =-\left( x\cdot y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。これもまた任意の実数と\(0\)の積が\(0 \)になるという命題を用いて証明されます。

演習問題